中国石油大学（北京）《工程力学》课件-Chapter 7

中国石油大学（北京）《工程力学》Chapter7AnalysisofStressStateChapter7AnalysisofStressState

7-1Introduction

Inthefirstpartofthischapter,aformaltreatmentforchangingthecomponentsofthestateofstressgiveninonesetofcoordinateaxestoanyothersetofrotatedaxesisdiscussed.Thecriteriafortheonsetofyieldortheoccurrenceoffractureistreatedinthesecondpart.

用无限小的3组相互垂直的平行平面截取构件所得到的小立方体称为单元体（elementslice），作用其上的应力如图所示。

Matrixrepresentationofthestresscomponents:由于

i,j两下标的任意性(i,j=x,y,z)，要完整描述一点的应力需要9个分量。因此，应力分量（stresscomponents）可表示为如下张量形式：1.StressTensor2.Stateofstress

Thetwo-dimensionalstressshowninthefigureisreferredtoasplanestress.Inmatrixrepresentationsuchastresscanbewrittenas

x,y,z坐标是任意选择的直角坐标系.当用其它一组坐标系表示同一点的应力状态时,称作Stresstransformation.可以证明,总有一组坐标,使得一点的应力张量表示为如下形式:7-2Transformationofstressintwo-dimensionalproblems

1.Thebasicproblem2.Stressesontheinclinedplane

xx

xy

y

y

yxn

dAdAcos

dAsin

xy

x

y

yx

Forinequilibrium

xy=-yxNotingthat

xy=yx,wehave(7-1)3.PrincipalStressesinTwo-dimensionalProblemsTofindtheplaneforamaximumoraminimumnormalstress,let

至于

1,2

与1,1+90°的对应关系可由(7-1)式确定.o

I

II4.Maximumshearstressesintwo-dimensionalproblems即最大最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45度。一般只需计算max即可，其位置可由(7-1)式确定。When=2,from(7-1)Example7-1

Forthestateofstressshowninthefigure,(a)findthestressesactingontheinclinedplanewith=-22.5°;(b)findtheprincipalstressesandshowntheirsenseonaproperlyorientedelement;and(c)findthemaximumshearstresseswiththeassociatednormalstressesandshowtheresultsonaproperlyorientedelement.Solution:Fororiginalstateofstress

x=3Mpay=1MPaxy=-2Mpa(a)FromEq.(7-1)(b)The

max,

minFrom(7-2)

Location:?Let=31°43’,from(7-1)(c)

maxFrom(7-4)7-3Mohr’scircleofstressfortwo-dimensionalproblems1.CircleofstressThestressesontheinclinedplane():Rewriteabovetwoequationsas:

Inagivenproblem,

x,y,xyarethethreeconstants,

,

arethevariables.Thisequationisanexpressionforacircleofradius.作莫尔圆的步骤：确定点C(a,0)

；

1以C

为圆心，CX

为半径作Mohr圆。3确定正x

面对应的应力点；

2莫尔应力圆2.ConstructionofMohr’scircle确定正y

面对应的应力点

2确定正x

面对应的应力点

1连接X

和Y

，与

轴交点为C

；

3以C为圆心，CX

为半径作圆。4或

莫尔应力圆2.ConstructionofMohr’scircle证明：斜截面上的应力因为所以2.ConstructionofMohr’scircle1，应力圆上的点X的坐标为（

x，xy），与单元体x

面的应力相对应。2，应力圆上X’的坐标为（

x’，x’y’），与单元体的x’面上的应力相对应。3，应力圆上CX’与CX的夹角为2

，是x’轴与x轴之夹角的2倍。2.ConstructionofMohr’scircle2.ConstructionofMohr’scircleProcedure:

①选择合适比例尺,建立

-坐标系.②由(

x,xy)确定A点,((x+y)/2,0)确定C点.Consideringstressesoninclinedplanewith

.

x

xy

y

yx

1

1③以C点为圆心,CA为半径作圆--Mohr’circle.④

1所在的主平面位于与应力圆上转向相同的2

1处.

