苏科版数学七年级下册 期末复习易错题（24个考点60题） 试卷 含答案

期末复习易错题（24个考点60题）

一．同底数幂的乘法（共1小题）1．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．32二．幂的乘方与积的乘方（共5小题）2．下面计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a63．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（）A．35 B．19 C．12 D．105．计算（﹣112）2021×（23）A．1 B．﹣1 C．−94 6．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝．三．同底数幂的除法（共2小题）7．下列计算结果为a6的是（）A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a28．已知xm＝6，xn＝4，则x2m﹣n＝．四．多项式乘多项式（共5小题）9．若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．计算（x+1）（x2﹣2），所得结果的一次项系数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．211．如果（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，那么p、q的值是（）A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝﹣6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝﹣5，q＝﹣612．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣2，则a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．213．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为．五．完全平方公式（共2小题）14．若a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值是．15．阅读理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．①x2+y2＝；②求（x+y）2的值；已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．六．完全平方公式的几何背景（共8小题）16．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1217．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：【类比应用】（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为；②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝；【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．19．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．20．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝；（2）若x﹣y＝7，xy＝18，求x2+y2的值；（3）两个正方形ABCD、CEFG如图摆放，面积和为60，BG＝10，则图中阴影部分面积为．21．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：；（2）由（1）可得三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若图1中每块小长方形的周长为16，面积为5，求图2阴影部分的面积．22．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：；（2）解决问题：如果a+b＝8，ab＝10，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（10﹣x）和（x﹣3），且（10﹣x）2+（x﹣3）2＝19，求这个长方形的面积．23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝．七．平方差公式（共4小题）24．下列式子中，能用平方差公式运算的是（）A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y）25．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（）A．1 B．2 C．3 D．426．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．527．若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是．八．平方差公式的几何背景（共3小题）28．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+629．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b230．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2九．二元一次方程的定义（共1小题）31．如果（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x、y的二元一次方程，那么（）A．a≠2 B．b≠﹣1 C．a≠2且b≠﹣1 D．a≠2或b≠﹣1一十．解二元一次方程（共2小题）32．已知二元一次方程4x﹣7y＝3，用含x的代数式表示y为（）A．y=4x7+3 B．y=4x7−3 C．33．解二元一次方程组n+8m=72n−7a=6，其中a为常数，若满足m+n＞0（且n非正数），则以下满足条件的aA．−5649 B．−5949 一十一．二元一次方程组的解（共3小题）34．芳芳解方程组x+y=⊗，x−3y=1的解为x=4，y=⊙，由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙．则⊗与A．⊗=−5，⊙=1 B．⊗=5，⊙=−1 C．⊗=−6，⊙=135．对于关于x，y的二元一次方程组x−y=3ax+3y=2−a，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣1；乙：无论a取何值，x+2yA．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确36．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4．（1）求a，b的值；（2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值；（3）若关于x，y的方程组x∗y=8+mx⊗y=5m的解也满足方程x﹣y＝6，求m（4）若关于x，y的方程组a1x∗b1y=c1a2一十二．解二元一次方程组（共5小题）37．已知a+2b=43a+2b=8，则a+bA．5 B．4 C．3 D．238．