苏科版数学七年级下册 第12章 定义 命题 证明复习 学案 含答案

第十二章定义命题证明（复习讲义）1.了解定义的意义，能说出常见数学概念（如角、平行线）的定义，理解定义需准确、简洁、揭示本质属性；2.了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写成“如果…那么…”形式；能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题；3.了解证明的必要性，知道仅凭观察、实验、归纳不足以保证结论正确；理解证明的基本步骤（画图→已知→求证→证明）与书写格式；明确定义、基本事实（公理）、已证定理可作为推理依据；能进行简单几何命题的证明，做到每步有据、条理清晰。了解定理的概念，知道定理是经证明为真的命题；能识别互逆命题，知道原命题成立，逆命题不一定成立。知识点重点归纳常见易错点定义定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说“给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念.给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象.一个概念的定义中要求语言简洁明了，语义清晰，不能含有“可能”，“差不多”能模棱两可的词语。命题1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一.

2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成.3.真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。4.互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。1.命题一定是表示真假的陈述句，反之，陈述句不一定都是命题，最常考的表示作图的句子就不是命题。2.互逆命题是两个命题之间的关系，它们是相互的，A命题是B命题的逆命题，反之，B命题也是A命题的逆命题。证明证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实(如概念的定义,基本性质,真命题等),用“因为……,所以…”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。能作为证明依据的通常是教材中给出的一些概念、性质、定理、公理、基本事实等。反证法反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.用反证法证明一个命题的步骤一般为:（1）先假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立.在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法.举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子.1.反证法通常用于一些不太方便证明的命题；2.反证法的使用要按照先假设结论不成立；再由假设退出矛盾（一般与题目条件或已知的定理、性质、基本事实）矛盾；最后再得出结论。3.举反例说明一个假命题，只需要一个简单的反例即可，越简单越好。定理1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据.由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论.2.教材中出现的几个常用定理或推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。（2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）多边形内角和定理:n边形的内角和等于（4）多边形外角和定理:多边形的外角和等于360°.（5）平行线的性质定理:平行于同一条直线的两条直线平行.定理即是经过证明的真命题，也就是说定理一定是命题，但命题不一定都是定理。题型一题型一命题的概念与识别【例1】下列语句中不是命题的是（

）A．两点之间，线段最短． B．鸟是动物．C．连接两点． D．无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．【变式1-1】下列语句中，不是命题的是（

）A．延长线段 B．两点之间，线段最短C．同位角相等 D．如果，那么【变式1-2】下列语句是命题的有（）个．①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．A．3 B．4 C．5 D．6题型二题型二命题的构成【例2】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角【变式2-1】“同位角相等，两直线平行”的题设为___________，结论为___________．【变式2-2】命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是___________，结论是___________．题型三题型三命题的真假判断【例3】下列命题中，是真命题的是（

）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．在同一平面内，如果，，那么C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．如果，那么【变式3-1】下列命题是真命题的是（

）A．若，，则 B．同位角相等C．如果，那么 D．如果直线a⊥b，，那么【变式3-2】下列命题中的假命题是（

）A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．对顶角相等D．同旁内角相等，两直线平行题型四题型四举例说明假命题的错误【例4】下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（

）A． B． C． D．【变式4-1】下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（

）A．， B．，C．， D．，【变式4-2】对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（

）A． B．，C．， D．，题型五题型五写出一个命题的逆命题【例5】写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________．【变式5-1】命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题．【变式5-2】命题“垂线段最短”的逆命题是_____________．题型六题型六证明一个命题是真命题【例6】命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．(1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________．(2)证明：(3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）．【变式6-1】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．已知：______，求证：______．（只须填写序号）证明：【变式6-2】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．题型七题型七补充证明过程中的步骤或依据【例7】如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：，（理由：）．平分，．．，，（理由：）．（理由：）．【变式7-1】如图，点为内部一点，点，点分别在射线，上．与相交于点，且，．求证：．证明：∵（已知），∴___________（

）；∵，∴___________（

）；∴（

）．【变式7-2】如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据．证明：（已知），．（等式性质1），又（已知），________（__________________），（______________），（已知），__________________（______________），（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．题型八题型八关于定理的说法判断【例8】下列说法正确的是（

