苏科版数学七年级下册 第11章 一元一次不等式（高频易错题题型讲练）21个题型讲练+能力提升训练 共52题 同步练习 含答案

第十一章一元一次不等式『高频易错题题型讲练』第十一章一元一次不等式『高频易错题题型讲练』〔21个题型讲练+能力提升练共52题〕【苏科版七年级下册●新教材】模块一模块一目录索引知晓题型题型分类讲练 2TOC\o"1-2"\h\u题型一不等式的定义 2题型二不等式的解集 2题型三不等式的性质 2题型四一元一次不等式的定义 2题型五求一元一次不等式的解集 2题型六求一元一次不等式的整数解 3题型七在数轴上表示不等式的解集 3题型八求一元一次不等式解的最值 4题型九求不等式组的解集 4题型十求一元一次不等式组的整数解 5题型十一由一元一次不等式组的解集求参数 5题型十二由不等式组解集的情况求参数 5题型十三不等式组和方程组结合的问题 5题型十四列一元一次不等式组 6题型十五不等式组的经济问题 6题型十六不等式组的分配问题 7题型十七不等式组的方案选择问题 8题型十八一元一次不等式组的其他应用 9题型十九列一元一次不等式 9题型二十用一元一次不等式解决实际问题 11题型二十一用一元一次不等式解决几何问题 11能力提升训练 12模块二易错题型分类讲练模块二易错题型分类讲练题型一不等式的定义【典例分析】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列式子属于不等式的是（

）A．x+1 B．x=1 C．x≠1 D．1【变式训练】（24-25七年级下·河南焦作·月考）据郑州市气象台报道，明天最低气温是6°C，最高气温是17°C，那么明天气温t°A．t<6 B．6<t<17 C．6≤t≤17 D．t>6题型二不等式的解集【典例分析】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）下面各数中，是不等式x≥−3的解的是（

）A．−6 B．−5 C．−4 D．−1【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于x的不等式(m−2)x>n的解集是x>1，那么m，n满足的等量关系是________，m的取值范围是________．题型三不等式的性质【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若a>b，以下一定成立的是（）A．−a>−b B．3a>4b C．a2>b【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若m2<−n6，则题型四一元一次不等式的定义【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）若m−3xm−2+2025>0是关于x的一元一次不等式，则m【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（）A．x+2y≥2 B．8x+2<1 C．1x<12 题型五求一元一次不等式的解集【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式：x−13【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：x−1题型六求一元一次不等式的整数解【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式32x−3>5x−1的最小整数解是关于x的方程−x+a=2x−3【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知x=ay=b是二元一次方程2x+y=7的非负整数解，则a+b的最小值为________题型七在数轴上表示不等式的解集【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．(1)5−2x<1−x(2)2−5x−2【变式训练】（25-26七年级下·上海松江·期中）解不等式：x−13题型八求一元一次不等式解的最值【典例分析】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知x=2y=3是关于x，y的二元一次方程的ax+y=7

(1)求a的值．(2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值．【变式训练】（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3题型九求不等式组的解集【典例分析】（25-26七年级下·重庆·月考）解下列各题．(1)解方程x+12(2)解不等式组：5x−9<3x−1【变式训练】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组，并在数轴上表示出解集：2x−2题型十求一元一次不等式组的整数解【典例分析】（25-26七年级下·北京西城·期中）按要求解不等式（组）(1)解不等式2x−13(2)解不等式组5x−1>3x+1【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）求不等式组：2x−1题型十一由一元一次不等式组的解集求参数【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组12（1）当不等式组的解集为3≤x<6，则m的值为______；（2）当不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是______．【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）不等式组2x+9>6x+1x−k<1的解集为x<k+1，则k的取值范围为（

A．k≥1 B．k>1 C．k≤1 D．k<1题型十二由不等式组解集的情况求参数【典例分析】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的方程x−y=a的解满足2x−y=1−bx−2y=2b(0＜b＜2)，则a的取值范围是【变式训练】（25-26七年级下·北京房山·期中）当x<−1时，对于x的每一个值，−x的值都大于2x−1+m的值，则m的取值范围是（

）A．m≤4 B．m≥4 C．m>4 D．m<4题型十三不等式组和方程组结合的问题【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x，y的方程组3x+y=−13+mx−y=1+3m(1)若x+y=2，求m的值；(2)若x为非正数，y为负数，求m的取值范围．【变式训练】（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组{x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数，(1)求m的取值范围．(2)在（1）的条件下，若不等式2m+1x−2m<1的解集为x>1，则整数m题型十四列一元一次不等式组【典例分析】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（

