苏科版数学八年级下册 10.4 分式的乘除（题型专练） 同步练习 含答案

10.4分式的乘除题型一分式乘法1．计算xx-y⋅x-yA．yx B．-yx C．x2．下列各式从左到右的变形一定正确的是（

）A．x2+15x=x+15 B．-3x3．计算：-b2a⋅4．计算：(1)4ac3b⋅6b22ac2； 题型二分式除法1．化简2x2+xA．12x B．2x C．2x D2．已知M、N均为分式，且M=xx-1,N=A．M+N=-1 B．M-N=x+1x-1 C．M⋅N=x3．某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料A和B，原料A的质量为a2a-1（单位：kg），原料B的质量为1a-1（单位：kg），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的A．a2a-1+C．a2a-1×4．化简：1a-b题型三分式乘除混合运算1．如图，设k=甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积（a>b>0），则有（两图中a，b分别相同）（A．k>2 B．1<k<2 C．12<k<12．计算：x⋅y÷xy3．计算：(1)9x(2)a24．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题：(1)求被手遮住部分的代数式；(2)已知x2-x-3=0，求（题型四含乘方的分式运算1．计算a3⋅1A．a B．a3 C．a6 D．a92．-xy23．如果x+1x=3，则34．按要求完成下列各题：(1)化简：-2x(2)因式分解：x2题型一分式的化简求值1．若m=5，则m3-4mA．925 B．95 C．3252．先化简，再求值：1-4a+3÷3．先化简，再求值：a+2a2-4a+44．先化简，再求值：a+12-aa+2题型二分式最值1．分式1x2+2x+5A．5 B．6 C．14 D．2．已知m，n为实数，且m-n=6，m≥-2n，则下列关于n+1m的说法正确的是（

A．有最大值，且最大值为14 B．有最小值，且最小值为C．有最大值，且最大值为-14 D3．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式．例如：x2+y①若p=2,q=-1，则交换对称式ba+②若q=-2，则交换对称式a3+2a4．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：xx+1,x2x+1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1,xx(1)将分式3xx-1(2)当x取哪些整数值时，分式3xx-1(3)当x=______时，分式3x2+51．将7张如图1的两边长分别为a和b（a≥b，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形ABCD内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设ab=k，若AB=3，k为整数，则a可取的值的个数为（A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个2．艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的14，二、三等奖奖品的总价之比为7:11．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为2:3:4；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的13购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为3．先阅读下列解法，再解答后面的问题．已知3x-4x-1x-2=Ax-1解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x-4=Ax-2即：3x-4=A+B∴A+B=3-2A+B解法二：在已知等式中取x=0，有-A+B-2=-2取x=3，有A2+B=5解2A+B=4A+2B=5，解得A=1(1)已知11xx+63x-4=Ax+6-B3x-4(2)计算：1x-1x+1+4．综合与实践定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和常分式”，常数k称为“和常值”．例如：分式P=1m，Q=2m-1m，P+Q=1m+2m-1m=2，则P与Q(1)已知分式A=m-3m+2，B=2m+9m+2，判断A与B是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出(2)已知分式C=2m-1m-3，D=Mm2-9，若C与D互为“和常分式”①求代数式M（用含m的式子表示）．②若分式D的值为正整数，求m的值．(3)已知分式E=am-3m-1，F=m+bm2-2m+1（a，b为整数），若E与F互为“和常分式”

10.4分式的乘除题型一分式乘法1．计算xx-y⋅x-yA．yx B．-yx C．x【答案】C【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可．【详解】解：xx-y2．下列各式从左到右的变形一定正确的是（