）A．任何定理都有逆定理B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题D．定理的逆命题都是真命题【变式8-1】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理【变式8-2】下面关于公理和定理的说法正确的是（

）A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用题型九题型九有关代数问题的证明【例9】代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．证明：，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），，（已证）．（不等式的传递性）(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；证明：且，均为正数，（已知）不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）．（不等式的传递性）(2)请你尝试证明：若，则．(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．【变式9-1】试证明能被3整除．【变式9-2】已知：，，，，求证：(1)；(2)；题型十题型十用反证法证明问题【例10】用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于．【变式10-1】用反证法证明：若，则a必为负数．【变式10-2】求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．(1)你会选择哪一种证明方法？(2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题（本题共10小题）1．下列语句中，属于定义的是（

）A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等2．下列句子中，是真命题的是（

）A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角3．下列命题，是真命题的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．相等的角是对顶角C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补4．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（

）A． B． C． D．5．下列各命题的逆命题是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．内错角相等C．若，则 D．若，则6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角7．下列命题中，判断错误的是（

）A．所有定理都有逆命题B．对顶角相等的逆命题是真命题C．假命题的逆命题不一定是假命题D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行8．下列说法中，错误的是（

）A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实B．定义是命题，并且是真命题C．“两点之间，线段最短”是基本事实D．“两点之间，线段最短”是定理9．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（

）A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于10．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（

）A． B．a与b不平行 C． D．a⊥b二、填空题（本题共6小题）11．命题“等角的补角相等”的条件是_______．12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________．13．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________．要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例．14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）．15．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________．①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；③9、5、8、3四个数字都不正确；④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．16．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本．三、解答题（本题共4小题）17．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题．(1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号）(2)证明你构造的命题是真命题．18．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题：(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．19．补全下列推理过程：如图，，，，试说明．解：∵，，（已知），∴（垂直的定义），∴（____________）．∴（____________）．∵（已知），∴____________（等量代换）．∴（____________）．20．已知实数满足，且是正整数，．(1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由；(2)求证：是完全平方数．能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题（本题共10小题）1．下列句子中属于命题的是（

）A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等2．下列语句中，是定义的是（

）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线C．对顶角相等 D．同角的余角相等3．下列命题中，是真命题的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．相等的角是对顶角C．两点之间，线段最短D．若，则4．“如果，那么”是假命题，那么、的值可能为（

）A．、 B．、C．、 D．、5．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|6．命题“如果，那么或”的结论是(

)A．或 B．C．或 D．或7．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（

）A．设这个角是，它的余角是，但B．设这个角是，它的余角是，但C．设这个角是，它的余角是，但D．设这个角是，它的余角是，但8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．下列说法中，错误的是（

）A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实B．定义是命题，并且是真命题C．“两点之间，线段最短”是基本事实D．“两点之间，线段最短”是定理10．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：证明：如图，，．，，，已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（

）A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等二、填空题（本题共6小题）11．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________．12．命题“同位角相等”的条件是______．13．定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：_________．14．请举出一个关于角相等的定理：_____．15．若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是________．16．甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______．三、解答题（本题共4小题）17．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果，那么；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果，那么，．18．证明：是平方数．19．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：， （理由： ）．平分， ．．，， （理由： ）．（理由： ）．20．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）

第十二章定义命题证明（复习讲义）1.了解定义的意义，能说出常见数学概念（如角、平行线）的定义，理解定义需准确、简洁、揭示本质属性；2.了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写成“如果…那么…”形式；能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题；3.了解证明的必要性，知道仅凭观察、实验、归纳不足以保证结论正确；理解证明的基本步骤（画图→已知→求证→证明）与书写格式；明确定义、基本事实（公理）、已证定理可作为推理依据；能进行简单几何命题的证明，做到每步有据、条理清晰。了解定理的概念，知道定理是经证明为真的命题；能识别互逆命题，知道原命题成立，逆命题不一定成立。知识点重点归纳常见易错点定义定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说“给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念.给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象.一个概念的定义中要求语言简洁明了，语义清晰，不能含有“可能”，“差不多”能模棱两可的词语。命题1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一.