）A．4x+77−6x>04x+77−6x<5 B．C．4x+77−6x−1>04x+77−6【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(

)A．8x+7≤8+9(x−1) B．8x+7≥9(x−1)C．8x+7<8+9x−18x+7≥9x−1题型十五不等式组的经济问题【典例分析】（25-26七年级下·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元．(1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？(2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？【变式训练】（25-26七年级从·湖南长沙·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半．(1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？(2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？题型十六不等式组的分配问题【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表：A种产品B种产品成本（万元/件）34利润（万元/件）13(1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？(2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？(3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（）A．8件 B．7件 C．6件 D．5件题型十七不等式组的方案选择问题【典例分析】（25-26七年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．(1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；(2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．【变式训练】（2026·贵州遵义·一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．(1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？(2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？题型十八一元一次不等式组的其他应用【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？【变式训练】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于17”为一次运算．运算进行了2次才停止，则x的取值范围是（

）A．4<x≤8 B．4≤x<5 C．5<x≤9 D．5≤x<9题型十九列一元一次不等式【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）小海在学习《积木可以叠多远？》时发现若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木叠在一起并逐块延伸，积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不能超过最下方一块积木的右边缘，因此他很快能求出每块积木最远延伸距离．每块积木长度为l，以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为l2(1)请把小海的研究方法补充完整：如图1，沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为a1，于是得到积木①的重心水平位置x1=______（用含l和a1的代数式表示），由于积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，即______(2)按照小海的方法继续探究：如图2，保持积木①、②相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木②，推动距离为a2积木①的重心水平位置x1积木②的重心水平位置x2因此积木①、②组合重心的水平位置x=x1(3)如图3，保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，求积木③的最远延伸距离（用含l的代数式表示）【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式（组）解决下列问题：(1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来．(2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示x的取值范围．题型二十用一元一次不等式解决实际问题【典例分析】（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．(1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？(2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，书架宽80cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm题型二十一用一元一次不等式解决几何问题【典例分析】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，∠A=∠E=90°，∠F=60°，∠C=45°，它们的斜边在同一直线上，D为BC边上一点，三角板DEF绕点D按顺时针方向旋转α0°<α≤60°(1)当α=________时，DF∥AC；当α=________时，(2)设DE交AB边于点N，DF交直线AC于点M，记∠CMD为∠1，∠BND为∠2．①如图2，当α=30°，求∠2−∠1的值；②当3∠1+∠2<160°时，求α的取值范围．【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为______．

模块三模块三能力提升闯关训练1．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）已知不等式组x<mx−8>4x+1的解集是x<−3，则m的取值范围是（

A．m>−3 B．m≥−3 C．m=−3 D．m<−32．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）关于x的不等式组2x−1<8x+52−x≤2A．8 B．9 C．10 D．153．（24-25七年级下·江苏南通·期中）国家规定：存款利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为3.5%．小辰爸爸有一笔一年定期存款，如果到期后全部取出，扣除利息税后不少于1028元．若设这笔一年定期存款是x元，则下列选项中正确的是（

）A．x+3.5%×20%=1028 B．x+3.5%x×C．3.5%x×20%=1028 D．3.5%x×4．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）若关于x的不等式ax+b>0的解集为x<12，则关于x的不等式bx<a的解集为5．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于x的不等式1−ax>2的解集为x>21−a，则6．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的二元一次方程组x−2y=m2x−3y=5的解满足x−y>0，则m的取值范围是______7．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知x=1，x=2都是关于x的一元一次不等式组x<2x−mx−2≤m的解，则m的取值范围是_______8．（2026·辽宁沈阳·一模）某学校决定购买A，B两种沈阳故宫文旅产品作为“校园艺术节”活动奖品，已知A种单价比B种贵20元，买5个A种产品和买9个B种产品的总价相同．(1)求A，B两种产品的单价；(2)在不超过预算资金1600元的前提下，学校准备购买A，B两种产品共60件，问最多购买A种产品多少件？9．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）求不等式3y+110．（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．(1)不等式x≤−3______x≥2的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）．(2)如果关于x的不等式x−m≥0不是3x+1<2x+4的“和谐不等式”，求m的取值范围．(3)当n≠2时，关于x的不等式x+4>n与不等式nx+2≤n+2x互为“和谐不等式”，求n的取值范围．

