苏科版数学八年级下册 10.3 分式的加减（题型专练） 同步练习 含答案

10.3分式的加减题型一同分母分式加减法1．计算3aa-1+3A．3 B．a C．aa-1 D．2．计算1m-12-A．11-m B．1m-1 C．1m+13．若xx-2-x-1x-2的结果是负数，则A． B．C． D．4．计算：3aa-1-题型二异分母分式加减法1．计算3x-2-12A．3 B．3x-2 C．-3 D．2．化简：x-3x3．已知1a+1b=34．如图，若x为正整数，则表示x+2x2+4x+4题型三整式与分式相加减1．化简2aa-1-1+a的结果是（A．1+a B．a-1 C．1+a2a-12．观察下列等式a1=x,a2=1-13．定义一种新运算：a※b=4a-3b，例：(1)计算：2x-1※(2)计算：2y+24．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式1x+1，xx2-1(1)将分式2x+1x-1(2)若x是整数，且假分式6x+12x-1的值为正整数，求x(3)若假分式4x2+7x-5x+2=4m-9+题型一分式恒等式1．A，B为常数，如果Ax-1-B2-x2．无论x取何值，分式ax+2025bx+2026的值始终保持不变（分母不为零），则ba的值为3．对于代数式m,n，定义运算“※”：m※n=m+n-4mn(mn≠0)，若(x-4)※(x+2)=A4．已知Ax+1-Bx+2=题型二分式加减混合运算1．已知F为整式，若计算Fab+b2-ba2A．a-b B．a+b C．b D．a2．如果3y+7(y-1)(y-2)=Ay-1+By-23．计算：(1)x(2)1-4．求证：y-zx-y题型三分式加减的应用1．一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（

）A．aba+b B．a+b C．a+bab D2．已知P=a2+b2a2-b3．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出的水量是12升的13，第3次倒出的水量是13升的14，第4次倒出的水量是14升的15……第n次倒出的水量是(1)计算：1n(2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．4．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh．(1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？(2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？(3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？1．已知a+b+c=0，abc=8，则1a+1b+1c的值_____0．（填“>”、“2．观察下列算式：①21×3=1-13，②22×4=12(1)由以上式子可以推出（5）式为_________________．(2)用含字母n（n为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________．(3)用以上方法解方程：1x3．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”．古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：35=12+(1)求证：1n(n为正整数，n>1)可以分解为单位分数1n+1，(2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程：第1个：23第2个：25第3个：27……用上述式子反映的规律，将第n个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明；(3)借助（1）（2）的结果，试将3n(n为正整数，n>3)分解成不超过34．阅读下列解题过程：已知xx2+1解：由xx2+1=13知所以x4故x2以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题：(1)已知xx2-x+1(2)已知xyx+y=3,yz

10.3分式的加减题型一同分母分式加减法1．计算3aa-1+3A．3 B．a C．aa-1 D．【答案】A【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果【详解】解：∵1-a=-(a-1)∴3aa-1+31-a=3a2．计算1m-12-A．11-m B．1m-1 C．1m+1【答案】A【分析】根据同分母的分式加减法运算法则：分子直接相加减计算即可．【详解】解：1===13．若xx-2-x-1x-2的结果是负数，则A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用同分母分式加法法则化简，再得出x的取值范围，再在数轴上表示即可．【详解】xx-2∵结果是负数，∴1x-2∴x-2<0，得x<2，∴x的取值范围在数轴上表示为：4．计算：3aa-1-【答案】1【分析】根据同分母分式减法法则：分母相同，分子直接相减，化简后即可得到结果．【详解】解：3aa-1题型二异分母分式加减法1．计算3x-2-12A．3 B．3x-2 C．-3 D．【答案】D【详解】解：3x-2=3=3x+6-12=3x-6=3=32．化简：x-3x【答案】3【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再确定最简公分母通分，合并分子后约分即可得到化简结果．【详解】解：x-3====33．已知1a+1b=3【答案】3【分析】将已知1a+1【详解】解：由1a+1∴a+b=3ab，∴====3．