2027届广西百色市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，则（

）A． B．C． D．2．命题“”的否定为（

）A． B． C． D．3．已知集合，，则（

）A． B．C． D．4．等差数列的前项和为，若，，则（

）A．11 B．12 C．13 D．145．已知，则的值为（

）A． B．C． D．6．甲、乙两名游客来到广西旅游，准备分别从南宁、柳州、桂林、北海这4个城市中随机选一个游览，记事件“甲和乙至少有一人选择柳州”，事件“甲和乙选择的城市不同”，则条件概率（

）A． B．C． D．7．某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（

）A． B．C． D．8．已知，为正实数，且，则的最小值为（）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，则（

）A．当时，B．与向量平行的单位向量为C．若与的夹角为钝角，则的取值范围为D．当时，向量在向量上的投影向量为10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（

）A．到渐近线的距离为B．的最小值为C．若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为D．若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值11．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得B．的最小值为C．当时，D．点在底面内，当时，点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中，含的项的系数为________（用数字作答）．13．若直线与曲线相切，则________．14．随机抛一枚质地均匀的硬币6次，定义数列满足：记事件“对于任意，均有，且”，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立．(1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率；(2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望．16．如图，和所在平面垂直，且，，．(1)证明:．(2)若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．17．在中，记，，，已知，设边上的高为．(1)若的面积为，且不是钝角三角形，求的值；(2)若，求的最大值．18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为．(1)求该椭圆的标准方程．(2)过该椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交该椭圆于，两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上．(3)在（2）的条件下，求的最大值．19．已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则称为函数的一个“伴随数列”．(1)若函数，求的一个“伴随数列”的通项公式．(2)若函数，数列，为的两个“伴随数列”，且对任意的，均有，．（ⅰ）证明：．（ⅱ）当时，判断的正负，并证明你的结论．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】由题意可知：.2．B【分析】根据含有一个量词的命题的否定要求，即可求得答案.【详解】命题“”的否定为.故选：B.3．C【详解】由，所以，由，所以.所以.4．D【分析】由结合等差数列下标和性质求出，再由等差数列前项和公式结合下标和性质求解.【详解】因为，所以，解得，又，所以.5．B【分析】根据诱导公式可知，结合余弦二倍角公式将化为，代入求值即可.【详解】由可得，即，所以.6．C【分析】根据条件概率公式，分别求出和，即可求出.【详解】由题可知，甲、乙各自从4个城市中选一个，总基本事件数为个，又事件“甲和乙至少有一人选择柳州”的对立事件为“甲和乙都不选柳州”，此时甲、乙各有3种选择，所以对立事件共包含个基本事件数，所以事件共有个基本事件，即；又事件表示“甲和乙至少有一人选择柳州，且两人选择的城市不同”，当甲选柳州，乙不选时，共有3种情况；当乙选柳州，甲不选时，也有3种情况，所以事件的基本事件数共有种，即，因此，由条件概率公式可得.7．B【分析】先根据圆锥侧面展开图的弧长和圆心角求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过轴截面等腰三角形的内切圆半径得到内切球半径，最终计算球的最大表面积．【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图弧长等于底面周长，即：，由弧长公式得，，所以圆锥母线即扇形半径为2，由勾股定理得圆锥高，圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（边长为2的等边三角形）的内切圆半径，轴截面面积，轴截面半周长，所以，所以球的表面积为．8．B【分析】先利用约束条件代换分子中的常数“1”，将分式拆分为“倒数和”形式，再通过“1的代换”（乘以）构造基本不等式结构，最终用基本不等式求最小值.【详解】由，得，，而，因为正实数，则，当且仅当时取等，又，即当时，取得最小值.9．AD【详解】选项A，，令，即，解得，A正确；选项B，，与平行的单位向量有同向、反向两个，即，B错误；选项C，夹角为钝角的条件：①数量积小于0，②两向量不反向共线，由，得；若与共线，则，解得（此时夹角为，不属于钝角，需排除），因此的取值范围是，而非，C错误；选项D，当时，，，，故向量在上的投影向量为，D正确.10．BCD【分析】先根据双曲线的标准方程得到，，，及渐近线的方程．对于A，根据点到直线的距离公式计算即可判断；对于B，分①直线交于双曲线的左右两支和②直线交于双曲线的右支两种情况分析，进而得到的最小值即可判断；对于C，结合题意直线的斜率的绝对值小于，计算即可判断；对于D，根据圆的性质，及双曲线的定义即可判断．【详解】由题意可得，，，所以，，渐近线的方程为，即，对于A，到渐近线的距离为，故A错误；