第十一章一元一次不等式『高频易错题题型讲练』第十一章一元一次不等式『高频易错题题型讲练』〔21个题型讲练+能力提升练共52题〕【苏科版七年级下册●新教材】模块一模块一目录索引知晓题型题型分类讲练 2TOC\o"1-2"\h\u题型一不等式的定义 2题型二不等式的解集 2题型三不等式的性质 3题型四一元一次不等式的定义 4题型五求一元一次不等式的解集 5题型六求一元一次不等式的整数解 5题型七在数轴上表示不等式的解集 6题型八求一元一次不等式解的最值 8题型九求不等式组的解集 9题型十求一元一次不等式组的整数解 10题型十一由一元一次不等式组的解集求参数 12题型十二由不等式组解集的情况求参数 13题型十三不等式组和方程组结合的问题 14题型十四列一元一次不等式组 16题型十五不等式组的经济问题 17题型十六不等式组的分配问题 19题型十七不等式组的方案选择问题 21题型十八一元一次不等式组的其他应用 22题型十九列一元一次不等式 24题型二十用一元一次不等式解决实际问题 27题型二十一用一元一次不等式解决几何问题 28能力提升训练 32模块二易错题型分类讲练模块二易错题型分类讲练题型一不等式的定义【典例分析】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列式子属于不等式的是（

）A．x+1 B．x=1 C．x≠1 D．1【答案】C【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键．根据不等式的定义解答即可．【详解】解：A、x+1不是不等式，故A选项不符合题意；B、x=1不是不等式，故B选项不符合题意；C、x≠1是不等式，故C选项符合题意；D、1x故选：C．【变式训练】（24-25七年级下·河南焦作·月考）据郑州市气象台报道，明天最低气温是6°C，最高气温是17°C，那么明天气温t°A．t<6 B．6<t<17 C．6≤t≤17 D．t>6【答案】C【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是6°C，最高气温是17°【详解】解：明天最低气温是6°C，最高气温是17°C，那么明天气温t°故选C．题型二不等式的解集【典例分析】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）下面各数中，是不等式x≥−3的解的是（

）A．−6 B．−5 C．−4 D．−1【答案】D【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为x≥−3，即找出满足不小于−3的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．【详解】解：A、−6<−3，故选项不符合题意；B、−5<−3，故选项不符合题意；C、−4<−3，故选项不符合题意；D、−1>−3，故选项符合题意；故选：D．【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于x的不等式(m−2)x>n的解集是x>1，那么m，n满足的等量关系是________，m的取值范围是________．【答案】m=n+2m>2【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出m−2>0，nm−2【详解】因为不等式(m−2)x>n的解集是x>1，所以m−2>0，nm−2所以m>2，m=n+2．故答案为：m=n+2，m>2．题型三不等式的性质【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若a>b，以下一定成立的是（）A．−a>−b B．3a>4b C．a2>b【答案】D【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可得到结论．【详解】解：A选项：∵a>b，根据不等式的基本性质三，不等式两边同时乘−1，不等号方向改变，∴−a<−b，故A选项不成立；B选项：举反例：若a=3.5，b=3，满足a>b，但3a=10.5，4b=12，3a<4b，故B选项不一定成立；C选项：举反例：若a=1，b=−2，满足a>b，但a2=1，b2故C选项不一定成立；D选项：∵a>b，根据不等式的基本性质一，不等式两边同时加3m，不等号方向不变，∴a+3m>b+3m，故D选项一定成立．【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若m2<−n6，则【答案】<【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，直接得到比较结果．【详解】解：由m2<−n6，两边同时乘故答案为：<．题型四一元一次不等式的定义【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）若m−3xm−2+2025>0是关于x的一元一次不等式，则m【答案】1【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解．此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．【详解】解：由题意，不等式是关于x的一元一次不等式，则|m−2|=1且m−3≠0，解|m−2|=1，得m−2=1或m−2=−1，即m=3或m=1，当m=3时，m−3=0，不符合系数不为0的条件，当m=1时，m−3=−2≠0，符合条件，故答案为：1．【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中属于一元一次不等式的是（）A．x+2y≥2 B．8x+2<1 C．1x<12 【答案】B【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式；【详解】解：式子x+2y≥2含有x,y两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求；式子8x+2<1只含1个未知数x，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求；式子1x<12中，选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求．题型五求一元一次不等式的解集【典例分析】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式：x−13【答案】x≤1【详解】解：x−13去分母得：2x−1去括号得：2x−2−3x+9≥6，移项合并同类项得：−x≥−1，解得：x≤1．【变式训练】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：x−1【答案】x<【详解】解：x−12去分母，得3(x−1)+12>6x+2(2x−1)，去括号，得3x−3+12>6x+4x−2，移项，得3x−6x−4x>−2+3−12，合并同类项，得−7x>−11，系数化为1，得x<11∴原不等式的解集为x<11题型六求一元一次不等式的整数解【典例分析】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）若不等式32x−3>5x−1的最小整数解是关于x的方程−x+a=2x−3【答案】a=21【详解】解：32x−36x−9>5x−1，解得x>8，∴不等式的最小整数解为x=9，把x=9代入−x+a=2x−3，得−9+a=2×解得a=21．【变式训练】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知x=ay=b是二元一次方程2x+y=7的非负整数解，则a+b的最小值为________【答案】4【分析】先将方程的解代入原方程，得到2a+b=7，根据非负整数的定义确定a的所有可能取值，再计算对应的a+b，比较得到最小值．【详解】解：将x=ay=b代入2x+y=7得：2a+b=7整理得b=7−2a，∵a,b为非负整数，∴a≥0，7−2a≥0，解得0≤a≤3.5，∵a为非负整数，∴a的可能取值为0,1,2,3．当a=0时，b=7，a+b=0+7=7；当a=1时，b=5，a+b=1+5=6；当a=2时，b=3，a+b=2+3=5；当a=3时，b=1，a+b=3+1=4．4<5<6<7，∴a+b的最小值为4．题型七在数轴上表示不等式的解集【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．(1)5−2x<1−x(2)2−5x−2【答案】(1)x>3，数轴表示见解析(2)x<1，数轴表示见解析【详解】（1）解：5−2x<去分母，得2去括号，得10−4x<1−x移项，得−4x+x<1−10合并同类项，得−3x<−9x系数化为1，得x>3；在数轴上表示不等式的解集如下：（2）解：2−去分母，得24−4去括号，得24−20x+8>9x+3移项，得−20x−9x>3−24−8合并同类项，得−29x>−29x系数化为1，得x<1；在数轴上表示不等式的解集如下：【变式训练】（25-26七年级下·上海松江·期中）解不等式：x−13【答案】x≤4，数轴见解析．【分析】首先两边同时乘以6去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．【详解】解：x−13x−132x−12x−2−3x+6≥x−4，2x−3x−x≥−4+2−6，−2x≥−8，x≤4．．题型八求一元一次不等式解的最值【典例分析】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）已知x=2y=3是关于x，y的二元一次方程的ax+y=7

