辽宁铁岭市2025-2026学年高一下学期3月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁铁岭市2025-2026学年高一下学期3月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角，则角为（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】已知，故角为第二象限角．2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为或，所以，又，所以．3.如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故选：A.4.已知实数满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于，故，若，则，则，充分性成立，但若，则，则或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知幂函数在上单调递减，则（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是幂函数，所以，解得或．又在上单调递减，所以，所以．6.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，故小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为，所以小轮每秒转过的弧长是．故选：B．7.下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，即，可得；又因为，即，可得；所以，且，即，可得；且，所以.故选：D.8.已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为对任意的，都有，即对任意的，都有，令，所以对任意的，都有，所以为上的减函数，又，即，即，所以，解得，即不等式的解集是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（）A.极差为7 B.分位数为4C.平均数为4 D.方差为【答案】ACD【解析】将这7个数据从小到大排序为0，2，3，5，5，6，7，则极差为，A正确；，分位数对应排序后第3个数，为3，B错误；平均数为，C正确；方差为，D正确．10.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于选项A：因为，，则，，所以，故A正确；对于选项B：，故B错误；对于选项C：因为，所以，故C正确；对于选项D：因为，所以，故D错误．11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的图象关于点对称B.在上单调递减C.在上没有零点D.若恒成立，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】对于A，因为，，的定义域为，因为，故的图象关于点对称，故A错误；对于B，设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，由，可知函数为奇函数，因为函数在上单调递增，故函数在上单调递增，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增，结合函数为奇函数可得，函数在上单调递增，所以在上单调递减，又在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；对于C，因为在上单调递减，，，由零点存在性定理可知在上恰有一个零点，故C错误；对于D，因为，所以，又在上单调递减，所以，即在区间上恒成立，所以，解得，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则_________．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，解得．13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________．【答案】【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，样本空间包含，，，，，，，，，共10个，抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个，所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率．14.已知关于的不等式（，，）的解集为，则关于的不等式的解集为________，的最大值为________.【答案】；【解析】因为关于的不等式（，，）的解集为，所以，2为方程的两个根，且，又所以所以，即，即，解得，即关于的不等式的解集为.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）计算：；（2）已知，求的值．解：（1）原式．（2）原式．16.甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．（1）求第2次由甲投掷的概率；（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．解：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，则，有12个样本点．．故第2次由甲投掷的概率为．（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．17.某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）．（1）求的表达式；（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？解：（1）甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元，当时，，当时，，则；（2）当时，令，则，则；当时，，等号成立时，，因为，所以当甲产品的投入为万元，乙产品的投入为万元时，总利润最大，最大为万元.18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，…，六组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.解：（1）由频率分布直方图，得，解得；平均数为.（2）设“获得该荣誉证书的最低分数”为，由分数介于的频率为、分数介于的频率为，得获得该荣誉证书的最低分数介于之间，则有，解得，所以获得该荣誉证书的最低分数为86.（3）由落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，所以这两组数据的总平均数为，方差为.19.已知函数满足，满足，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的最小值；（3）若关于的方程在上有两个不同实数根，求实数的取值范围．解：（1），令，则，所以，故．由得，当时，，当时，，故.（2）的定义域为，且，所以为奇函数，又，则在上恒成立，因为函数在上均为单调递增函数，