对于B，若直线交于双曲线的左、右两支，显然当，为左右交点时，取得最小值，此时，，则最小值为，若直线交于双曲线的右支，显然当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，，则最小值为，所以的最小值为，故B正确；对于C，由渐近线方程的斜率为，当直线的斜率的绝对值小于时，过的直线与双曲线交于，两点在左、右两支上，此时直线的斜率的取值范围为，故C正确；对于D，设内切圆圆心为，内切圆与，，相切于点，，，则，，，因为，所以，令的横坐标为，则，解得，所以若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标恒为，即为定值，故D正确．11．ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断ABC的真假；确定点的轨迹，再求其长度，可判断D的真假.【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，.设，，，所以，则.对A，，，由.即为中点时，.故A正确；对B，，，.所以，所以当时，取得最小值，为.故B正确；对C，由（舍去）或，所以当时，.故C错误；对D，因为点在底面内，且，所以.由.所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的圆弧，其长度为.故D正确.12．【分析】利用二项式定理通项公式求解指定项系数，首先写出二项展开的通项，确定式子中，整理得到通项中的指数表达式；再根据目标，建立方程求出对应的值，把代回通项，依次计算组合数、的幂次与的幂次，合并得到该项系数即可.【详解】∵二项展开通项公式：，又∵，，∴，令的指数，得，将代入通项：，含项的系数为.13．【详解】因为的定义域为，且，令，解得，则，即切点坐标为，把代入直线可得，解得.14．【分析】应用古典概型结合组合数公式计算求解.【详解】事件A满足6次抛硬币正面、反面各出现3次，且任意前n次正面出现次数不少于反面出现次数，有；；；；，符合条件的情况有5种，总样本数为，故，15．(1)(2)的分布列如下：0123【分析】（1）方法一：利用独立事件的概率公式求解即可；方法二：利用对立事件的概率公式求解即可；（2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可.【详解】（1）记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件．（方法一）．（方法二：间接法）．（2）的可能取值为0，1，2，3，，，，．故的分布列如下：0123.16．(1)证明：过点作垂直于的延长线于点F平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，．，，平面，平面，．(2)【分析】（1）过点作垂直于的延长线于点，由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可证明；（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法即可求解.【详解】（1）略（2）由（1）知．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则令，解得，．记直线与平面所成的角为，，．17．(1)(2)【分析】（1）先根据三角形的面积公式得到，从而得到，再根据余弦定理得到，进而根据余弦定理即可求出的值；（2）先根据三角形的面积公式，余弦定理，及辅助角公式得到，进而即可求出的最大值．【详解】（1）由，且的面积为，则，所以，又不是钝角三角形，所以．在中，由余弦定理，，得，再由余弦定理，．（2）由，且，则，即，所以，又由余弦定理得，所以，即，所以，其中，所以，即，即，解得，假设能取得最大值，此时，则，所以在中，当时，即，即时，取得最大值．18．(1)(2)证明：设直线．由，消去可得，整理可得显然．设，，则，直线，直线将两直线方程联立可得，即代入，可得因为，代入上式，可得所以，所以点在定直线上；(3).【分析】（1）根据，，求解即可；（2）设直线，与椭圆方程联立，求出两直线的交点，结合韦达定理，即可得证；（3）设，设，根据夹角公式及基本不等式求解即可.【详解】（1）因为点到点的距离的最大值为3，所以．又，所以，．由，得，所以该椭圆的方程为;（2）略；（3）设，．因为，，所以，设，由两直线的夹角公式得由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立因为，且函数在上单调递增，所以，即，即的最大值为19．(1)(2)（ⅰ）证明：由“伴随数列”的定义得，且，①证明：由，两边取自然对数，得，②证明：要证，只需证，又因为，整理得，所以即证当时，，构造函