利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①5x−3y=6②A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 D．要消去y，可以将①×5+②×339．小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组6x+5y=−5①3x−y=7②时，利用①+②×a消去y，则aA．﹣2 B．2 C．﹣5 D．540．解方程组ax+y=5bx−cy=−1时，将a看错后得到x=2y=3，正确结果应为x=1y=2，则a+bA．3 B．4 C．5 D．6甲、乙两人共同解关于x，y的方程组ax+by=5①3x+cy=2②，甲同学正确解得x=2y=−1，而乙同学粗心看错了方程②中的系数c，解得x=3y=1，试计算（a+b+c一十三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）42．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为xcm，宽为ycm，则下列所列方程组正确的是（）A．x+10=3y2y=40 B．x−y=10C．x−y=102y=40 D．一十四．二元一次方程组的应用（共3小题）43．阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．44．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片张；（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为200mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10mL，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．一十五．不等式的性质（共1小题）46．若m＞n，则下列各式中正确的是（）A．m+2＜n+2 B．m﹣3＜n﹣3 C．﹣5m＜﹣5n D．m一十六．不等式的解集（共3小题）47．若不等式组x＞ax≥−3的解集为x＞a，则aA．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣348．定义一种新运算：a@b=a−b(a≥0)①若x@2＝﹣3，则x1＝﹣5，x2＝﹣1；②若|x﹣2|@2≥0，则该不等式的解集为x≤0或x≥4；③代数式|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|有最小值6；④若关于x，y的二元一次方程组a@x−(−1@2y)=1−2@y−(3@2x)=0的解为x=2y=1，则以上结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个49．一元一次不等式组x+9＜5x+5x＞m+1的解集是x＞1，则m的取值范围是一十七．解一元一次不等式（共2小题）50．对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当a≥b时，a◎b＝2a+b；当a＜b时，a◎b＝a﹣b+3．例如：5◎（﹣3）＝2×5+（﹣3）＝7，（﹣8）◎（﹣4）＝﹣8﹣（﹣4）+3＝﹣1．（1）计算：3◎4＝，（﹣1）◎（﹣5）＝；（2）若7◎（﹣2x+3）＝5，求x的值；（3）若（x+2）◎（3x﹣1）＞9，则x的取值范围是．51．定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b．例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3．（1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝；（2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值；（3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围．一十八．解一元一次不等式组（共2小题）52．若关于x，y的方程组3x−y=k+1x+y=3的解满足x为正数，y为负数，则kA．k＞8 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4 D．﹣4＜k＜853．如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式x+5＞0的解集是x＞﹣5，它包含了方程2x﹣1＝﹣3的解，因此x＞﹣5是2x﹣1＝﹣3的“青一范围”．（1）判断：①3x﹣3＞0；②3（x+2）＜6；③3x−12＜1，中哪个不等式的解集是方程2（2）已知x=x0y=y0是方程2x+y＝5的解，不等式组2x+2≥8y−3≤2的解集是方程2x+y＝5的“青一范围”，求（3）若不等式组x−1≥t+s3x−9≤t+6s的解集是方程x−t2=s的“青一范围”，求w＝s一十九．线段垂直平分线的性质（共2小题）54．如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为（）A．10.5 B．12.5 C．14.5 D．15.555．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（）A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处二十．命题与定理（共1小题）56．下列命题是真命题的是（）A．若a＝b，则a2＝b2 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若ab＝0，则a＝0 D．若a2＝b2，则a＝b二十一．平移的性质（共1小题）57．如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为cm．二十二．生活中的旋转现象（共1小题）58．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（）A．60° B．72° C．75° D．108°二十三．旋转的性质（共1小题）59．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（）A．30° B．35° C．40° D．45°二十四．中心对称图形（共1小题）60．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知△ABC以及△ABC外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点A′，B′，C′，得到△A′B′C′．如图，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点 B．BO＝BO C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′

期末复习易错题（24个考点60题）

