北京市第四中学高二数学第5章数列综合测试卷及答案

北京市第四中学高二数学第5章数列综合测试卷及答案第1页共1页北京市第四中学高二数学第5章数列综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n(S_n+1)/2(n≥2)，则a_4的值为A.15B.21C.35D.55参考答案：B2.若等差数列{a_n}中，a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的公差d为A.1B.2C.-1D.-2参考答案：C3.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2n(n∈N)，则b_6的值为A.20B.22C.24D.26参考答案：C4.在等比数列{c_n}中，c_2c_4=16，c_3=2，则该数列的公比q为A.2B.-2C.4D.-4参考答案：A5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，若d_n=S_n/(n+1)，则该数列是A.等差数列B.等比数列C.摄动数列D.递减数列参考答案：A6.若数列{e_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则e_4的值为A.18B.27C.54D.81参考答案：B7.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n(n≥2)，则f_5的值为A.15B.31C.55D.120参考答案：B8.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7的值为A.10B.12C.14D.16参考答案：D9.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则h_3的值为A.7B.9C.11D.13参考答案：C10.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+n(n≥2)，则i_6的值为A.21B.27C.33D.39参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：a_n=3n-72.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5的值为______。参考答案：b_5=483.若等比数列{c_n}中，c_1=2，c_3=8，则该数列的公比q=______。参考答案：q=24.求数列{d_n}：1,-1,1,-1,…的前10项和S_10=______。参考答案：S_10=05.已知数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+3(n≥2)，且e_1=1，则e_6=______。参考答案：e_6=156.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=______。参考答案：a_5+a_7=167.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则g_3的值为______。参考答案：g_3=88.已知数列{h_n}满足h_n=h_{n-1}+n(n≥2)，且h_1=1，则h_4=______。参考答案：h_4=109.在等比数列{i_n}中，若i_2i_4=16，i_3=2，则i_5=______。参考答案：i_5=810.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则j_3的值为______。参考答案：j_3=6三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_1是首项，a_n是第n项。参考答案：√2.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），且a_1=c，则{a_n}是等差数列。参考答案：√3.等比数列的任意一项都不可能为零。参考答案：×4.若数列{b_n}的前n项和为S_n，则b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）。参考答案：√5.数列{c_n}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得c_{n+1}-c_n=d对所有n成立。参考答案：√6.数列{d_n}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得d_{n+1}/d_n=q对所有n成立。参考答案：√7.若数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则e_n=2^{n-1}。参考答案：×8.数列{f_n}既是等差数列又是等比数列的充要条件是f_n=c（c为常数）。参考答案：√9.等差数列的任意两项之差都是同一个常数。参考答案：√10.等比数列的任意两项之比都是同一个常数。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，故a_n=6n-52.若等比数列{b_n}中，b_1=1，b_4=16，求该数列的公比q。参考答案：q=(b_4/b_1)^(1/3)=4^(1/3)=23.在等差数列{c_n}中，若a_5=10，a_10=25，求该数列的公差d。参考答案：d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=34.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，求d_6的值。参考答案：d_6=S_6-S_5=21-15=65.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+2(n≥2)，且e_1=1，求e_5的值。参考答案：e_5=e_1+24=96.在等比数列{f_n}中，若f_2f_8=64，求f_5的值。参考答案：f_5=√(f_2f_8)=√(64)=87.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，求g_4的值。参考答案：e_4=S_4-S_3=15-8=78.若数列{h_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求h_3的值。参考答案：h_3=S_3-S_2=6-3=3五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种产品，其成本随着产量的增加而降低。已知当产量为100件时，单位成本为80元；当产量增加到200件时，单位成本降低到70元。假设单位成本y（元）与产量x（件）之间的关系是等差数列，求：（1）单位成本y与产量x之间的函数关系式；（2）当产量为300件时，该产品的总成本是多少？参考答案：（1）y=90-0.1x；（2）24000元2.某城市公交公司为了提高服务质量，对公交车的运行效率进行了研究。已知某条线路上的公交车运行时间T（分钟）与乘客数量N（人）之间的关系满足等比数列。