(1)求a的值．(2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值．【答案】(1)a=2(2)0【分析】（1）将x=2y=3代入二元一次方程的ax+y=7可得一个关于a（2）先求出y=7−2x，再根据数轴可得y≤7，从而可得7−2x≤7，解一元一次不等式即可得．【详解】（1）解：将x=2y=3代入二元一次方程的ax+y=7得：2a+3=7解得a=2．（2）解：由（1）得：2x+y=7，则y=7−2x，由数轴得：y≤7，则7−2x≤7，解得x≥0，所以x的最小值是0．【变式训练】（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3【答案】0【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．【详解】原方程可化为：5(x+1)=10−2(x−1)，即7x=7，解得：x=1，把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，解不等式得：a>−1，所以整数a的最小值为0．题型九求不等式组的解集【典例分析】（25-26七年级下·重庆·月考）解下列各题．(1)解方程x+12(2)解不等式组：5x−9<3x−1【答案】(1)x=1(2)1≤x<3，解集在数轴上表示见解析【详解】（1）解：原方程组化为：3x−2y=1①由①+②×2解得x=1，把x=1代入②得：2×1+y=3，解得y=1，所以原方程组的解为x=1y=1（2）解：5x−9<3由①得，x<3；由②得，x≥1∴原不等式组的解集为1≤x<3，解集在数轴上表示为：【变式训练】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式组，并在数轴上表示出解集：2x−2【答案】x>−1，见解析【详解】解：2x−2解不等式2x−2+3≥x−3得：由不等式2x−13<5x+3∴不等式组的解集为：x>−1；解集在数轴上表示为：．题型十求一元一次不等式组的整数解【典例分析】（25-26七年级下·北京西城·期中）按要求解不等式（组）(1)解不等式2x−13(2)解不等式组5x−1>3x+1【答案】(1)x<−1(2)3，4，5．【详解】（1）解：去分母，得：2(2x−1)−3(x+1)<−6，去括号，得：4x−2−3x−3<−6，移项合并，得：x<−1，（2）解：解不等式5x−1>3(x+1)，去括号，得：5x−1>3x+3，移项合并，得：2x>4，∴x>2，解不等式3−x2去分母，得：3−x≥−2，移项，得：−x≥−5，系数化为1，得：x≤5，∴不等式组的解集为2<x≤5，∴整数解为3，4，5．【变式训练】（25-26七年级下·上海闵行·期中）求不等式组：2x−1【答案】−1，0，1【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再求出不等式组的公共解集，最后找出公共解集内的整数即可；【详解】解：解不等式①：2x−1两边同乘3得6x−1≤9−(5−x)，整理得6x−1≤4+x，移项合并得5x≤5，解得x≤1；解不等式②3x−8<2(3x−1)，去括号得3x−8<6x−2，移项合并得−3x<6，解得x>−2，所以不等式组的解集为−2<x≤1，因此该不等式组的整数解为−1，0，1．题型十一由一元一次不等式组的解集求参数【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组12（1）当不等式组的解集为3≤x<6，则m的值为______；（2）当不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是______．【答案】321<m≤3【分析】（1）首先解出不等式组的解集，然后比较求解即可；（2）根据不等式组的所有整数解的和是12，再由5+4+3=12或−2+【详解】解：（1）解不等式组12x−1<2∵不等式组的解集为3≤x<6，∴2m=3∴m=3（2）∵不等式组的解集为2m≤x<6，∵不等式组的所有整数解的和是12，∴为5+4+3=12，或−2∴2<2m≤3，或−3<2m≤−2∴1<m≤32，或【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）不等式组2x+9>6x+1x−k<1的解集为x<k+1，则k的取值范围为（