）A．x2+15x=x+15 B．-3x【答案】B【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确．【详解】A:∵x2+15x≠x+15（分子从x2∴变形不一定正确．B:∵-3x-x+1=-3x-x-1∴变形一定正确．C:∵x2-y∴变形不一定正确．D:∵xy≠x2y2（xy分子分母同乘x∴变形不一定正确．故选B．3．计算：-b2a⋅【答案】-【详解】解：-b==-4a4．计算：(1)4ac3b(2)xx【答案】(1)4b(2)y【详解】（1）解：4ac3b（2）解：xx=x(x+y)=x(x+y)-(x=xy-=y(x-y)题型二分式除法1．化简2x2+xA．12x B．2x C．2x D【答案】A【分析】本题考查分式的除法运算，先对原式分母因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果．【详解】解：2==1∴化简结果为12x故答案为：A．2．已知M、N均为分式，且M=xx-1,N=A．M+N=-1 B．M-N=x+1x-1 C．M⋅N=x【答案】B【分析】分别根据分式的加减乘除法则计算判断即可．【详解】解：因为M+N=xx-1+因为M-N=xx-1-因为M⋅N=xx-1⋅因为M÷N=xx-1÷3．某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料A和B，原料A的质量为a2a-1（单位：kg），原料B的质量为1a-1（单位：kg），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的A．a2a-1+C．a2a-1×【答案】B【详解】解：A、a2B、a2C、a2D、a24．化简：1a-b【答案】3b-a【分析】先将异分母分式通分，除法转化为乘法，再算小括号里的同分母分式减法，最后算乘法．【详解】解：1a-b=a+b=a+b-2a+2b=3b-a题型三分式乘除混合运算1．如图，设k=甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积（a>b>0），则有（两图中a，b分别相同）（A．k>2 B．1<k<2 C．12<k<1【答案】B【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．【详解】解：甲图中阴影部分面积为a2乙图中阴影部分面积为aa-b则k=a∵a>b>0，∴0<b∴1<b∴1<k<2，故选：B．2．计算：x⋅y÷xy【答案】y【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果．【详解】解：原式=x·y·==y3．计算：(1)9x(2)a2【答案】(1)-(2)a-2【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案．（2）先因式分解，再约分化简即可求出答案．【详解】（1）解：原式=9=-=-（2）解：原式==a-24．如图，李老师在黑板上写了一个等式，随后用手遮住了其中一部分，并提出了如下问题：(1)求被手遮住部分的代数式；(2)已知x2-x-3=0，求（【答案】(1)x(2)1【分析】（1）等式两边先乘以x2x+3，再除以x2（2）把x2-x-3=0变形为x2【详解】（1）解：由等式的基本性质得，被手遮住部分的代数式为x+3x-3化简，得x+3x-3∴被手遮住部分的代数式为x2（2）解：∵x∴x∴x题型四含乘方的分式运算1．计算a3⋅1A．a B．a3 C．a6 D．a9【答案】A【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果．【详解】解：a===a∴化简得结果为a．2．-xy2【答案】1【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法．最后约分得到结果．【详解】解：-xy2===13．如果x+1x=3，则3【答案】22【分析】利用完全平方公式求出x+1x2【详解】∵x+1∴x+1x2∴x2∴3x4．按要求完成下列各题：(1)化简：-2x(2)因式分解：x2【答案】(1)-4(2)x+3【分析】本题主要考查分式的混合运算及因式分解；熟练掌握运算法则是解题的关键；（1）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可；（2）先根据平方差公式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式=-2=-2=-4xy-4=-4x（2）解：原式==x+3题型一分式的化简求值1．若m=5，则m3-4mA．925 B．95 C．325【答案】B【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入m=5计算结果，用到提取公因式法和完全平方公式．【详解】∵m3又∵m=5，∴代入原式=(5-22．先化简，再求值：1-4a+3÷【答案】2a-1，2【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对除法的分子分母因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入a的值计算结果．【详解】解：1-===2当a=4时，原式=23．先化简，再求值：a+2a2-4a+4【答案】2a-2；【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，计算整式的乘法，然后计算负整数指数幂和零指数幂求出a的值，然后代入求解．【详解】解：a+2======当a=12-14．先化简，再求值：a+12-aa+2【答案】-4a-2【详解】解：a+1===1+=1-==-4∵a=2∴原式=-4题型二分式最值1．分式1x2+2x+5A．5 B．6 C．14 D．【答案】C【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可．【详解】解：∵x2+2x+5=x+1∴x2∴x2+2x+5的最小值为∴分式1x2+2x+5故选：C．2．已知m，n为实数，且m-n=6，m≥-2n，则下列关于n+1m的说法正确的是（