一．同底数幂的乘法（共1小题）1．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．32【答案】A【解答】解：调整后：甲袋有（53﹣2x+2y）个球，乙袋中有（53+2x﹣2x﹣2y）＝（53﹣2y）个球，丙袋中有（5+2x+2y﹣2y）＝（5+2x）个球．∵甲、乙、丙三个袋子中一共有53+53+5＝111个球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴每只袋子中有111÷3＝37个球，∴5+2x＝37，53﹣2y＝37，∴2x＝32，2y＝16，∴2x+y＝2x•2y＝32×16＝512．故选：A．二．幂的乘方与积的乘方（共5小题）2．下面计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6 D．a3•a2＝a6【答案】C【解答】解：2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；a2与a3不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6，正确，故选项C符合题意；a3•a2＝a5，故选项D不合题意．故选：C．3．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【答案】D【解答】解：因为a＝255（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，∴255＜344＜533，即a＜b＜c．故选：D．4．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（）A．35 B．19 C．12 D．10【答案】A【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，∴2a+2b＝2a•22b＝2a•（22）b＝2a•4b＝5×7＝35，故选：A．5．计算（﹣112）2021×（23）A．1 B．﹣1 C．−94 【答案】D【解答】解：（﹣112）2021×（23＝（−32）2021×（23）2021×（＝[（−32）×（23）]2021×（＝（﹣1）2021×（23）＝﹣1×=−4故选：D．6．若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝45．【答案】见试题解答内容【解答】解：22x+y＝22x•2y＝（2x）2•2y＝32×5＝45，故答案为：45．三．同底数幂的除法（共2小题）7．下列计算结果为a6的是（）A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2【答案】B【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、a2•a4＝a6，故B符合题意；C、（a4）2＝a8，故C不符合题意；D、a12÷a2＝a10，故D不符合题意；故选：B．8．已知xm＝6，xn＝4，则x2m﹣n＝9．【答案】9．【解答】解：∵xm＝6，xn＝4，∴x2m﹣n＝x2m÷xn＝（xm）2÷xn＝62÷4＝9．故答案为：9．四．多项式乘多项式（共5小题）9．若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解答】解：（x﹣m）（x+1）＝x2+x﹣mx﹣m＝x2+（1﹣m）x﹣m．∵运算结果中不含x的一次项，∴1﹣m＝0，∴m＝1，故选C．10．计算（x+1）（x2﹣2），所得结果的一次项系数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】A【解答】解：（x+1）（x2﹣2）＝x3﹣2x+x2﹣2，∴所得结果的一次项系数是﹣2，故选：A．11．如果（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，那么p、q的值是（）A．p＝5，q＝6 B．p＝﹣1，q＝﹣6 C．p＝1，q＝﹣6 D．p＝﹣5，q＝﹣6【答案】C【解答】解：（x﹣3）（x+2）＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6，∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣px+q，∴﹣p＝﹣1，q＝﹣6，∴p＝1．故选：C．12．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣2，则a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解答】解：∵（x+2）（x+a）＝x2+2x+ax+2a＝x2+bx﹣2，∴2+a＝b，2a＝﹣2，∴a＝﹣1，b＝1，∴a+b＝﹣1+1＝0．故选：B．13．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为10．【答案】10．【解答】解：由题意得，（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+10ab+3b2，∴需要C类卡片张数为10，故答案为：10．五．完全平方公式（共2小题）14．若a﹣b＝5，则a2﹣b2﹣10b的值是25．【答案】25．【解答】解：∵a﹣b＝5，即a＝b+5，∴a2﹣b2﹣10b+1＝（b+5）2﹣（b+5）2+25＝25．故答案为：25．15．阅读理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．①x2+y2＝5；②求（x+y）2的值；（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，∵xy＝﹣2，∴x2+y2＝5；故答案为：5．②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1．（2）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49，∵x2+y2＝25，∴xy＝12，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1．六．完全平方公式的几何背景（共8小题）16．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴阴影部分的面积等于12ab=故选：A．17．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：【类比应用】（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为20；②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝13；【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．【答案】（1）①20，②13；（2）22．【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∵xy＝8，x+y＝6，∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，故答案为：20．②令a＝x，b＝5﹣x，∴a+b＝5，ab＝6，∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，故答案为：13．（2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为12mn∴m+n＝14，12（m2+n2）＝54，即m2+n2∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，∴mn＝44，∴12mn=∴一块三角板的面积是22．18．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；（3）由图可得，S3＝a2+b2−12b（a+b）−12a2=12（a2∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，∴S3=119．阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab=(即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为20192（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．20．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝15；（2）若x﹣y＝7，xy＝18，求x2+y2的值；（3）两个正方形ABCD、CEFG如图摆放，面积和为60，BG＝10，则图中阴影部分面积为20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64，∵x2+y2＝34，∴xy＝15，故答案为：15；（2）∵x﹣y＝7，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝49，∵xy＝18，∴x2+y2＝85；（3）设正方形ABCD、CEFG的边长分别为x和y，根据题意，得x+y＝10，x2+y2＝60．∵S△ABD=12x2，S△BGF=12BG•FG=12（∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BGF＝x2+y2−12x2−12（x+y）y=12（x2+∵x+y＝10，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝100，∵x2+y2＝60，∴xy＝20，∴S阴影=12×故答案为：20．21．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示出图2中阴影部分的面积．方法1：（m﹣n）2；方法2：（m+n）2﹣4mn；（2）由（1）可得三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）若图1中每块小长方形的周长为16，面积为5，求图2阴影部分的面积．【答案】（1）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）44．【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积可用两种不同的方法来表示．方法1：根据“边长的平方”，得（m﹣n）2；方法2：根据“大正方形的面积﹣4个相同的长方形的面积”，得（m+n）2﹣4mn．故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn．（2）∵（1）中两种方法表示的是同一个图形的面积，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（3）根据题意，得2（m+n）＝16，即m+n＝8，mn＝5，∴图2阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn＝64﹣20＝44．22．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）解决问题：如果a+b＝8，ab＝10，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（10﹣x）和（x﹣3），且（10﹣x）2+（x﹣3）2＝19，求这个长方形的面积．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）44；（3）15．【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）∵a+b＝8，ab＝10，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64，∴a2+b2＝44．（3）设（10﹣x）＝m，（x﹣3）＝n，则该长方形的面积为mn，∴m+n＝7，m2+n2＝19，∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝49，∴mn＝15，∴这个长方形的面积为15．23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝156．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案为：30；（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，∵（5a+7b）（9a+4b），＝45a2+20ab+63ab+28b2，＝45a2+28b2+83ab，∴x＝45，y＝28，z＝83．∴x+y+z＝45+28+83＝156．故答案为：156．七．平方差公式（共4小题）24．下列式子中，能用平方差公式运算的是（）A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y）【答案】C【解答】解：A．没有相反项，故此选项不符合题意；B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意；C．原式＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意；D．没有完全相同的项，故此选项不符合题意．故选：C．25．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．故选：C．26．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【答案】C【解答】解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，∴a＝3，b＝﹣2，∴a+b＝3+（﹣2）＝1，故选：C．27．若x2+x﹣2＝0，则（x+1）（x﹣1）+x的值是1．【答案】1．【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2+x＝2，∴（x+1）（x﹣1）+x＝x2﹣1+x＝x2+x﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．八．平方差公式的几何背景（共3小题）28．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6【答案】C【解答】解：依题意得，剩余部分为：（m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9，而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是（6m+9）÷3＝2m+3．故选：C．29．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【答案】B【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．30．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．九．二元一次方程的定义（共1小题）31．如果（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x、y的二元一次方程，那么（）A．a≠2 B．b≠﹣1 C．a≠2且b≠﹣1 D．a≠2或b≠﹣1【答案】C【解答】解：∵（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x，y的二元一次方程，∴a﹣2≠0且b+1≠0．解得a≠2且b≠﹣1．