A．k≥1 B．k>1 C．k≤1 D．k<1【答案】C【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围【详解】解：解不等式2x+9>6x+1∵2x−6x>1−9∴−4x>−8系数化为1得x<2；解不等式x−k<1得x<k+1；∵不等式组的解集为x<k+1，根据“同小取小”原则，∴k+1≤2解得k≤1题型十二由不等式组解集的情况求参数【典例分析】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的方程x−y=a的解满足2x−y=1−bx−2y=2b(0＜b＜2)，则a的取值范围是【答案】1【分析】通过方程组构造出x−y即a的表达式．熟练掌握整体代换思想和不等式的变形规则，是快速求出a取值范围的关键．【详解】解：2x−y=1−b①x−2y=2b②将方程①与方程②相加：2x−y3x−3y=1+b，3x−y∵x−y=a，∴3a=1+b，∴a=1+b∵已知0＜0+1＜∴1＜在不等式两边同时除以3，13∴13【变式训练】（25-26七年级下·北京房山·期中）当x<−1时，对于x的每一个值，−x的值都大于2x−1+m的值，则m的取值范围是（

）A．m≤4 B．m≥4 C．m>4 D．m<4【答案】A【详解】解：已知当x<−1时，−x>2x−1+m恒成立，解不等式−x>2x−1+m得x<1−m由题意得1−m3解得m≤4．题型十三不等式组和方程组结合的问题【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x，y的方程组3x+y=−13+mx−y=1+3m(1)若x+y=2，求m的值；(2)若x为非正数，y为负数，求m的取值范围．【答案】(1)m=−9(2)−2<m≤3【分析】（1）两式相减得到x+y关于m的表达式，再结合x+y=2求解m的值；（2）先解方程组，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，列不等式组求解即可．【详解】（1）解：3x+y=−13+m①x−y=1+3m②①−②得，2x+2y=−14−2m，∴x+y=−7−m，∵x+y=2，∴−7−m=2，∴m=−9；（2）解：3x+y=−13+m①x−y=1+3m②①+②得，4x=−12+4m，∴x=−3+m，将x=−3+m代入②得，−3+m−y=1+3m，∴y=−4−2m，∵x为非正数，y为负数，∴−3+m≤0解得−2<m≤3．【变式训练】（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组{x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数，(1)求m的取值范围．(2)在（1）的条件下，若不等式2m+1x−2m<1的解集为x>1，则整数m【答案】(1)−2<m≤(2)整数m的值是−1【分析】（1）先解二元一次方程组得到用m表示的x,y，再根据x为非负数，y为负数列出不等式组，求解得到m的取值范围；（2）整理不等式后，根据解集x>1判断x系数的符号，得到m的新范围，结合（1）的范围即可求出整数m．【详解】（1）解：给定方程组x−y=11−m①①+②，得2x=18−4m，解得x=9−2m；②−①，得2y=−4−2m，解得y=−2−m．∵x为非负数，y为负数，∴9−2m≥0−2−m<0解第一个不等式，得m≤9解第二个不等式，得m>−2．因此m的取值范围是−2<m≤9（2）解：整理不等式(2m+1)x−2m<1得(2m+1)x<2m+1，当2m+1>0时，x<1，不合题意；当2m+1=0时，x不存在；当2m+1<0时，x>1，此时m<−1结合（1）中−2<m≤92，可得因此范围内的整数m为−1．题型十四列一元一次不等式组【典例分析】（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（

