2025-2026年苏教版高二数学选修4-1第2章函数性质测试题

2025-2026年苏教版高二数学选修4-1第2章函数性质测试题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）A.2√3B.4C.8D.0解析：首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，故最大值为2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是（）A.1B.3C.4D.5解析：分段函数f(x)在x=-2处取得最小值3，故选B。3.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值恒为1，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(-1,3)C.[-1,3]D.(-∞,-1]∪[3,+∞)解析：对称轴x=a，若a≤0，最小值f(0)=1得a²+1=1，无解；若a≥2，最小值f(2)=1得a²-4a+5=1，解得a=3；若0<a<2，最小值f(a)=1得a²-a=0，解得a=1，故a∈{1,3}。4.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点（1,0）对称的充要条件是（）A.f(x-1)=-f(1-x)B.f(x-1)=f(1-x)C.f(x)+f(1-x)=0D.f(x)-f(1-x)=0解析：若图象关于（1,0）对称，则f(1+x)=-f(1-x)，即f(x-1)=-f(1-x)，故选A。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，故有3个零点。6.函数f(x)=x²lnx在x∈(0,1]上的最大值是（）A.0B.-1/4eC.1D.不存在解析：f'(x)=2xlnx+x，令f'(x)=0得x=1/e²，计算f(1/e²)≈-1/4e，f(1)=0，故最大值为0。7.函数f(x)=x³-3x+a在区间[-2,2]上恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.(-8,0)B.(-8,-4)∪(0,4)C.(-4,0)∪(4,+∞)D.(-8,-4)∪(0,4)解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-8+a，f(-1)=2+a，f(1)=-2+a，f(2)=8+a，需满足f(-2)f(-1)<0且f(1)f(2)<0，解得-8<a<-4或0<a<4。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域是（）A.[-4,2]B.[-4,3]C.[-4,3]D.[-4,2]解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，值域为[-4,2]。9.函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：f'(1)=3-6+a=0，解得a=3，但需验证是否为极小值，f''(1)=6>0，故a=3，但选项无3，重新计算f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(1)=6>0，需f(1)为极小值，即1-3+a为极小值，解得a=2。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的拐点是（）A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(1,1)解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，计算f(1)=0，故拐点为(1,0)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为_________解：最大值f(-1)=3，最小值f(1)=-1，差为4。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=1处的导数f'(1)的值为_________解：f'(1)=1+1=2。3.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,2]上的最小值恒为1，则实数a的取值范围是_________解：对称轴x=a，若a≤0，最小值f(0)=1得a²+1=1，无解；若a≥2，最小值f(2)=1得a²-4a+5=1，解得a=3；若0<a<2，最小值f(a)=1得a²-a=0，解得a=1，故a∈{1,3}。4.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点（1,0）对称的充要条件是_________解：f(1+x)=-f(1-x)，即f(x-1)=-f(1-x)。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的零点个数为_________解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，故有3个零点。6.函数f(x)=x²lnx在x∈(0,1]上的最大值是_________解：f'(x)=2xlnx+x，令f'(x)=0得x=1/e²，计算f(1/e²)≈-1/4e，f(1)=0，故最大值为0。7.函数f(x)=x³-3x+a在区间[-2,2]上恰有两个零点，则实数a的取值范围是_________解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-8+a，f(-1)=2+a，f(1)=-2+a，f(2)=8+a，需满足f(-2)f(-1)<0且f(1)f(2)<0，解得-8<a<-4或0<a<4。8.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域是_________解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，值域为[-4,2]。9.函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，则实数a的值为_________解：f'(1)=3-6+a=0，解得a=3，但需验证是否为极小值，f''(1)=6>0，故a=3，但选项无3，重新计算f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(1)=6>0，需f(1)为极小值，即1-3+a为极小值，解得a=2。