x

yz特殊三向应力状态分析z

xyx－y平面平面应力状态是III=0的特殊情况。7-4TriaxialStateofstress假如z

面也是主平面。z面上主应力为

III。因为

III在xy平面上投影为零，对

x，y

方向的平衡无影响。所以xy平面的应力变换方程不变，主应力为

I和

II。三向主应力、主平面zxy

3

3

2

1

1

2123规定三个主应力按其代数值的大小排列，依次记为，并且。三个主平面相互垂直。

对平面应力状态的单元体，法向垂直于x-y面的z面上的切应力也为零，正应力。因而z面也是主平面，即一点存在三个应力主平面，相应有三个主应力。7-4TriaxialStateofstress三向主应力

13.3o-2.7110.71yx主应力为

I=

1＝10.71

MPa，

2＝0

II=

3=－2.71

MPa。

如果

I>0,

II>0那么

1＝

I

2＝

II

3＝0

I

II如果

I<0,

II<0那么

1＝0

2＝

I

3＝

II

I

II7-4TriaxialStateofstressz

x

y

n

x

y

z

n

x

z

y

n7-4TriaxialStateofstress最大切应力为位于与

1

和

3

成45o

角度的面上7-4TriaxialStateofstress如此，各构成一应力圆。平行于三个主应力的特殊斜面上的应力点将落在相应的圆上。xyz三向应力圆x

yzzxyz7-4TriaxialStateofstress可以证明，任意斜截面上的应力点一定落在三圆围成的阴影区域内。特殊三向应力状态例题zxy已知在xy平面内，

x＝50，

xy＝30，

y＝－10，单位为MPa。

z＝－30也是主应力。确定三个主应力和最大切应力，并作三向应力圆。30解：x－y平面22.5

xyzz将三个主应力按代数值大小排序可以写成三向应力圆

x

y

z

1=62.4-22.4

3=-30·20

max=46.2脆性材料断裂的强度理论最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁（受拉）

铸铁等脆性材料在简单拉伸试验中，材料的断裂面是试件的横截面。这与最大主应力所在的截面一致。由此提出了关于脆性材料的最大拉应力理论（或称为第一强度理论）。这一理论认为，最大拉应力是引起材料破坏的主要因素。

7-5YieldandFractureCriteria破坏条件：强度条件：

脆性材料在纯扭转破坏时，断裂沿45

斜截面发生，该截面也就是最大拉应力所在的截面。试验表明脆性材料在双向或三向拉伸破坏时，最大拉应力理论预测值与试验结果很接近。当有压应力存在时，只要压应力不超过最大拉应力值，则理论预测也与试验结果大致接近。

第一强度理论没有考虑其他两个主应力

2和

3的影响。也不能解释压应力下材料的破坏。最大拉应变理论（第二强度理论）

最大拉应变理论认为，不论在什么应力状态下，最大拉应变

1是引起材料破坏的主要原因。

单向拉伸试验中，材料破坏时发生的最大拉伸应变值为

一般应力状态下，据广义胡克定律，最大拉应变可表示为:这是一材料常数破坏条件强度条件F如果用第一强度理论，则不论压力F多大，其强度条件

1=0<[

]永远满足，即该理论预测材料永远不会破坏，这显然与实际不符。

最大拉应变理论（第二强度理论）混凝土块受压如果用第二强度理论，破坏条件为

这一理论预测与实验结果大体相符。

塑性材料屈服的强度理论

实践表明延性金属材料的滑移沿着最大切应力方向发生，显示最大切应力起了关键作用。于是第三强度理论认为屈服取决于最大切应力。

最大切应力理论（第三强度理论）拉伸实验中屈服条件一般应力状态下最大切应力为第三强度理论的屈服（破坏）条件为Tresca屈服准则

第三强度理论的强度条件为

a)MaximumShear-stressTheory(Trescayieldcondition,第三强度理论)Themaximumshear-stresstheory,orsimplythemaximumsheartheory,resultsfromtheobservationthatinaductilematerialslipoccursduringyieldingalongcriticallyorientedplanes.Thissuggeststhatthemaximumshearstressplaysthekeyrole,anditisassumedthatyieldingofthematerialdependsonlyonthemaximumshearstressthatisattainedwithinanelement.Therefore,

wheneveracertaincriticalvalue

crisreached,yieldinginanelementcommences.Foragivenmaterial,thisvalueusuallyissetequaltotheshearstressatyieldinsimpletensionorcompression.2.CriteriaforYieldofMaterialAplotofEq.7-band7-cisshowninthefigure8-29.Fromthisplot,someimportantconclusionscanbereached.