当乘客数量为50人时，运行时间为30分钟；当乘客数量增加到100人时，运行时间延长到45分钟。求：（1）运行时间T与乘客数量N之间的函数关系式；（2）当乘客数量为150人时，该线路的公交车运行时间预计是多少？参考答案：（1）T=30×(1.5)^(N/50)；（2）56.25分钟3.某农场计划种植一种作物，预计第一年产量为1000吨，以后每年的产量都比前一年增加200吨。求：（1）第n年的产量是多少？（2）前n年的总产量是多少？参考答案：（1）1000+200(n-1)；（2)100n^2+900n4.某公司投资一个项目，预计第一年的收益为10万元，以后每年的收益都比前一年增加10%。求：（1）第n年的收益是多少？（2）前n年的总收益是多少？参考答案：（1）10×(1.1)^(n-1)；（2）10[(1.1)^n-1]/0.15.某城市自来水公司为了鼓励居民节约用水，制定了阶梯水价政策。已知某户居民每月用水量x（立方米）与应缴水费y（元）之间的关系满足等差数列。当用水量为10立方米时，水费为20元；当用水量增加到20立方米时，水费为35元。求：（1）水费y与用水量x之间的函数关系式；（2）当该户居民每月用水量为30立方米时，应缴水费是多少？参考答案：（1）y=15+1.5x；（2）60元6.某工厂生产一种产品，其销售价格随着市场需求的增加而降低。已知当市场需求为1000件时，销售价格为50元；当市场需求增加到2000件时，销售价格降低到40元。假设销售价格p（元）与市场需求q（件）之间的关系是等差数列，求：（1）销售价格p与市场需求q之间的函数关系式；（2）当市场需求为3000件时，该产品的销售价格预计是多少？参考答案：（1）p=60-0.05q；（2）30元7.某公司为了提高员工福利，决定从今年起每年增加员工工资。已知今年员工工资为5000元，以后每年的工资都比前一年增加500元。求：（1）第n年的员工工资是多少？（2）前n年的员工工资总增加额是多少？参考答案：（1）5000+500(n-1)；（2）250n^2+450n8.某农场计划种植一种作物，预计第一年产量为1000吨，以后每年的产量都比前一年增加10%。求：（1）第n年的产量是多少？（2）前n年的总产量是多少？参考答案：（1）1000×(1.1)^(n-1)；（2）1000[(1.1)^n-1]/0.1标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由a_n=S_n(S_n+1)/2(n≥2)，可得a_2=S_2(S_2+1)/2=23/2=3，a_3=S_3(S_3+1)/2=67/2=21，a_4=S_4(S_4+1)/2=2122/2=231。故选B。2.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得a_3+a_7=2a_5=12，又a_5=4，故公差d=(a_7-a_3)/(7-3)=4/4=1。故选C。3.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。由b_n+1=b_n+2n(n∈N)，可得b_n=b_{n-1}+2(n-1)，故b_n-b_{n-1}=2(n-1)，故数列{b_n}的公差为2。又b_1=2，故b_n=2+2(1+2+...+(n-1))=2+n(n-1)=n^2-n+2。故b_6=6^2-6+2=32。故选C。4.参考答案：A解析：本题考查等比数列的性质。由等比数列的性质可得c_2c_4=c_3^2=16，又c_3=2，故公比q=c_3/c_2=2/1=2。故选A。5.参考答案：A解析：本题考查等差数列的判定。由d_n=S_n/(n+1)，可得d_{n+1}=S_{n+1}/(n+2)，故d_{n+1}-d_n=S_{n+1}/(n+2)-S_n/(n+1)=(n+1)/(n+2)。又d_{n+1}-d_n=S_{n+1}/(n+2)-S_n/(n+1)=1/(n+2)，故数列{d_n}是等差数列。故选A。6.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由S_n=3^n-1，可得e_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=23^{n-1}。故e_4=23^3=54。故选B。7.参考答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式。由f_n=f_{n-1}+n(n≥2)，可得f_n-f_{n-1}=n，故数列{f_n}的公差为1。又f_1=1，故f_n=1+(n-1)1=n。故f_5=5。故选B。8.参考答案：D解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得a_1+a_9=2a_5=20，故a_5=10。同理可得a_7=10，故a_5+a_7=20。故选D。9.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。由S_n=n^2+n，可得e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。故h_3=23=6。故选C。10.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。由i_n=i_{n-1}+n(n≥2)，可得i_n-i_{n-1}=n，故数列{i_n}的公差为1。又i_1=1，故i_n=1+(n-1)1=n。故i_6=6。故选C。二、填空题1.参考答案：a_n=3n-7解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_4=10和a_7=19，可得3d=a_7-a_4=19-10=9，解得公差d=3。又a_4=a_1+3d，即10=a_1+9，解得首项a_1=1。故通项公式a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)×3=3n-2。2.参考答案：b_5=48解析：本题考查数列的前n项和。由S_n=3^n-1，得b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。故b_5=2×3^4=48。3.参考答案：q=2解析：本题考查等比数列的公比。由c_3=c_1q^2，即8=2q^2，解得q^2=4，故q=±2。又q0，故公比q=2。4.参考答案：S_10=0解析：本题考查数列的求和。数列{d_n}为1,-1,1,-1,…，前10项为1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1，正负项相消，故S_10=0。5.参考答案：e_6=15解析：本题考查数列的递推关系。由e_n=e_{n-1}+3(n≥2)，可得e_2=e_1+3=1+3=4，e_3=e_2+3=4+3=7，e_4=e_3+3=7+3=10，e_5=e_4+3=10+3=13，e_6=e_5+3=13+3=15。6.参考答案：a_5+a_7=16解析：本题考查等差数列的性质。由a_1+a_9=20，可得2a_5=20，故a_5=10。又a_7=a_1+6d，a_5=a_1+4d，故a_7-a_5=2d。又a_5+a_7=2a_1+10d=2(a_1+5d)=2a_5=20，故a_5+a_7=16。7.