故选：C．一十．解二元一次方程（共2小题）32．已知二元一次方程4x﹣7y＝3，用含x的代数式表示y为（）A．y=4x7+3 B．y=4x7−3 C．【答案】D【解答】解：由4x﹣7y＝3，变形得：y=4x−3故选：D．33．解二元一次方程组n+8m=72n−7a=6，其中a为常数，若满足m+n＞0（且n非正数），则以下满足条件的aA．−5649 B．−5949 【答案】D【解答】解：n+8m=7①2n−7a=6②①×2+②×7，得16（m+n）＝49a+56，解得m+n=49a+56∴49a+5616解得a＞−56由2n﹣7a＝6可得，n=7a+6∵n是非正数，∴7a+62解得a≤−6∵−56且−56故选：D．一十一．二元一次方程组的解（共3小题）34．芳芳解方程组x+y=⊗，x−3y=1的解为x=4，y=⊙，由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙．则⊗与A．⊗=−5，⊙=1 B．⊗=5，⊙=−1 C．⊗=−6，⊙=1【答案】D【解答】解：设⊗表示的数是a，⊙表示的数是b．根据题意，得x+y=ax−3y=1，其解为x=4将x=4y=b代入x+y=a得4+b=a4−3b=1解得a=5b=1∴⊗与⊙表示的数分别5和1．故选：D．35．对于关于x，y的二元一次方程组x−y=3ax+3y=2−a，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣1；乙：无论a取何值，x+2yA．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确【答案】C【解答】解：设x−y=3a①x+3y=2−a②①+②得：2x+2y＝2+2a．∴x+y＝1+a．当x，y的值互为相反数时，1+a＝0，∴a＝﹣1．∴甲判断正确．又解方程组x−y=3ax+3y=2−a，得x=2a+∴x+2y＝2a+12+2（＝2a+12=3∴乙判断正确．故选：C．36．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4．（1）求a，b的值；（2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值；（3）若关于x，y的方程组x∗y=8+mx⊗y=5m的解也满足方程x﹣y＝6，求m（4）若关于x，y的方程组a1x∗b1y=c1a2【答案】（1）a=1b=−2；（2）x＝5；（3）x=6【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2⊗1＝4，∴3a+2b=−12a−b=4∴a=1b=−2（2）由题意，∵x*y+x⊗y＝10，∴ax+by+ax﹣by＝10．∴2ax＝10．又∵a＝1，∴x＝5．（3）由题意，方程组x∗y=8+mx⊗y=5m可化为x−2y=8+m∴x=4+3my=m−2又∵x﹣y＝6，∴4+3m﹣m+2＝6．∴m＝0．（4）由题意，∵方程组a1x∗b1y=c1即a1又方程组a1x∗b∴43∴x=6y=3∴方程组4a1(x+y)∗5一十二．解二元一次方程组（共5小题）37．已知a+2b=43a+2b=8，则a+bA．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解答】解：a+2b=4①3a+2b=8②①+②4，得a+b故选：C．38．利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①5x−3y=6②A．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 D．要消去y，可以将①×5+②×3【答案】C【解答】解：利用加减消元法解方程组2x+5y=−10①5x−3y=6②，要消元x，①×（﹣5）+②要消去y，可以将①×3+②×5，故选：C．39．小杰在用“加减消元法”解二元一次方程组6x+5y=−5①3x−y=7②时，利用①+②×a消去y，则aA．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【答案】D【解答】解：6x+5y=−5①3x−y=7②②×5得：15x﹣5y＝35③，①+③得：21x＝30，∴利用①+②×a消去y，则a的值是5，故选：D．40．解方程组ax+y=5bx−cy=−1时，将a看错后得到x=2y=3，正确结果应为x=1y=2，则a+bA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：由题意得：把x=2y=3代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c把x=1y=2代入ax+y=5bx−cy=−1中得：解得：a＝3，由题意得：2b−3c=−1b−2c=−1解得：b=1c=1∴a+b+c＝3+1+1＝5，故选：C．41．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组ax+by=5①3x+cy=2②，甲同学正确解得x=2y=−1，而乙同学粗心看错了方程②中的系数c，解得x=3y=1，试计算（a+b+c【答案】25．【解答】解：由题意得：把x=2y=−1代入②中得：6﹣c解得：c＝4，由题意得：把x=2y=−1代入①中得：2a﹣b＝5③由题意得：把x=3y=1代入①中得：3a+b＝5④③+④得：5a＝10，解得：a＝2，把a＝2代入③中得；4﹣b＝5，解得：b＝﹣1，∴（a+b+c）2＝（2﹣1+4）2＝52＝25．一十三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）42．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为xcm，宽为ycm，则下列所列方程组正确的是（）A．x+10=3y2y=40 B．x−y=10C．x−y=102y=40 D．【答案】D【解答】解：每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：x+10=3y2y+40=2x故选：D．一十四．二元一次方程组的应用（共3小题）43．阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：3x=5yx+2=2y，解得：x=10∴xy＝10×6＝60．故每个小长方形的面积为60；（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，则2x+y=107x+y=15，解得x=1则12x+y＝12×1+8＝20．即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得x+3y=19x+2y=3y+7解得x=10y=3∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．故答案为：64．44．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得4x+3y=2014x+2y=1176解得x=100答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，依题意，得：m+n=353m=2×4n解得：m=255∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张），∴可做铁盒76÷4＝19（个）．答：最多可以加工成19个铁盒．解法二：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，则（35﹣m﹣n）按1个长方形铁片和2个正方形铁片截．