）A．4x+77−6x>04x+77−6x<5 B．C．4x+77−6x−1>04x+77−6【答案】C【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键．设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有4x+77本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可．【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有4x+77本书，若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，则4x+77−6x−1故选：C．【变式训练】（24-25七年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(

)A．8x+7≤8+9(x−1) B．8x+7≥9(x−1)C．8x+7<8+9x−18x+7≥9x−1【答案】C【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为8x+7棵，根据“每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵”列一元一次不等式组即可．【详解】解：若每人平均植树9棵，则x−1位同学植树棵数为9x−1∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为7x+9棵，∴可列不等式组为：8x+7<8+9x−1故选：C．题型十五不等式组的经济问题【典例分析】（25-26七年级下·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元．(1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？(2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？【答案】(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元(2)共有7种购买方案【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键．（1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是x−20元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可；（2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品100−n件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答．【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是x−20元．根据题意，得x+2x−20解得x=90，∴x−20=90−20=70．答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元．（2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品100−n件，根据题意，得90n+70100−n解得1003∵n为正整数，∴n=34,35,36,37,38,39,40，∴共有7种购买方案．【变式训练】（25-26七年级从·湖南长沙·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半．(1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？(2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份；(2)133【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可；（1）设A物资买了x份，B物资买了200−x份；列出方程，求解即可；

（2）设A物资买了y份，B物资买了200−y份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可.【详解】（1）解：设A物资买了x份，B物资买了200−x份；1.5x+3200−x解得：x=100，B物资：200−100=100，答：A物资买了100份，B物资买了100份；（2）设A物资买了y份，B物资买了200−y份；1.5y+3200−y解得：y≥120，∵B物资的数量不低于A物资数量的一半，∴200−y≥12解得：y≤400∴120≤y≤400∴A物资最多可以买133份.题型十六不等式组的分配问题【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表：A种产品B种产品成本（万元/件）34利润（万元/件）13(1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？(2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？(3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润【答案】(1)A种产品应生产11件，B种产品生产4件；(2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产4件，B种产品生产11件；第二种A种产品应生产5件，B种产品生产10件；第三种A种产品应生产6件，B种产品生产9件；(3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产15−x件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可；（2）设A产品应生产a件，则B产品应生产15−a件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出4≤a<7，即可得到答案；（3）分别求出三种方案获利，比较即可．【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产15−x件，∵工厂计划获利23万元，∴x+315−x解得：x=11，∴15−x=4，即A种产品应生产11件，B种产品生产4件；（2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产15−a件，∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，∴3a+415−a解得：a≥4∴4≤a<7，可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产4件，B种产品生产15−4=11件；第二种A种产品应生产5件，B种产品生产15−5=10件；第三种A种产品应生产6件，B种产品生产15−6=9件；（3）解：第一种A种产品应生产4件，B种产品生产11件获利4×1+3×11=37（万元）；第二种A种产品应生产5件，B种产品生产10件获利5×1+3×10=35（万元）；第三种A种产品应生产6件，B种产品生产9件获利6×1+3×9=33（万元）；可知第一种获利最大，最大利润为37万元．【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（）A．8件 B．7件 C．6件 D．5件【答案】D【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得z=x+1y=11−2x，再由x≥0,z≥0,y≥0，得到关于x【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得：3x+5y+7z=62①由①−②得：解得：z=x+1y=11−2x根据题意得：x≥0,z≥0,y≥0，∴x+1≥011−2x≥0解得：0≤x≤5.5，∵x为整数，∴x最大取5，答：A种仪器最多可买5件．故选：D题型十七不等式组的方案选择问题【典例分析】（25-26七年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．(1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；(2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．【答案】(1)每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元(2)共有17种采购方案【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本；（2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量．【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元，根据题意可得4x=5y解得x=20y=16答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元．（2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件(100−m)个，m为正整数，根据题意可得20m+16(100−m)≤1800解得331因为m为正整数，所以m的取值为34,35,m的可取值个数为50−34+1=17答：小王共有17种采购方案．【变式训练】（2026·贵州遵义·一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．(1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？(2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？【答案】(1)A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹(2)该物流中心有3种投入方案【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人(10−a)台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案．【详解】（1）解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹．由题意得：2x=3yx+2y=3500∴解得：x=1500答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹．（2）解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人(10−a)台．由题意得：3a+210−a∴解得：4≤a≤6．∵a为非负整数，∴a可为4、5、6，∴该物流中心有3种投入方案．题型十八一元一次不等式组的其他应用【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元．(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元(2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价；（2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案．【详解】（1）解：设甲种图书的单价是x元，乙种图书的单价是y元．根据题意得7x+4y=2903x+6y=210解得x=30y=20答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元．（2）解：设购买甲种图书a本，则购买乙种图书(60−a)本．∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元，∴a≥60−a30a+20(60−a)≤1550解不等式a≥60−a，得a≥30．解不等式30a+20(60−a)≤1550，得10a≤350，即a≤35．解不等式60−a>0得，a<60．∴不等式组的解集为30≤a≤35．∵a为正整数，∴a的取值为30，31，32，33，34，35．答：学校共有6种购买方案，分别是：方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本．【变式训练】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于17”为一次运算．运算进行了2次才停止，则x的取值范围是（