2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成.3.真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。4.互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。1.命题一定是表示真假的陈述句，反之，陈述句不一定都是命题，最常考的表示作图的句子就不是命题。2.互逆命题是两个命题之间的关系，它们是相互的，A命题是B命题的逆命题，反之，B命题也是A命题的逆命题。证明证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实(如概念的定义,基本性质,真命题等),用“因为……,所以…”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。能作为证明依据的通常是教材中给出的一些概念、性质、定理、公理、基本事实等。反证法反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.用反证法证明一个命题的步骤一般为:（1）先假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立.在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法.举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子.1.反证法通常用于一些不太方便证明的命题；2.反证法的使用要按照先假设结论不成立；再由假设退出矛盾（一般与题目条件或已知的定理、性质、基本事实）矛盾；最后再得出结论。3.举反例说明一个假命题，只需要一个简单的反例即可，越简单越好。定理1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据.由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论.2.教材中出现的几个常用定理或推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。（2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）多边形内角和定理:n边形的内角和等于（4）多边形外角和定理:多边形的外角和等于360°.（5）平行线的性质定理:平行于同一条直线的两条直线平行.定理即是经过证明的真命题，也就是说定理一定是命题，但命题不一定都是定理。题型题型一命题的概念与识别【例1】下列语句中不是命题的是（

）A．两点之间，线段最短．B．鸟是动物．C．连接两点．D．无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．【答案】C【分析】本题考查了命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．非陈述句或无法判断真假的语句不是命题，直接利用定义对各选项进行判断即可．【详解】解：A．两点之间，线段最短是陈述句，且符合几何公理，可判断为真，是命题．B．鸟是动物是陈述句，根据生物学分类可判断为真，是命题．C．连接两点是祈使句，表示动作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题．D．无论为怎样的自然数，式子的值都是质数是陈述句，可判断真假，属于命题．故选：C．【变式1-1】下列语句中，不是命题的是（

）A．延长线段 B．两点之间，线段最短C．同位角相等 D．如果，那么【答案】A【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可．【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题；B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题；C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题；D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题，故选：A．【变式1-2】下列语句是命题的有（）个．①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】本题考查命题，判断事件的语句叫命题．掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案．【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题；⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题．综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个，故选B．题型二题型二命题的构成【例2】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角【答案】D【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角”写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．故选：D．【变式2-1】“同位角相等，两直线平行”的题设为___________，结论为___________．【答案】同位角相等两直线平行【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键．由命题的题设和结论的定义进行解答．【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分；故答案为：同位角相等；两直线平行．【变式2-2】命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是___________，结论是___________．【答案】两个数的绝对值相等这两个数互为相反数【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果，那么的性质，如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可．【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数，∴命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数，故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数．题型三题型三命题的真假判断【例3】下列命题中，是真命题的是（

）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．在同一平面内，如果，，那么C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．如果，那么【答案】D【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐一判断选项．【详解】解：A选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等但不是对顶角，因此A是假命题；B选项：∵在同一平面内，，，∴，因此B是假命题；C选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行，因此C是假命题；D选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，∴，因此D是真命题．【变式3-1】下列命题是真命题的是（

）A．若，，则B．同位角相等C．如果，那么D．如果直线，，那么【答案】A【分析】根据等量代换，平行线的性质，平方的性质，逐一判断各命题真假，即可得出结论．【详解】解：A、若，，则，原命题是真命题，符合题意；B、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题是假命题，不符合题意；C、如果，则或，原命题是假命题，不符合题意；D、如果直线，，那么，原命题是假命题，不符合题意；【变式3-2】下列命题中的假命题是（

）A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．对顶角相等D．同旁内角相等，两直线平行【答案】D【分析】根据平行线的判定、平行公理、对顶角的性质逐一即可判断．【详解】解：、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合几何定理，是真命题，该选项不符合题意；、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理内容，是真命题，该选项不符合题意；、对顶角相等，是对顶角的基本性质，是真命题，该选项不符合题意；、平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行，原命题是假命题，该选项符合题意．题型四题型四举例说明假命题的错误【例4】下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（是非零有理数）但不满足结论的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时，因此找正有理数即可．【详解】解：∵当时，是有理数，又∵，∴，即存在有理数，使得，故原命题是假命题；对于A选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题；对于C选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题；对于D选项，是无理数，不满足题设“是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题．故选：B．【变式4-1】下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】本题考查命题与定理．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的只有，，此时，但，故选：C．【变式4-2】对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（