A．有最大值，且最大值为14 B．有最小值，且最小值为C．有最大值，且最大值为-14 D【答案】D【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键．由m-n=6得n=m-6，代入m≥-2n得m≥4，进而将n+1m表示为m-5【详解】解：∵m-n=6，∴n=m-6，代入m≥-2n，得m≥-2m-6即m≥-2m+12，整理得3m≥12，∴解得m≥4，∵n+1m又∵m≥4，∴5m∴1-5当m=4时，等号成立，即n+1m取得最小值-∴n+1m有最小值-故选：D．3．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式．例如：x2+y①若p=2,q=-1，则交换对称式ba+②若q=-2，则交换对称式a3+2a【答案】-615【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．对于①，利用多项式的乘法得到a+b和ab的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于a+b的表达式，然后配方求最小值．【详解】①∵(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab∴x2∴p=a+b，q=ab，∵b∵p=a+b=2，q=ab=-1，∴原式=2故答案为-6；②a∵q=ab=-2∴原式=====故答案为1544．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：xx+1,x2x+1；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1,xx(1)将分式3xx-1(2)当x取哪些整数值时，分式3xx-1(3)当x=______时，分式3x2+5【答案】(1)3+(2)x=-2,0,2,4(3)当x=0时，分式3x2【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识．（1）根据材料提供方法变形即可求解；（2）由（1）得3xx-1=3+3x-1，根据分式3xx-1的值是整数，得到3x-1为整数，即可得到当x取整数时，x-1是3的整数因数，得到（3）3x2+5x2+1变形为3+2x2+1，即可得到当x2+1【详解】（1）解：3xx-1（2）解：∵由（1）得3xx-1∵分式3xx-1∴3x-1∴当x取整数时，x-1是3的整数因数，∴x-1=±1或x-1=±3，∴x=-2,0,2,4；（3）解：3x∴当x2+1取最小值时，分式∵x2∴x2∴当x2+1=1即x=0时，故当x=0时，分式3x2+51．将7张如图1的两边长分别为a和b（a≥b，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形ABCD内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设ab=k，若AB=3，k为整数，则a可取的值的个数为（A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个【答案】A【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等．可得4b⋅AB-4ab=a⋅AB-3ab，从而得到12b-3a=ab，再由ab=k，可得k=12b+3，从而得到b取1，【详解】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等，所以4b⋅AB-4ab=a⋅AB-3ab，所以4b⋅AB-a⋅AB=ab，

因为AB=3，所以12b-3a=ab，因为ab所以a=kb，所以12b-3bk=kb所以k=12因为k为整数，所以b+3取1，2，3，4，6，12，因为b为正整数所以b取1，3，9，当b=1时，k=3，此时a=3，当b=3时，k=2，此时a=6，当b=9时，k=1，此时a=9，因为AB=3，∴a<3，∴a可取的值的个数为0．2．艺术节是同学们最为快乐的时光，今年艺术节前夕，学校决定拿出一笔固定的资金用于购买艺术节学生奖品．根据奖项设置计划，一等奖奖品的总价将占学校预定总资金的14，二、三等奖奖品的总价之比为7:11．第一次用于购买一、二、三等奖奖品的资金之比为2:3:4；第二次将用余下的资金继续购买一、二、三等奖奖品，经预算，需将余下资金的13购买一等奖奖品，则还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为【答案】1:3【分析】设学校预定总资金为a元，可得一等奖总价为14a，根据第一次购买资金比设第一次一、二、三等奖资金分别为2x，3x，4x，根据一等奖总资金占比列方程求出a与x的关系，再设第二次购买二等奖资金为m元，根据二、三等奖总价之比列方程求出【详解】解：设学校预定总资金为a元，则预定一等奖总价为14设第一次购买一、二、三等奖奖品的资金分别为2x元，3x元，4x元，则第一次共花费资金2x+3x+4x=9x元，余下资金为(a-9x)元，第二次购买一等奖的资金为13因此一等奖总资金满足：2x+1整理得a3解得a=12x，第二次用于购买二、三等奖的资金总和为：1-1设第二次还需购买二等奖的资金为m元，则购买三等奖的资金为2x-m元，根据预定二、三等奖总价之比为7:11，可得：3x+m4x+交叉相乘得：113x+m=7整理得：33x+11m=42x-7m，解得m=1则第二次购买三等奖的资金为2x-1因此还需购买的二、三等奖奖品的资金之比为123．先阅读下列解法，再解答后面的问题．已知3x-4x-1x-2=Ax-1解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x-4=Ax-2即：3x-4=A+B∴A+B=3-2A+B解法二：在已知等式中取x=0，有-A+B-2=-2取x=3，有A2+B=5解2A+B=4A+2B=5，解得A=1(1)已知11xx+63x-4=Ax+6-B3x-4(2)计算：1x-1x+1+【答案】(1)A=3(2)当x取2,3,4,7时，这个式子的值为正整数．【分析】（1）仿照示例解答即可；（2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再利用分式的加减法与乘法运算运算法则化简可得6x-1，然后根据整数性质求出x【详解】（1）解：解法一：11x将等号右边通分，再去分母，得：11x=A3x-4即：11x=3A-B∴3A-B=11-4A-6B=0，解得：解法二：11x在已知等式中取x=0，有0=A6+取x=1，有-117=解2A+3B=0A+7B=-11，解得A=3（2）解：1x-1=1=1=1=1=6要使