）A．4<x≤8 B．4≤x<5 C．5<x≤9 D．5≤x<9【答案】C【分析】由运算程序可得，第1次运算结果为2x−1，第2次运算结果为2(2x−1)−1，再根据题意列出一元一次不等式组解答即可求解．【详解】解：由运算程序可得，第1次运算结果为2x−1，第2次运算结果为2(2x−1)−1，∵运算进行了2次才停止，∴第1次运算结果不大于17，且第2次运算结果大于17，2x−1≤172(2x−1)−1>17解得5<x≤9，∴x的取值范围是5<x≤9．题型十九列一元一次不等式【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）小海在学习《积木可以叠多远？》时发现若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木叠在一起并逐块延伸，积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不能超过最下方一块积木的右边缘，因此他很快能求出每块积木最远延伸距离．每块积木长度为l，以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为l2(1)请把小海的研究方法补充完整：如图1，沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为a1，于是得到积木①的重心水平位置x1=______（用含l和a1的代数式表示），由于积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，即______(2)按照小海的方法继续探究：如图2，保持积木①、②相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木②，推动距离为a2积木①的重心水平位置x1积木②的重心水平位置x2因此积木①、②组合重心的水平位置x=x1(3)如图3，保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，求积木③的最远延伸距离（用含l的代数式表示）【答案】(1)l2+a1(2)x≤l；(3)l【分析】（1）根据题干信息进行求解即可；（2）根据题意得出x≤l，即l2+a1（3）先得出xnew=x1+x2【详解】（1）解：∵以最下方一块积木的左边缘为原点，向右为正方向，每块积木的重心初始水平位置均为l2∴沿平行于积木长边的方向向右推动最上面的积木（即积木①），推动距离为a1，积木①的重心水平位置x∵积木不倾倒的条件是积木①的重心水平位置不能超过积木②的右边缘，∴l2解得：a1∴积木①的最远延伸距离是l2（2）解：根据题意得：积木不倾倒的条件是x≤l即l2整理得：a1把a1=l解得：a2∴a2最大值为l（3）解：保持积木①、②、③的相对位置不变，沿平行于积木长边的方向向右推动积木③，推动距离为a3此时积木①、②、③的重心水平位置分别为：x1x2x3积木①、②、③组合重心的水平位置xnew由于积木不倾倒的条件是积木组合的重心水平位置不超过最下方一块积木（积木④）的右边缘，即xnew∴l2即3l2a1将a1=ll2解得：a3答：积木③的最远延伸距离为l6【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式（组）解决下列问题：(1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来．(2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示x的取值范围．【答案】(1)x>2(2)210<x≤260【分析】（1）根据题意列不等式即可；（2）当小丽进电梯后电梯警示音未响起，得出x+40≤300，当小华进电梯后，电梯因超重而警示音响起，列出不等式x+40+50>300，得到不等式组x+40≤300x+40+50>300【详解】（1）解：根据题意得x>2；（2）解：根据题意得x+40≤300解得210<x≤260．题型二十用一元一次不等式解决实际问题【典例分析】（2026·湖南长沙·一模）2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．(1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？(2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？【答案】(1)每台A型机器人的单价为300元，每台B型机器人的单价为200元；(2)最多能购买A型机器人100台．【分析】（1）设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，根据购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）该公司购买A型机器人m台（m为正整数），则购买B型机器人(200−m)台，根据总费用不超过50000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设每台A型机器人的单价为x元，每台B型机器人的单价为y元，由题意得：x+2y=7002x+3y=1200解得：x=300y=200答：每台A型机器人的单价为300元，每台B型机器人的单价为200元；（2）解：该公司购买A型机器人m台（m为正整数），则购买B型机器人(200−m)台，由题意得：300m+200200−m解得：m≤100，答：最多能购买A型机器人100台．【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，书架宽80cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm【答案】数学书最多还可以摆77本【分析】设数学书最多还可以摆x本，根据题意列出关于x的一元一次不等式并求解，即可获得答案．【详解】解：设数学书最多还可以摆x本，1.2×15+0.8x≤80，解得x≤77.5，∴数学书最多还可以摆77本．题型二十一用一元一次不等式解决几何问题【典例分析】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，∠A=∠E=90°，∠F=60°，∠C=45°，它们的斜边在同一直线上，D为BC边上一点，三角板DEF绕点D按顺时针方向旋转α0°<α≤60°(1)当α=________时，DF∥AC；当α=________时，(2)设DE交AB边于点N，DF交直线AC于点M，记∠CMD为∠1，∠BND为∠2．①如图2，当α=30°，求∠2−∠1的值；②当3∠1+∠2<160°时，求α的取值范围．【答案】(1)45°；15°(2)①60°；②20°<a≤60°且a≠45°【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出∠1、∠2与α的关系是解题的关键．（1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出α即可；（2）①分别求出∠2和∠1，再做差即可；②分当0°<a<45°时、当a=45°时和当45°<a≤60°时三种情况分析，求出∠2和∠1，根据3∠1+∠2<160°列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解．【详解】（1）如下图所示，要使得DF∥则∠BDF=∠C=45°，∴当α=45°时，DF∥如下图所示，要使得DE⊥AB，则DE∥AC，∴∠BDE=∠C=45°，又∵∠EDF=30°，∴∠BDF=∠BDE−∠EDF=15°，即当α=15°时，DE⊥AB，故答案为：45°，15°；（2）①∵α=30°，即∠BDF=30°，∠EDF=30°∴∠CDM=∠BDF=30°，∠BDN=∠BDF+∠EDF=60°，∴∠2=∠BND=180°−∠B−∠BDN=75°，又∵∠ACB=45°，∴∠BCM=180°−∠ACB=135°，∴∠1=∠CMD=180°−∠BCM−∠CDM=15°，∴∠2−∠1=60°；②当0°<a<45°时，同理：∵∠BDF=α，∠EDF=30°∴∠CDM=∠BDF=α，∠BDN=∠BDF+∠EDF=α+30°，，∴∠2=∠BND=180°−∠B−∠BDN=105°−α，又∵∠ACB=45°，∴∠BCM=180°−∠ACB=135°，∴∠1=∠CMD=180°−∠BCM−∠CDM=45°−α，∴3∠1+∠2=3解得：α>20°，∴20°<a<45°，当a=45°，FD∥AC，此时不合题意；当45°<a≤60°时，DF的延长线与CA的延长线无交点，如下图所示：同理可得：∠2=105°−α，∵∠BDF=α，∴∠CDM=180°−α，∴∠1=∠CMD=180°−∠C−∠CDM=α−45°，∴3∠1+∠2=3α−45°解得：α<95°，∴45°<a≤60°，综上所述：α的取值范围是20°<a≤60°且a≠45°．【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为______．