）A． B．，C．， D．，【答案】D【分析】本题主要考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键．反例需满足且至少有一个角不大于．【详解】解：A、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；B、，且、都大于，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；C、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；D、，且，可以说明它是假命题，故选项符合题意．故选：D．题型五题型五写出一个命题的逆命题【例5】写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________．【答案】如果或，那么【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题．【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么．故答案为：如果或，那么．【变式5-1】命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题．【答案】假【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解题关键；逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可．【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”．逆命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，根据垂直的性质定理，垂直于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题．故答案为：假．【变式5-2】命题“垂线段最短”的逆命题是_____________．【答案】最短的线段是垂线段【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清原命题的条件和结论部分，再互换位置则可得逆命题．【详解】解：原命题“垂线段最短”可表述为“如果一条线段是垂线段，那么它是最短的”．根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到逆命题“如果一条线段是最短的，那么它是垂线段”，即“最短的线段是垂线段”．故答案为：最短的线段是垂线段．题型六题型六证明一个命题是真命题【例6】命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．(1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________．(2)证明：(3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）．【答案】(1)，(2)见解析(3)真【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可；（2）根据平行线的性质和判定证明即可；（3）根据题意，直接写出结论．【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）证明：平分平分，，，；（3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题．【变式6-1】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．已知：______，求证：______．（只须填写序号）证明：【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一）【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得【详解】解：已知①②，求证∶③，证明∶∵，∴，∵平分，∴，∴．故答案为∶①②；③．【变式6-2】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．【答案】见解析【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；结论：它们互相垂直．是真命题；如图，，是邻补角，，分别平分，．题型七题型七补充证明过程中的步骤或依据【例7】如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：，（理由：）．平分，．．，，（理由：）．（理由：）．【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定和性质补充证明过程即可．【详解】证明：，（理由：两直线平行，内错角相等）．平分，．．，．（理由：同位角相等，两直线平行）．（理由：两直线平行，同旁内角互补）．【变式7-1】如图，点为内部一点，点，点分别在射线，上．与相交于点，且，．求证：．证明：∵（已知），∴___________（

）；∵，∴___________（

）；∴（

）．【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行【详解】证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）；∵，∴（等量代换）；∴（同位角相等，两直线平行）．【变式7-2】如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据．证明：（已知），．（等式性质1），又（已知），________（__________________），（______________），（已知），__________________（______________），（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【答案】证明过程见解析【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可．【详解】证明：（已知）．（等式性质1），又（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（已知），（同旁内角互补，两直线平行），（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．题型八题型八关于定理的说法判断【例8】下列说法正确的是（

）A．任何定理都有逆定理B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题D．定理的逆命题都是真命题【答案】B【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真．【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题，∴只有当逆命题为真时，才有逆定理，∴选项B正确．∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理，∴A错误．∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”），∴C错误．∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题，∴D错误．故选B．【变式8-1】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理【答案】B【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可．【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意；B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意；C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意；D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意；故选：B．【变式8-2】下面关于公理和定理的说法正确的是（

