四川农业大学《工程力学》课件-第3-4章

平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。例3-1力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）第三章平面任意力系四川农业大学《工程力学》§3-1力线平移定理§3-2平面任意力系向一点简化§3-3简化结果分析

合力矩定理§3-4平面任意力系的平衡条件与平衡方程§3-1

力线平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。[证]力力系①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：§3-2平面任意力系向一点简化

任意力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系（未知力系） （已知力系）汇交力系力，

R'(主矢)，(作用在简化中心)

力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在该平面上)

大小：

主矢

方向：

简化中心

(与简化中心位置无关)(因主矢等于各力的矢量和)（移动效应）

大小：主矩MO

方向：

方向规定+-

简化中心：

(与简化中心有关)

（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）（转动效应）§3-3

简化结果分析

合力矩定理②

=0,MO≠0即简化结果为一合力偶,MO=M此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。①

=0，MO

=0，则力系平衡,下节专门讨论。

简化结果：

主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。③

≠0,MO

=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）,即。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

④

≠0,MO

≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续简化为一个合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置结论：

平面任意力系的简化结果：①合力偶MO

；②合力

合力矩定理：由于主矩而合力对O点的矩

———合力矩定理

由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。§3-4

平面任意力系的平衡条件与平衡方程

由于=0为力平衡

MO=0为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：

力系的主矢和主矩MO都等于零，即：

②二矩式条件：x轴不┴AB

连线③三矩式条件：A,B,C不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。①一矩式

例3-2已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁研究

②画受力图（以后对于受基础约束的支反力，可直接画在整体结构的原图上）例3-3已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：解：

选整体研究受力如图选坐标xy，列方程并求解:

①②③④

例3-4

已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC杆的受力？B点的反力？取E为矩心，列方程并求解①②③再研究CD杆

受力如图AC杆的受力为的反力，即大小为1414N。工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；在(b)图中去了风力即为空间平行力系。迎面风力侧面风力b第四章空间力系§4-1力在空间坐标轴上的投影§4-2力对轴的矩

合力矩定理§4-3空间任意力系的平衡方程§4-4

平行力系的中心物体的重心力的三要素：

大小、方向、作用点(线)大小：作用点：

在物体的哪点就是哪点方向：

①由

、

、g三个方向角确定

②

由仰角

与俯角

来确定。§4-1

力在空间坐标轴上的投影一、力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）由图可知：二、力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将

投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即§4-2力对轴的矩

合力矩定理

一、力对轴的矩的概念与计算定义：由于力

和

都不能使门转动，所以得出力与轴平行或相交时，力对轴之矩为零。亦即力与轴共面时，力对轴之矩为零。

力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定，即大拇指方向与轴的正向一致的为正，反之为负。

二、合力矩定理

与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：

即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。解：例4-1已知：P=2000N,C点在Oxy平面内。求：力

对三个坐标轴的矩。

三、力对轴之矩的解析表达式在最一般的情况下，位于空间的力对于三个坐标轴都可以产生力矩。由合力矩定理可以推导出力对轴之矩的解析表达式：式中Fx、Fy、Fz是力在坐标轴上的投影，x、y、z是力作用点的坐标。

建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，都是采取力系向一点简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间任意力系平衡方程。§4-3空间任意力系的平衡方程

设作用在刚体上有空间任意力系

如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足：空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：

各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴力矩的代数和都必须分别等于零。共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。

对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点）则成为恒等式故空间汇交力系的平衡方程为：

对于空间平行于z轴的平行力系：则成为恒等式Oxyz故空间平行于z轴的平行力系的平衡方程为：例4-2已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N

求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A,B的约束反力？最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。(Q力作用在C轮的最低点）解：①选研究对象②作受力图③选坐标列方程方法(二):将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请自己试着求解。

空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C

就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。

§4-4

平行力系的中心物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1、平行力系的中心

由合力矩定理可得：

如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。

由合力矩定理：

2、重心坐标公式

根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x轴取矩得：综合上述得重心坐标公式为：若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得质心公式:二、物体的质心公式和形心公式

设

i表示第i个小部分每单位体积的质量，⊿Vi第i个小体积，则代入上式则可得：又若该物体还是均质体，则其形心（几何中心）坐标为：同理，可写出均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：

物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。三、物体的重心的精确公式设

i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则代入重心坐标公式并取极限，可得：上式为重心C坐标的精确公式。