【答案】185或【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到a的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：6−a，长为：a时，得：6−a<a∴a>3当剩下的长方形宽为：a，长为：6−a时，得：a<6−a∴a<3∵3<a<6∴第一次操作，剩下的长方形宽为：6−a，长为：a；第二次操作，当剩下的长方形宽为：6−a，长为：a−6−a=2a−6时，得：解得：a>4∴4<a<6当剩下的长方形宽为：2a−6，长为：6−a时，得：6−a>2a−6解得：a<4∴3<a<4∵在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且n=3∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：6−a时，得：6−a=2a−6−解得：a=9∵4<∴a=9当剩下的正方形边长为：2a−6时，得：2a−6=6−a−解得：a=∵3<∴a=18∴a的值为：185或9故答案为：185或9模块三模块三能力提升闯关训练1．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）已知不等式组x<mx−8>4x+1的解集是x<−3，则m的取值范围是（

A．m>−3 B．m≥−3 C．m=−3 D．m<−3【答案】B【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可．【详解】解：解不等式x−8>4x+1移项得x−4x>1+8合并同类项得−3x>9系数化为1得x<−3∵不等式组x<mx<−3的解集是∴m≥−3．2．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）关于x的不等式组2x−1<8x+52−x≤2A．8 B．9 C．10 D．15【答案】C【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集中的所有整数，计算整数解的和即可得到结果．【详解】解：2x−1<8移项合并