）A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用【答案】C【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系．根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性．【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题．A：公理和定理都是真命题，此说法错误；B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误；C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确；D：公理无需证明即可使用，此说法错误．故选：C．题型九题型九有关代数问题的证明【例9】代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．证明：，（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），（已知）在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质），，（已证）．（不等式的传递性）(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；证明：且，均为正数，（已知）不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）．（不等式的传递性）(2)请你尝试证明：若，则．(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质．（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；（2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题；（3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论．【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知）不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质）不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质）．（不等式的传递性）；故答案为：，；（2）证明：，不等式两边同加上，得，不等式两边同时除以2，得；（3）解：真命题，证明：设这三个自然数分别是，，，其中，，能被3整除，这三个自然数的和能被3整除．【变式9-1】试证明能被3整除．【答案】见解析【分析】先将原式各项变形为同底数幂的形式，再通过提取公因式化简原式，若化简结果含有因数3，即可证明原式能被3整除．【详解】证明：∵=====又∵是正整数∴含有因数∴能被整除．【变式9-2】已知：，，，，求证：(1)；(2)；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．（1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得；（2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴∴；（2）解：∵，，，∴，∴,∴．题型十题型十用反证法证明问题【例10】用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于．【答案】见解析【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．【详解】假设，根据不等式的基本性质，，这与矛盾，假设不成立，中至少有一个大于等于【变式10-1】用反证法证明：若，则a必为负数．【答案】见解析【分析】此题主要考查了反证法．假设a不是负数，那么a是0或a是正数，然后分情况求解即可．【详解】证明：假设a不是负数，那么a是0或a是正数．（1）如果a是零，那么，这与条件矛盾，所以a不可能是零；（2）如果a是正数，那么，这与条件矛盾，所以a不可能是正数．综合（1）和（2），知a不可能是0，也不可能是正数．所以a必为负数．【变式10-2】求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．(1)你会选择哪一种证明方法？(2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？【答案】(1)反证法(2)答案见解析【分析】根据题意，画出图形，结合图形写出已知和求证，再运用反证法证明．【详解】（1）解：反证法；（2）如下图，直线，求证：证明：假设与不平行，则直线与相交，设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线都和直线平行，这就与“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾，所以假设不能成立，故．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题（本题共10小题）1．下列语句中，属于定义的是（

）A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等【答案】C【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可．【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，所以都不是定义，只有是定义．故选：C．2．下列句子中，是真命题的是（

）A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角【答案】B【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可．【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求；选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求；选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求；选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求．3．下列命题，是真命题的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．相等的角是对顶角C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补【答案】C【分析】根据对顶角定义，平行公理，平行线的判定与性质，逐个判断各选项命题的真假即可．【详解】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故A是假命题，不符合要求；B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶角，故B是假命题，不符合要求；C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是，根据同位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故C是真命题，符合要求；D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论，故D是假命题，不符合要求．4．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题．举反例说明一个命题是假命题时，所举的例子必须符合命题的条件，但是不符合命题的结论．【详解】解：A选项：，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意；B选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意；C选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意；D选项：，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意．故选：D．5．下列各命题的逆命题是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．内错角相等C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可．【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意；B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意；C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意：D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意．故选：C．6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角【答案】D【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角”写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．故选：D．7．下列命题中，判断错误的是（

）A．所有定理都有逆命题B．对顶角相等的逆命题是真命题C．假命题的逆命题不一定是假命题D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行【答案】B【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假．【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确；选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误；选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确．选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确．因此，判断错误的是选项B．故选：B．8．下列说法中，错误的是（

）A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实B．定义是命题，并且是真命题C．“两点之间，线段最短”是基本事实D．“两点之间，线段最短”是定理【答案】C【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题．【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确；选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确；选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确；选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误．故选：C．9．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（

）A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于【答案】C【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论．【详解】解：先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，与已知已知四个正数的和等于1矛盾，故至少有一个数不大于，故选：C．10．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（