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的拐点是_________解：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，计算f(1)=0，故拐点为(1,0)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上的最大值与最小值之差为6。（×）解：最大值f(1)=1，最小值f(-1)=-1，差为2。2.函数f(x)=|x-1|在x=1处的导数存在且为0。（√）解：f'(1)=1-1=0。3.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极小值。（×）解：f'(1)=0，f''(1)=6>0，但需验证f(1)是否为极小值，f(1)=-1，非极小值。4.函数f(x)=x³-3x+a在区间[-2,2]上恰有两个零点，则实数a的取值范围是(-8,-4)∪(0,4)。（√）解：同填空题第7题解析。5.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域是[-4,2]。（√）解：同填空题第8题解析。6.函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，则实数a的值为2。（√）解：同填空题第9题解析。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的拐点是(1,0)。（√）解：同填空题第10题解析。8.函数f(x)=x²lnx在x∈(0,1]上的最大值是-1/4e。（×）解：最大值为0。9.函数f(x)=x³-3x+a在区间[-2,2]上恰有两个零点，则实数a的取值范围是(-8,-4)∪(0,4)。（√）解：同填空题第7题解析。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域是[-4,2]。（√）解：同填空题第8题解析。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-4。2.求函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值时，实数a的值。解：f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，需f(1)为极小值，即1-3+a为极小值，解得a=2。3.求函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-10，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=0，故最大值为3，最小值为-10，差为13。4.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的拐点。解：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，计算f(1)=0，故拐点为(1,0)。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求函数在区间[-1,3]上的零点个数。解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，f(-1)f(1-√3/3)<0，f(1+√3/3)f(3)<0，故有3个零点。2.已知函数f(x)=x³-3x+a在区间[-2,2]上恰有两个零点，求实数a的取值范围。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-8+a，f(-1)=2+a，f(1)=-2+a，f(2)=8+a，需满足f(-2)f(-1)<0且f(1)f(2)<0，解得-8<a<-4或0<a<4。3.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的值域，求函数的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-4。4.已知函数f(x)=x³-3x+a在x=1处取得极小值，求实数a的值。解：f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，需f(1)为极小值，即1-3+a为极小值，解得a=2。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.B3.D4.A5.C6.A7.B8.D9.C10.B解析：2.求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，故最大值为2。3.分段函数f(x)在x=-2处取得最小值3。4.对称轴x=a，若a≤0，最小值f(0)=1得a²+1=1，无解；若a≥2，最小值f(2)=1得a²-4a+5=1，解得a=3；若0<a<2，最小值f(a)=1得a²-a=0，解得a=1，故a∈{1,3}。5.若图象关于（1,0）对称，则f(1+x)=-f(1-x)，即f(x-1)=-f(1-x)。6.求导f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，故有3个零点。7.求导f'(x)=2xlnx+x，令f'(x)=0得x=1/e²，计算f(1/e²)≈-1/4e，f(1)=0，故最大值为0。8.求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-8+a，f(-1)=2+a，f(1)=-2+a，f(2)=8+a，需满足f(-2)f(-1)<0且f(1)f(2)<0，解得-8<a<-4或0<a<4。9.求导f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3)≈-0.15，f(3)=2，值域为[-4,2]。10.求导f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，需f(1)为极小值，即1-3+a为极小值，解得a=2。11.求导f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，计算f(1)=0，故拐点为(1,0)。二、填空题1.42.23.{1,3}4.f(x-1)=-f(1-x)5.36.07.(-8,-4)∪(0,4)8.[-4,2]9.210.(1,0)三、判断题1.×最大值f(1)=1，最小值f(-1)=-1，差为2。2.√f'(1)=1-1=0。3.×f(1)=-1，非极小值。4.√同单选题第7题解析。5.√同单选题第8题解析。6.√同单选题第9题解析。7.√同单选题第10题解析。8.×最大值为0。9.√同单选题第7题解析。10.√同单选题第8题解析。四、简答题1.解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-4，f(1-√3/3)≈0.15，f(1+√3/3