Thisyieldcriterionforperfectlyductilematerialiswidelyused.最大形状改变应变比能理论（第四强度理论）一般应力状态下形状改变应变比能单向拉伸实验时因此，第四强度理论的屈服(破坏）条件为（Mises

屈服准则）

强度条件

Thetheoryassertsthatyieldofamaterialoccurswhenthedistortionstraindensityatapointreachesacriticalvalue.(推导略).b).Maximumdistortion-energytheory(VonMisesyieldcondition

第四强度理论)Theelasticenergyperunitvolumeiscalledstrainenergydensitywhichdoesnotdependonthechoiceofcoordinateaxes.Thestrainenergyconsistsofthedistortionstrainenergyandtheenergyofdilatationofthevolume.7-6ComparisonofMaximumshear-stresstheoryand

Maximumdistortion-energytheory,Comparisonof

YieldandFractureCriteria

两个屈服准则与实验结果都吻合的很好,因而在工程中都得到广泛的应用.二者相比,显然最大剪(切)应力理论比最大应变比能理论保守.更安全.综合可把四个强度理论的强度条件表示为如下统一的形式：分别称为第一、第二、第三、第四强度理论的相当应力。本课程讨论的失效准则除断裂力学准则外,都只适应用于各向同性的均匀连续性材料(金属和部分非金属)在常温静载下的失效。岩土材料,高分子材料以及复合材料和粘弹性材料等另有失效准则。非常温静载下的破坏(如蠕变,疲劳)也另有准则。

对于失效准则的应用还应注意以下几点:对脆性材料，在双向拉应力状态下，用第一强度理论；在三向拉应力状态下，无论何种材料都发生脆性断裂破坏，用第一强度理论。但对塑性材料，因单向拉伸实验不能得到脆断的极限应力，

Ult要做相应调整。低碳钢等塑性材料，受力和结构都较简单时(如房屋结构中的钢结构等)用第四强度理论。受力和结构较复杂时(如机械中的传动轴，化工石油中的压力容器等)用第三强度理论。在三向压应力状态下，无论何种材料都发生塑性屈服破坏，用第四强度理论，但

yp要做相应调整。例题1

铸铁构件的危险点处应力如图所示。其中

x=

10MPa，

xy=10MPa，

y=20MPa，

z=

5MPa，如果材料的许用应力[

]＝30MPa，校核构件的强度。

zxyz

y

x

xy解：在x－y平面内

zxyz

y

x

xy

1=23.03MPa

2=z=5MPa

3=13.03

MPa既然

1=23.03MPa<[

]=30MPa，该构件满足强度条件。

由于最大拉应力值大于压应力值，所以可以用第一强度理论校核。例题2

试在下列情况下应用不同的强度理论，设计受扭薄壁圆筒的壁厚（壁中面半径为R）。（1）材料为铸铁，许用拉、压应力之比

[

]+/[

]－＝＝1/4；（2）材料为Q235钢。RtT解：薄壁圆筒处于纯剪状态。

1=，2=0，

3=。

（1）铸铁可用第一，第二强度理论。第一和第二强度理论得到的壁厚之比为1：1.25。（2）低碳钢可用第三，第四强度理论。第三和第四强度理论得到的壁厚之比为1：0.866。例题3

圆筒型薄壁压力容器，内部储存压力为p的气体。圆筒的中面的直径为D，容器壁的厚度为t。忽略容器的自重，根据第三和第四强度理论求许用压力[p]。

xz

x

x第三强度理论确定的许用压力第四强度理论确定的许用压力

可见用第三强度理论得到的许用压力小于第四强度理论的值，第三强度理论偏保守。

例题4利用第三和第四强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并推导塑性材料的许用切应力[

]和许用拉应力[]间的关系。

解：纯剪切应力状态时主应力为

按照第三强度理论，纯剪切时强度条件可以写成

或者上式表示许用切应力为

根据第四强度理论，纯剪切时强度条件可以写成

或者

可以认为纯剪切时，许用切应力为

例题5

利用第一和第二强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并推导脆性材料的许用切应力[

]和许用拉应力[

]间的关系。解：按照第一强度理论，纯剪切时的强度条件为

可以认为纯剪切时，许用切应力为

由第二强度理论，纯剪切时强度条件可以写成

所以纯