内蒙古包头市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古包头市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若为虚数单位，则（）A.2 B.0 C. D.【答案】B【解析】，，．2.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要使函数有意义，须满足真数，解得，所以，所以.又因为，所以.故选：B.3.若，为非零向量，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.充要条件【答案】A【解析】由，为非零向量且知，存在实数，使，则，，当时，，故充分性不成立，由，则，故，所以，即，故，所以同向共线，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.4.记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（）A.4 B. C.1 D.2【答案】D【解析】设公比为，若，则由，可得，解得，不符合题意，所以；由，则，显然，所以，即，即，解得（负值已舍去）.故选：D.5.边长为2的等边三角形的外心为，则（）A. B.2C. D.【答案】A【解析】取BC边的中点D，连接AD，因为O为边长为2的等边三角形的外心，所以，所以，所以.故选：A.6.已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆化为标准方程为：，圆心，半径，如图所示：则点到直线的距离为：，而，，得，则劣弧的长为：，故选：B.7.已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的最小值为16【答案】D【解析】作出函数的图象，如图所示：由图象知：，所以，故选项A错误；由二次函数的对称性可得，令或，所以，因为方程有四个实根，所以，故选项B错误；又，则，即，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确；由得，由上面推导可知，所以，，设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以，故选项C错误.故答案选D.8.袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，；前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，；前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，.所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.B.的最小正周期为C.图象的对称中心为D.不等式的解集为【答案】AD【解析】对于A，，故A正确；对于B，最小正周期，故B错误；对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误；对于D，由得，则，解得，，故D正确.10.设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（）A.B.当时，取最大值C.D.数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性【答案】ABD【解析】因为，所以，即，因为，所以；因为，又因为，所以，又因为，所以，则，故A正确；且当时，取最大值，且，故B正确，C错误；因为，所以数列单调递减；因为，所以，所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确．故选:ABD．11.在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（）A.平面B.四棱锥的外接球的表面积为C.平面平面D.若，则点的运动轨迹长度为【答案】BCD【解析】在长方体中，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：由，则，可得，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，因为，所以与平面不平行，故A选项不正确；在长方体中，连接，如图所示：在长方体中，点为的中点，且，所以，且四边形为矩形，所以点的投影为矩形的中心，即平面，则四棱锥的外接球的球心在上，①设四棱锥的外接球的球心在的延长线上且为，球的半径为，如图所示，在长方体中,，所以，所以在直角三角形中，，则有，在直角三角形中，，即，解得：，此时四棱锥外接球的表面积为：，②设四棱锥的外接球的球心在上且为，球的半径为，如图所示，在长方体中,，所以，所以在直角三角形中，，则有，在直角三角形中，，即，解得：，因为，不满足题意，故四棱锥外接球的表面积为，故B选项正确；由A中，，则，设平面的法向量为，由，令，则，所以，设平面的法向量为，由，令，则，所以，因为，所以平面平面，故选项C正确，设，，则，，因为，即，因为点为平面内的一个动点（含边界），所以点的轨迹为一条线段，令，令，所以线段的端点为和，所以点的运动轨迹长度为，故D选项正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________.【答案】-3【解析】由求导可得，则，因为该切线与直线垂直，则，解得.故答案为：.13.某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_______.【答案】【解析】可设圆锥底面半径为，则圆锥底面圆周长为，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由知，，由几何关系可知圆锥的高，故圆锥体积为.故答案为：.14.已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________．【答案】【解析】椭圆中，故，，，由题意可知，且，由椭圆定义可得①，由双曲线定义可得②，联立①②得，由角平分线定理可知，，设，在直线上，由分点比例得，则，解得，在椭圆上，则，解得，，，由得，，化简得，，，解得，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.数列的前n项和，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．解：（1）令，则，，当时，，也符合上式，∴；当时，由，可得，两式相除可得，也符合上式，∴．（2），，，…，，，，，…，，将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，则，，…，，，，…，，∴．16.随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.（1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；（2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？解：（1）记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件，“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件，由题意可得，，，，.所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8.（2）由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，则，，令，则，令，则；令，则；令，则；所以或时，取最大值.17.如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）记为正四面体内切球的球心.（ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）；（ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值.（1）证明：因为均为等边三角形，且为棱的中点，所以,又,平面，所以平面.（2）解：（ⅰ）设点是底面正的中心，连接,则为正四面体的高，由题知，在中，，在中，由勾股定理可得，由等体积法得，，则，即，则内切球的半径为3.（ⅱ）因为平面，所以点在上，且在球面上,所以，当最小时，则,以为坐标原点，过作平行线为轴，以为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则；设平面的法向量，则，令，则，设二面角的大小为，则，所以.即二面角的正弦值为.18.已知平面直角坐标系上一动点满足，，．（1）求点的轨迹曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．①求直线，的斜率之和；②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．解：（1）由题意知，，所以动点的轨迹为双曲线的右支，，，即，，所以，所以点的轨迹曲线的方程为.（2）①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，，联立得，，由题意得，解得，于是，，所以，所以．②直线的中垂线为，直线的中垂线为，联立直线方程得：，消得，于是，所以，代入得，当时，点在直线上，不符合题意，故，又消得：，推出，推出：，得：，得：，又，则，又，所以，故外接圆圆心，令，消去得，故必在直线上.19.已知函数，，.（1）当时，若的图像与轴相切，求的值；（2）当时，若在有一个零点，求的取值范围；（3）设数列满足，.证明：.（1）解：当时，函数，则设的图像与轴相切于点，则，即，可得，从而，设，则，令，得，则时，，则函数单调递减，时，，则函数单调递增，所以当时，函数取得最小值为，所以方程只