）A． B．a与b不平行 C． D．a⊥b【答案】B【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交．故选：B．二、填空题（本题共6小题）11．命题“等角的补角相等”的条件是_______．【答案】两个角相等【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案．【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”，所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等；故答案为：两个角相等．12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________．【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【分析】交换原命题的题设与结论，即可得到原命题的逆命题．【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”中，题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等”，交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．13．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________．要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例．【答案】证明举反例结论【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．．【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．故答案为：证明；举反例；结论．【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键．14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）．【答案】①②③④⑤⑦【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键；先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可.【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等.①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据；②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据；③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据；④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据；⑤不等式的性质：不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据；⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据；⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据；⑧正确的观察结果：观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据；⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据；故答案为：①②③④⑤⑦．15．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________．①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；③9、5、8、3四个数字都不正确；④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．【答案】2401【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可．【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，即密码中没有9、5、8、3四个数字；由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．则数字0在第三位，即正确的密码是2401，故答案为：2401．16．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本．【答案】28【分析】假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8，根据题意列举出所有符合题意的情况，然后计算即可．【详解】解：假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8，因为每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，所以有12，13，14，15，16，17，18，23，24，25，26，27，28，34，35，36，37，38，45，46，47，48，56，57，58，67，68，78，即共有本不同的书，故答案为：28．三、解答题（本题共4小题）17．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题．(1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号）(2)证明你构造的命题是真命题．【答案】(1)①②，④（答案不唯一）(2)见解析【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质：（1）条件选择①②，结论选择④；（2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可．【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）；（2）条件为①②，结论④；证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．条件为②③，结论为④：证明：∵，∴，∵，∴，∴．条件为①④，结论为②；证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；条件为③④，结论为②：证明：∵，∴，∵，∴，∴；条件为②④，结论为③：证明：∵，∴，∵∴，∴，条件为②④，结论为①：证明：∵，∴，∵∴，∴，∴．18．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题：(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质．（1）根据题意举反例即可；（2）由不等式的性质可得，，即可证得结论．【详解】（1）解：例如：，，，，，得到．（2）证明：∵，∴，，∴．19．补全下列推理过程：如图，，，，试说明．解：∵，，（已知），∴（垂直的定义），∴（____________）．∴（____________）．∵（已知），∴____________（等量代换）．∴（____________）．【答案】答案见详解；【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；【详解】解：∵，（已知），∴（垂直的定义），∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同位角相等），∵（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．20．已知实数满足，且是正整数，．(1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由；(2)求证：是完全平方数．【答案】(1)是奇数，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出、的奇偶，进而可得结论；（2）将代入中得、，再代入，得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证．【详解】（1）解：是奇数，理由如下：∵是正整数，，∴是一个奇数、一个偶数，∴是偶数，∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，∴是奇数，是偶数，∴是奇数加偶数，结果为奇数；（2）证明：∵，∴，，∴，即是完全平方数．能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题（本题共10小题）1．下列句子中属于命题的是（

）A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等【答案】D【分析】本题考查命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．根据命题的概念逐项判断即可．【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意；B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意；C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意；D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意；故选：D．2．下列语句中，是定义的是（

）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线C．对顶角相等 D．同角的余角相等【答案】B【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据课本中的定义进行判断即可．【详解】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故B符合题意；C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．故选：B．3．下列命题中，是真命题的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．相等的角是对顶角C．两点之间，线段最短D．若，则【答案】C【分析】本题考查真命题的判断，涉及平行公理、对顶角性质、线段公理和平方根性质，根据以上知识点和性质逐项判断即可．【详解】A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误；B．相等的角不一定是对顶角，故B错误；C．两点之间，线段最短，故C正确；D．若，则，故D错误．故选：C．4．“如果，那么”是假命题，那么、的值可能为（

）A．、 B．、C．、 D．、【答案】D【分析】本题考查了命题，要想说明一个命题是假命题只要举一个反例即可，所以举的反例满足命题的条件，但是不满足命题的结论．【详解】解：A选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故A选项不符合题意；B选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意；C选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意；D选项：当、时，、，满足但不满足，能说明命题是假命题，故D选项符合题意．故选：D．5．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|【答案】C【分析】交换题设和结论，即可得到答案．【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．6．命题“如果，那么或”的结论是(

)A．或B．C．或D．或【答案】C【分析】本题主要考查了命题中题设与结论的判断；用到的知识点为：所有命题都可以写成“如果……，那么……”，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．根据命题中“如果”后面是题设，“那么”后面是结论即可得答案．【详解】解：如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论．命题“如果，那么或”的结论是或，故答案为：C．7．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（

）A．设这个角是，它的余角是，但B．设这个角是，它的余角是，但C．设这个角是，它的余角是，但D．设这个角是，它的余角是，但【答案】A【分析】本题主要考查了反例的含义、判断命题的真假．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项．【详解】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项符合题意；B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项不符合题意；C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项不符合题意；D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项不符合题意．故选：A．8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答．【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题，∴①正确；∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题，∴②正确；∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实，∴③错误；∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理，∴④错误；综上，正确的说法有2个．9．下列说法中，错误的是（

）A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实B．定义是命题，并且是真命题C．“两点之间，线段最短”是基本事实D．“两点之间，线段最短”是定理【答案】C【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理