苏科版数学七年级下册 期末模拟卷02 试卷 含答案

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：130分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B． C． D．2．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（

）A． B．C． D．4．下列命题中是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等5．在长方形内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（

）A． B． C． D．6．点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（

）A． B． C． D．7．如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（

）A．66 B．88 C．94 D．1268．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(

)个A．1 B．2 C．3 D．4第二部分（非选择题共106分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．已知，，则的值为________．10．如果是一个完全平方式，那么m的值为_______．11．请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是_____．12．已知方程组的解满足，则的值是______．13．如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________．14．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________．15．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______．16．某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：(1)(2)18．（5分）先化简，再求值：，其中，．19．（6分）解方程组及解不等式组．(1)解方程组：；(2)解不等式组：．20．（6分）按如下要求作图：(1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上，①的面积为②将向上平移4个单位长度得到③在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）21．（6分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，且．(1)求证：；(2)若命题“已知，则”是真命题，请填空，并说明理由．22．（8分）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值．解：将两边同时平方，得，即．因为，等量代换，得，所以．请根据以上信息，解答下列问题．(1)已知，则；(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积；(3)若，求的值．23．（8分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)______；若，则______；(2)已知，，，若，求y的值；(3)若，，令．①求的值；②求t的值．24．（8分）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞．(1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险．(2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________．(3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒．25．（10分）阅读理解与应用阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：解：，

又，，．又，…………①．同理可得…………②．由①②得：．的取值范围是．按照上述方法，完成下列问题：(1)已知，且，，则的取值范围是___________；(2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围．26．（10分）校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪中（如图），已知，，宝藏藏匿点与草坪内（包含草坪边界）一动点的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下：1.将沿直线进行翻折，得到；2.将翻折后得到的点沿着水平方向向右平移2个单位长度，得到新的点；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标：闯关问题(1)当动点恰好位于长方形草坪的边上时，在图中画出相应的示意图（无需尺规作图）并求线段的长度；(2)若动点可以在长方形草坪内部任意移动（包含草坪边界），连接，结合翻折、平移的图形性质，则线段长度的最小值_________；(3)在（2）的条件下，即取最小值时，连接，，将绕点B顺时针旋转，其中点A、点C的对应点分别为M、N，点Q为边上的动点，当点与点Q距离最近的时候，点Q所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置（只要画出示意图，不需要尺规作图），并直接写出此时线段的长度．27．（10分）【项目式学习】项目主题：数学智慧拼图项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．任务一：观察建模如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组，则：，；任务二：推理分析第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；任务三：设计方案第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷02数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：130分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B． C． D．【答案】D【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．2．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】运用同底数幂乘除、积的乘方、幂的乘方法则，分别计算各选项即可得到正确结果．【详解】A．，错误，不符合题意．B．，错误，不符合题意．C．，错误，不符合题意．D．，正确，符合题意．3．记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设甲有只羊，乙有只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组．【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得，．4．下列命题中是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等【答案】D【分析】结合对顶角、垂线、平方、平行线的相关性质，逐一判断每个选项即可.【详解】解：对于选项A，相等的角不一定是对顶角，例如两平行线截出的同位角相等但不是对顶角，故A是假命题；对于选项B，只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少“同一平面内”的前提，故B是假命题；对于选项C，若，则或，例如满足但，故C是假命题；对于选项D，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题.5．在长方形内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【详解】解：∵，，∴∵，∴．6．点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，理解图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．设，，则，由折叠性质得，，根据得，据此可得的度数．【详解】解：设，，∵，∴，由折叠性质得：，，∵P为长方形纸片的边上一点，∴，∴，∴，∴．故选：B．7．如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（

）A．66 B．88 C．94 D．126【答案】B【分析】先化简“奇差数”的表达式，得到，即“奇差数”是8的倍数，再验证各选项是否能被8整除．本题考查了平方差公式的应用，化简是解题关键．【详解】解：∵，∴“奇差数”是8的倍数.A.，不能被8整除；B.，能被8整除；C.，不能被8整除；D.，不能被8整除.∴只有88是“奇差数”．故选B．8．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(