4．如图，若x为正整数，则表示x+2x2+4x+4【答案】①【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．【详解】解：原式=====-1∵x为正整数，∴x≥1，∴x+2≥3,x+1≥2，∴x∴0<1∴-1即-1观察数轴可知，第①段的范围是-0.2到0.4，故答案为：①．题型三整式与分式相加减1．化简2aa-1-1+a的结果是（A．1+a B．a-1 C．1+a2a-1【答案】C【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算．【详解】解：∵原式=2aa-1∴将a-1化为分母为a-1的分式，得2aa-1∵同分母分式相加，分母不变，分子相加，∴分子计算：2a+a-1∴原式=a故选：C．2．观察下列等式a1=x,a2=1-1【答案】-【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a【详解】解：∵a1∴a2a3a4……∴每3个数为一周期循环，∵2025÷3=675，∴a2025故答案为：-13．定义一种新运算：a※b=4a-3b，例：(1)计算：2x-1※(2)计算：2y+2【答案】(1)8(2)11【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义可得原式等于42x-1（2）根据新定义可得原式等于4×2【详解】（1）解：由题意得，2x-1=4===（2）解：由题意得，2y+2=4×=====114．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式1x+1，xx2-1(1)将分式2x+1x-1(2)若x是整数，且假分式6x+12x-1的值为正整数，求x(3)若假分式4x2+7x-5x+2=4m-9+【答案】(1)2+(2)1(3)m【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键．（1）根据题意，仿照示例，可得到结果；（2）仿照示例，可得到结果；（3）根据题意，仿照示例，可得到m=x+2，【详解】（1）解：2x+1===2+3（2）6x+1==3+4因为6x+12x-1所以42x-1的值为-2所以2x-1的值为-2，-4，1，2，因为x是整数，所以x的值为1．（3）因为4===4x-1-3所以4x-1-3即m=x+2，所以m2题型一分式恒等式1．A，B为常数，如果Ax-1-B2-x【答案】2【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解．先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果．【详解】解：对左边通分：Ax-1∵左边等于右边2x-6(x-1)(x-2)∴分子需相等，∴A(x-2)+B(x-1)=2x-6，展开左边：Ax-2A+Bx-B=(A+B)x-(2A+B)，比较等式两边x的系数和常数项，得A+B=2，故答案为：2．2．无论x取何值，分式ax+2025bx+2026的值始终保持不变（分母不为零），则ba的值为【答案】2026【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数k，整理等式后利用多项式对任意x恒成立时对应系数相等求解即可.【详解】解：∵无论x取何值，分式ax+2025bx+2026∴设ax+2025bx+2026=k（等式两边同乘bx+2026，得ax+2025=kbx+2026整理得ax+2025=kbx+2026k，∵该等式对任意x恒成立，∴多项式对应系数相等，即a=kb2025=2026k∴k=ab∴3．对于代数式m,n，定义运算“※”：m※n=m+n-4mn(mn≠0)，若(x-4)※(x+2)=A【答案】20213/【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可．【详解】解：∵x-4※Ax-4∴A+B=22A-4B=-6，解得A=∴2026A-B=2026×1故答案为：202134．已知Ax+1-Bx+2=【答案】A=1【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：A==A-B∵A∴A-B∴A-B=32A-B=4，解得题型二分式加减混合运算1．已知F为整式，若计算Fab+b2-ba2A．a-b B．a+b C．b D．a【答案】D【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由Fab+b2-ba2【详解】解：∵Fab+∴Fab+∴Fb(a+b)∴Fa=(a-b)(a+b)+b∴Fa=a∴F=a；故选D．2．如果3y+7(y-1)(y-2)=Ay-1+By-2【答案】-1013【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：Ay-1∴3y+7(y-1)(y-2)∴A+B=3-2A-B=7解得：A=-10B=13故答案为：-10，13．3．计算：(1)x(2)1-【答案】(1)3(2)2【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：（1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可；（2）先计算括号内，再通分进行计算即可．【详解】（1）解：原式===3（2）原式====24．求证：y-zx-y【答案】见详解【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键；首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，y-z(x-y)(x-z)可得1x-y-1x-z,z-x(y-z)(y-x)可得【详解】证明：∵y-z(x-y)(x-z)同理z-x(y-z)(y-x)x-y(z-x)(z-y)∴原式左边===2故原等式成立．题型三分式加减的应用1．一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（

