福建省2026-2027学年上学期九年级10月数学学情自测卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页福建省2026-2027学年上学期九年级10月数学学情自测卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.实数的倒数是（

）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（

）A. B. C. D.4.估计的值应在（

）A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间5.关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（

）A. B.2 C. D.06.如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（

）

A. B. C. D.7.解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是（）A.3y2-2y-1=0 B.y2-2y-3=0 C.y2+2y-3=0 D.y2-3y-2=08.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（

）

A. B.

C. D.9.“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（

）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根10.将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放.在两个涂色的三角形中，若较小的三角形的面积为1，则较大的三角形的面积是（）A.

B.

C.

D.2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值

.12.若最简二次根式与可以合并，则m的值为

．13.已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2，且+=3，则k的值为

．14.如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是

．

15.已知方程的解是，，则方程的解是

．16.如图，平行四边形可分割成一个正方形和两组全等的直角三角形：与，与．若平行四边形面积为20，，则的长为

．

三、计算题：本大题共3小题，共30分。17.计算：

18.解方程：．19.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个(1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率(2)该品牌头盔的进价为30元/个，市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到5250元的同时，尽可能让市民享受实惠，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题10分)

先化简，再求值：，其中．21.(本小题10分)

已知是方程的一个根，试求的值．22.(本小题10分)

已知关于的一元二次方程．(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；(2)若为整数，且该方程的两个实数根都为正整数，求的值．23.(本小题12分)

如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，线段AB=24千米，AD=23千米，BC=16千米(1)尺规作图：在AB上求作点P，使得PC=PD，并求AP的长(2)借助（1）的思考过程与几何模型，求的最小值24.(本小题15分)

已知y=x2-x-mn,m+n=5．（其中x,y,m,n均为实数）(1)当m=1时，求y的最小值。(2)当时，求整数x的值。(3)若x,m,n均为整数，求证：y一定是偶数。25.(本小题15分)如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，点A在x轴负半轴上，且，点E为线段的中点．

(1)写出点B，点C的坐标，并求直线的解析式；(2)如图2，点M在x轴正半轴上，点N在y轴负半轴上，直线交y轴正半轴于点F，若四边形是平行四边形，求证：；(3)如图3，点D在y轴上，以为边，在直线的右侧作正方形，若点Q恰落在直线上，求点D的坐标．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】2026（答案不唯一）

12.【答案】

13.【答案】-2

14.【答案】

/

15.【答案】，

16.【答案】

17.【答案】解：原式．

18.【答案】解：或，．

19.【答案】【小题1】设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x,

由题意得：150（1+x）2=216，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去），

答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%【小题2】设该品牌头盔的实际售价定为每个y元，

由题意得：（y-30）[400-10（y-40）]=5250，

整理得：y2-110y+2925=0，

解得：y1=45，y2=65（不符合题意，舍去），

答：该品牌头盔的实际售价应定为每个45元

20.【答案】解：，当时，原式．

21.【答案】解：∵是方程的一个根，∴，∴，，∴．

22.【答案】【小题1】证明：∵该方程是关于的一元二次方程.∴，，∵，∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根．【小题2】解：∵，∴，，∵该方程的两个实数根都为正整数，∴或，且为的整数因数，∴或．

23.【答案】【小题1】如图1，作法：①连接CD，

②作线段CD的垂直平分线交AB于点P，

③连接PC，PD，

此时，PC=PD，点P是要求作的点；

设AP=x,则PB=24-x,

∵AD2+AP2=PD2=PC2=PB2+BC2，

∴232+x2=（24-x）2+162，

解得x=，

即AP=千米【小题2】如图2，AC=3，AB=16，BD=9，

此时PC=，PD=，

当点C，点P，点D三点在同一条直线上时，PC+PD最短，即+的值最小，

在Rt△CQD中，CQ=CA+AQ=3+9=12，QD=AB=16，

∴CD==20，

即+的最小值是20

24.【答案】【小题1】解：∵m=1，m+n=5，

∴n=4，

∴mn=4，

∴y=x2-x-mn=x2-x-4=（x-）2-，

∴抛物线开口向上，y有最小值。【小题2】解：由m+n=5可知mn是两个数的乘积．

当时，y=x2-x-mn=，

∴mn=x2-x+，

∵m、n为实数，

∴一元二次方程t2-5t+mn=0判别式Δ≥0，

∴Δ=（-5）2-4mn≥0，

∴mn≤，

∴x2-x+≤，

∴x2-x≤0，

解得：0≤x≤1，

∵x为整数，

∴x=0或x=1，

检验：x=0时，mn=0-0+=，m+n=5，方程t2-5t+=0，Δ=0，存在实数根；

x=1时，mn=1-1+=，m+n=5，方程t2-5t+=0，Δ=0，存在实数根，

∴当时，x=0或x=1。【小题3】证明：∵m+n=5（5为奇数），

∴m,n为一奇一偶，

∴mn是偶数．

∵y=x2-x-mn=x（x-1）-mn中x和x-1为连续整数，

∴x和x-1必是一奇一偶，

∴x（x-1）为偶数，

∴y=x2-x-mn=x（x-1）-mn一定是偶数。

25.【答案】【小题1】解：直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，当时，，当时，，解得，，，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为；【小题2】证明：点E为线段的中点，，，，四边形是平行四边形，，点、到对角线的距离相等，即，，，，设，，即，当时，，解得，，设，，解得，，当时，，即，，，；【小题3