)个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断．【详解】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数，∴当时，∴①不正确；②、若，则x的取值范围是，故②是正确的；③、当时，[，当时，，当时，，综上③是正确的；④、∵，∴，解得：．∵∴，解得：∴x的取值范围为故④是错误的．故正确的是：②③，共两个．故选：B．【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键．第二部分（非选择题共106分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．已知，，则的值为________．【答案】4【分析】本题利用同底数幂的乘法逆运算法则，对进行变形，再整体代入已知条件计算，根据指数相等即可得到的值．【详解】解：，，∴又，．10．如果是一个完全平方式，那么m的值为_______．【答案】【详解】解：∵是一个完全平方式∴∴∴．11．请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是_____．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查举反例，要说明命题是假命题，可取使题设成立，但结论不成立的x的值即可．【详解】解：当时，成立，但不成立，∴能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是．故答案为：12．已知方程组的解满足，则的值是______．【答案】1【分析】本题考查二元一次方程组的解法，观察方程组两个方程的系数，将两个方程相减即可构造出表达式，结合已知条件即可求出k的值．【详解】解：得：，，，解得．13．如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________．【答案】【分析】由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，最后根据求解即可．【详解】解：是由绕点逆时针旋转而得，，，，，，平分，，，．14．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________．【答案】3或15【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，，结合二元一次方程组的解是正整数求出或，分情况代入代数式计算即可得出结果．【详解】解：，由可得：，∴，将代入②可得：，∴，∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解，∴或，∴或，当时，，当时，，综上所述，的值为3或15．15．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______．【答案】【分析】设两个正方形的边长分别为和，根据题意可得，，阴影部分为直角三角形，其面积等于，利用完全平方公式变形求出的值即可求解．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可知，为线段上的一点，且，，两正方形的面积和，，，，，，，如图，延长与交于点，延长与交于点，则，阴影部分的面积．16．某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．【答案】或或【分析】根据题意可知：第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里，由摄像头所在的位置离入口的距离不超过公里，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，根据标志牌和摄像头重合，可得出关于的二元一次方程，化简后可得出，结合均为正整数，即可得出的值，再将的值代入中即可求出结论．【详解】解：依题意可知，第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里，，，∵标志牌和摄像头重合，，，又均为正整数，∴或或，当时，；当时，；当时，；∴离入口或或千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：(1)(2)【答案】(1)6(2)【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．18．（5分）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可，然后将，的值代入计算即可．【详解】解：原式，当，时，原式．19．（6分）解方程组及解不等式组．(1)解方程组：；(2)解不等式组：．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，得：，解得，将代入①得：，解得，∴方程组的解为：；（2）解：，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集为：．20．（6分）按如下要求作图：(1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上，①的面积为②将向上平移4个单位长度得到③在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）【答案】(1)①4；②见详解；③见详解(2)见详解【分析】（1）①利用割补法求三角形面积，即通过用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积；②将各顶点向上平移4个单位后，再连接各个顶点即可求解；③根据轴对称性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接成即可；（2）按基本的尺规作图即可求解．【详解】（1）解：①，故答案为：4；②如图，即是所求作的三角形；③如图，即是所求作的三角形；（2）如图所示，是所求作的的平分线，直线是所求作的线段的垂直平分线，【点睛】本题考查了三角形面积计算（利用割补法）以及图形的平移和轴对称及尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等相关知识，解题的关键是理解用割补法将不规则图形转化为规则图形面积的差来计算；图形的平移是图形上所有点按照相同方向移动相同距离；轴对称是找到图形上各点关于对称轴的对称点再连接．尺规作图依据的是“边边边”公理．21．（6分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，且．(1)求证：；(2)若命题“已知，则”是真命题，请填空，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析【分析】（1）由对顶角相等得到，因此，推出；（2）由平行线的性质推出，，求出，即可得到的度数．【详解】（1）证明：∵，∴，∴；（2）解：命题“已知，则”是真命题，理由如下：由（1）知，∴，∵，∴，∵，∴．22．（8分）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值．解：将两边同时平方，得，即．因为，等量代换，得，所以．请根据以上信息，解答下列问题．(1)已知，则；(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)11【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解；（2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解．（3）设，表示出，根据计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；（2）解：根据题意可得：图中阴影部分的面积．根据题意，得，即，∵，∴，即，∴图中阴影部分的面积．（3）解：设，则，，，．23．（8分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)______；若，则______；(2)已知，，，若，求y的值；(3)若，，令．①求的值；②求t的值．【答案】(1)4；64；(2)60；(3)①；②．【分析】（1）根据规定即可求得答案；（2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案；（3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案；②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，；（2）解：∵，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：①∵，，∴，，∴；②∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．24．（8分）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞．(1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险．(2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________．(3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒．【答案】(1)无(2)(3)最多可以安全表演14秒．【分析】（1）将，分别代入和求解比较判断即可；（2）根据题意得到当两车相遇时，表演时间超过16秒，然后分两种情况讨论，分别根据题意列出不等式求解即可；（3）首先根据题意得到当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q，然后求出甲第一次到达P，Q的时间，乙第一次到达P，Q的时间，然后得到甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为秒，乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为秒，然后根据题意得到，进而求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵∴∴无掉落的危险；（2）解：∵要使安全表演时间超过16秒∴当两车相遇时，表演时间超过16秒当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度，∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米∴解得∴；当时，同理可得，解得∴综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为；（3）解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒∵两个表演轨道的交点分别为，∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒）∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒）∵周长均为16米∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒），∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒），∴当甲乙相遇于点P时，∴整理得，∵m，n都为正整数∴当，时，等式成立∴此时甲到达P点的时间为（秒）∴最多可以安全表演14秒．【点睛】此题考查了求代数式的值，不等式的应用，二元一次方程的解等知识，解题的关键是掌握以上知识点．25．（10分）阅读理解与应用阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：解：，

又，，．又，…………①．同理可得…………②．由①②得：．的取值范围是．按照上述方法，完成下列问题：(1)已知，且，，则的取值范围是___________；(2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握题干已知解法是解题关键．（1）仿照已知解法进行求解即可得到答案；（2）先解不等式组，再根据不等式组的解都是正数，即可求出a的取值范围；（3）仿照已知解法结合（2）中结论，进行求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，，，，又，①，同理可得②，由得：，的取值范围是，故答案为：；（2）解：，解得：，，，，解不等式组得：，的取值范围为：；（3）解：∵，∴，∴，由（2）得，，∴，∴①，又∵，∴，∵，，②，由①②得：，的取值范围是．26．（10分）校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪中（如图），已知，，宝藏藏匿点与草坪内（包含草坪边界）一动点的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下：1.将沿直线进行翻折，得到；2.将翻折后得到的点沿着水平方向向右平移2个单位长度，得到新的点；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标：闯关问题(1)当动点恰好位于长方形草坪的边上时，在图中画出相应的示意图（无需尺规作图）并求线段的长度；(2)若动点可以在长方形草坪内部任意移动（包含草坪边界），连接，结合翻折、平移的图形性质，则线段长度的最小值_________；(3)在（2）的条件下，即取最小值时，连接，，将绕点B顺时针旋转，其中点A、点C的对应点分别为M、N，点Q为边上的动点，当点与点Q距离最近的时候，点Q所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置（只要画出示意图，不需要尺规作图），并直接写出此时线段的长度．【答案】(1)图见解析，(2)(3)图