）A．aba+b B．a+b C．a+bab D【答案】A【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键；设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数．【详解】解：设工作总量为1，∵甲单独完成需a天，∴甲的工作效率为1a∵乙单独完成需b天，∴乙的工作效率为1b∴甲、乙合作的工作效率为1a∴合作所需天数为1a+b故选：A．2．已知P=a2+b2a2-b【答案】P>Q【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．通过作差法比较P和Q的大小，计算P-Q并化简，结合条件a<b<0判断计算结果的符号，即可解答．【详解】解：根据题意，P-Q=a∵a<b<0，∴a-b<0，a+b<0，∴a-ba+b>0，即∴P>Q．故答案为：P>Q．3．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出的水量是12升的13，第3次倒出的水量是13升的14，第4次倒出的水量是14升的15……第n次倒出的水量是(1)计算：1n(2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)1(2)不能全部倒完，理由见详解【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律；（1）先通分再计算即可；（2）计算前n次总共倒出水量与1比较即可．【详解】（1）解：1===（2）解：不能全部倒完，理由如下：第1次倒出的水量是：12第2次倒出的水量是：12第3次倒出的水量是：13第4次倒出的水量是：14⋯第n次倒出的水量是：1n前n次总共倒出水量是：1==1-=1-=∵nn+1∴容器中的这1升水最终不能全部倒完．4．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh．(1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？(2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？(3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打ma千字；小华在计算机上平均每小时打n(2)2mb+3naab(3)mb-naab【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键；（1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度；（2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可；（3）将（1）所求的相减即可．【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打ma千字，小华在计算机上平均每小时打n答：小明和小华在计算机上平均每小时各打ma千字和n（2）解：ma答：两人共打文稿2mb+3naab（3）解：ma答：小明比小华平均每小时多打mb-naab1．已知a+b+c=0，abc=8，则1a+1b+1c的值_____0．（填“>”、“【答案】<【分析】本题考查了多项式的乘法，分式的加法．将1a+1b+1c通分后得到ab+ac+bcabc，代入abc=8得ab+ac+bc8，由a+b+c2=a【详解】解：∵1a+1∴1a∵a+b+c2=a∴a2∴ab+ac+bc=-a即1a∵abc=8，∴a≠0,b≠0,c≠0，∴a2∴1a故答案为：<．2．观察下列算式：①21×3=1-13，②22×4=12(1)由以上式子可以推出（5）式为_________________．(2)用含字母n（n为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________．(3)用以上方法解方程：1x【答案】(1)2(2)2(3)x=1013【分析】（1）观察已知算式的序号与式子的对应关系，可直接推出第（5）式；（2）通过分析已知算式的分子、分母与序号n的关系，总结出一般规律；（3）利用（2）中的规律对分式进行裂项，再通过化简求解方程．【详解】（1）解：观察已知算式：①21×3=1-13，②22×4=可知第n式为：2因此第（5）式为：25×7（2）解：由上述规律可得，一般规律为：2n（3）解：∵1xx+2=1∴12×1即3x=x+2026，解得x=1013．检验：当x=1013时，原方程中各分母均不为零，故x=1013是原分式方程的解．3．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”．古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：35=12+(1)求证：1n(n为正整数，n>1)可以分解为单位分数1n+1，(2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程：第1个：23第2个：25第3个：27……用上述式子反映的规律，将第n个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明；(3)借助（1）（2）的结果，试将3n(n为正整数，n>3)分解成不超过3【答案】(1)证明见解析；(2)22n+1(3)见解析【分析