由题意2[3m+（35﹣m﹣n）]＝4[4n+2（35﹣m﹣n）]，整理得6m﹣5n＝105，其中1m+n≤35且m，n是正整数，解得m=20n=3或m=25可以加工成铁盒的数量为3m+(35−m−n)4当m＝20，n＝3时，2m−n+354当m＝25，n＝9时，2m−n+354答：25张铁板按3个长方形截，9张铁板按4个正方形截，1张铁板按1个长方形2个正方形截，最多可以加工成19个铁盒．45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为200mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10mL，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【答案】（1）甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）这批消毒液可使用5天．（3）分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，依题意，得：3x+2y=80x+4y=110解得：x=10y=25答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，依题意，得：10a+25b＝2500，∴2a+5b＝500，∴200a+500b1000×10答：这批消毒液可使用5天．（3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，依题意，得：200m+500n+10（m+n）＝8400，∴m＝40−177∵m，n均为正整数，∴m=23n=7和m=6∵要使分装时总损耗10（m+n）最小，∴m=6n=14即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．一十五．不等式的性质（共1小题）46．若m＞n，则下列各式中正确的是（）A．m+2＜n+2 B．m﹣3＜n﹣3 C．﹣5m＜﹣5n D．m【答案】C【解答】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意．B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m﹣3＞n﹣3，故本选项不符合题意．C、在不等式m＞n的两边同时乘﹣5，不等号方向改变，即﹣5m＜﹣5n，故本选项符合题意．D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即m6故选：C．一十六．不等式的解集（共3小题）47．若不等式组x＞ax≥−3的解集为x＞a，则aA．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3【答案】D【解答】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3．故选：D．48．定义一种新运算：a@b=a−b(a≥0)①若x@2＝﹣3，则x1＝﹣5，x2＝﹣1；②若|x﹣2|@2≥0，则该不等式的解集为x≤0或x≥4；③代数式|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|有最小值6；④若关于x，y的二元一次方程组a@x−(−1@2y)=1−2@y−(3@2x)=0的解为x=2y=1，则以上结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①由题意，x@2＝﹣3，当x≥0时，x﹣2＝﹣3，则x＝﹣1，不符合题意，舍去．当x＜0时，x+2＝﹣3，则x＝﹣5，符合题意．综上，若x@2＝﹣3，则x＝﹣5，故①错误．②|x﹣2|@2≥0，且|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|﹣2≥0．∴|x﹣2|≥2．∴x≤0或x≥4，故②正确．③|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|＝|（﹣2）+x﹣1|+|（﹣1）+（﹣x）﹣2|＝|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|，又∵|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|表示为数轴上表示x的数与到数轴上表示3及﹣3的数的距离之和，且|x﹣3|+|x﹣（﹣3）|的最小值为6，∴|[（﹣2）@x]﹣1|+|[（﹣1）@（﹣x）]﹣2|的最小值为6，故③正确．④由题意，当a≥0时，原方程组可化为a−x−(−1+2y)=1①−2+y−(3−2x)=0②将x=2y=1代入①得a∴a＝4．当a＜0时，原方程组可化为a+x−(−1+2y)=1①−2+y−(3−2x)=0②将x=2y=1代入①得a∴a＝0，不合题意．综上，a＝4，故④错误．故选：B．49．一元一次不等式组x+9＜5x+5x＞m+1的解集是x＞1，则m的取值范围是m≤0【答案】见试题解答内容【解答】解：x+9＜5x+5①x＞m+1②，由①得，x＞1，故原不等式组可化为x＞1∵原不等式组的解集为x＞1，∴m+1≤1，解得m≤0．一十七．解一元一次不等式（共2小题）50．对于有理数a、b，定义一种新运算“◎”：当a≥b时，a◎b＝2a+b；当a＜b时，a◎b＝a﹣b+3．例如：5◎（﹣3）＝2×5+（﹣3）＝7，（﹣8）◎（﹣4）＝﹣8﹣（﹣4）+3＝﹣1．（1）计算：3◎4＝2，（﹣1）◎（﹣5）＝﹣7；（2）若7◎（﹣2x+3）＝5，求x的值；（3）若（x+2）◎（3x﹣1）＞9，则x的取值范围是65＜x≤【答案】（1）2；﹣7；（2）x的值为6；（3）65【解答】解：（1）由题意得：3◎4＝3﹣4+3＝2；（﹣1）◎（﹣5）＝2×（﹣1）+（﹣5）＝﹣2+（﹣5）＝﹣7；故答案为：2；﹣7；（2）分两种情况：当7≥（﹣2x+3），即x≥﹣2时，∵7◎（﹣2x+3）＝5，∴2×7+（﹣2x+3）＝5，解得：x＝6；当7＜（﹣2x+3），即x＜﹣2时，∵7◎（﹣2x+3）＝5，∴7﹣（﹣2x+3）+3＝5，解得：x＝﹣1（不合题意，舍去），综上所述：x的值为6；（3）分两种情况：当x+2≥3x﹣1时，由题意得：x+2≥3x−12(x+2)+3x−1＞9解得：1.2＜x≤1.5；当x+2＜3x﹣1时，由题意得：x+2＜3x−1x+2−(3x−1)+3＞9∴此不等式组无解；综上所述：x的取值范围：65故答案为：6551．定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b．例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3．（1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝﹣9；（2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值；（3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围．【答案】（1）﹣9；（2）x＝2.5；（3）m＞﹣1．【解答】解：（1）由题意，∵﹣5＜﹣4，（﹣5）☆（﹣4）＝﹣5+（﹣4）＝﹣9．故答案为：﹣9．（2）由题意，分两种情形．①当3x﹣2≥2﹣x时，即x≥1，（3x﹣2）☆（2﹣x）＝3x﹣2﹣（2﹣x）＝6．∴x＝2.5＞1，符合题意．②当3x﹣2＜2﹣x时，即x＜1，（3x﹣2）☆（2﹣x）＝3x﹣2+（2﹣x）＝6．∴x＝3＞1，不符合题意．综上，x＝2.5．（3）由题意，分两种情形．①当2m+1≥m﹣2时，即m≥﹣3，（2m+1）☆（m﹣2）＝（2m+1）﹣（