参考答案：g_3=8解析：本题考查数列的前n项和。由S_n=n^2+n，得g_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n-1。故g_3=2×3-1=8。8.参考答案：h_4=10解析：本题考查数列的递推关系。由h_n=h_{n-1}+n(n≥2)，可得h_2=h_1+2=1+2=3，h_3=h_2+3=3+3=6，h_4=h_3+4=6+4=10。9.参考答案：i_5=8解析：本题考查等比数列的性质。由i_2i_4=16，可得i_3^2=16，故i_3=±4。又i_3=2，故i_3=2。又i_3=i_1q^2，即2=1q^2，解得q^2=2，故q=±√2。又i_5=i_3q^2=2×2=4，故i_5=8。10.参考答案：j_3=6解析：本题考查数列的前n项和。由S_n=2n^2-3n，得j_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故j_3=4×3-5=12-5=6。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列前n项和公式〉。等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_1是首项，a_n是第n项。该公式是等差数列的基本性质，适用于任意等差数列，因此该说法正确。2.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的定义〉。数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），且a_1=c，根据等差数列的定义，{a_n}是等差数列。该条件完整符合等差数列的定义，因此该说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的性质〉。等比数列的任意一项都不可能为零。如果某一项为零，那么该等比数列的所有项都为零，此时公比q=0，不符合等比数列的定义。因此该说法错误。4.参考答案：√解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。若数列{b_n}的前n项和为S_n，则b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）。这是数列前n项和与通项的基本关系，适用于任意数列，因此该说法正确。5.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的判定〉。数列{c_n}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得c_{n+1}-c_n=d对所有n成立。这是等差数列的判定定理，因此该说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的判定〉。数列{d_n}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得d_{n+1}/d_n=q对所有n成立。这是等比数列的判定定理，因此该说法正确。7.参考答案：×解析：本题考查〈数列前n项和与通项的关系〉。若数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。当n=1时，e_1=S_1=1，而2^{1-1}=1，因此该公式对n=1成立。但当n≥2时，e_n=2^{n-1}不成立，因为e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。因此该说法错误。8.参考答案：√解析：本题考查〈既是等差数列又是等比数列的数列〉。数列{f_n}既是等差数列又是等比数列的充要条件是f_n=c（c为常数）。这是因为等差数列的任意两项之差是常数，等比数列的任意两项之比是常数，只有当数列的所有项都相等时，这两个条件才能同时满足。因此该说法正确。9.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的性质〉。等差数列的任意两项之差都是同一个常数，这个常数就是公差d。这是等差数列的基本性质，因此该说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的性质〉。等比数列的任意两项之比都是同一个常数，这个常数就是公比q。这是等比数列的基本性质，因此该说法正确。四、简答题1.参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，故a_n=6n-5解析：本题考查等差数列的前n项和公式。首先利用等差数列的前n项和公式求出通项公式a_n=S_n-S_{n-1}，然后验证n=1时是否符合该公式，若符合则通项公式为a_n=S_n-S_{n-1}，若不符合则需要分段表示。在本题中，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等差数列的前n项和公式求出通项公式、误将等差数列的前n项和公式与等比数列的前n项和公式混淆、误将等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式混淆、未正确验证n=1时是否符合通项公式。2.参考答案：q=(b_4/b_1)^(1/3)=4^(1/3)=2解析：本题考查等比数列的通项公式。根据等比数列的通项公式b_n=b_1q^(n-1)，可以得到q=(b_4/b_1)^(1/3)=4^(1/3)=2。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等比数列的通项公式求出公比q、误将等比数列的通项公式与等差数列的通项公式混淆、误将等比数列的通项公式与等比数列的前n项和公式混淆、未正确计算公比q的值。3.参考答案：d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=3解析：本题考查等差数列的通项公式。根据等差数列的通项公式a_n=a_1+d(n-1)，可以得到d=(a_10-a_5)/(10-5)=15/5=3。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等差数列的通项公式求出公差d、误将等差数列的通项公式与等比数列的通项公式混淆、误将等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式混淆、未正确计算公差d的值。4.参考答案：d_6=S_6-S_5=21-15=6解析：本题考查等差数列的前n项和公式。根据等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，可以得到d_6=S_6-S_5=21-15=6。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等差数列的前n项和公式求出d_6、误将等差数列的前n项和公式与等比数列的前n项和公式混淆、误将等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式混淆、未正确计算d_6的值。5.参考答案：e_5=e_1+24=9解析：本题考查等差数列的通项公式。根据等差数列的通项公式a_n=a_1+d(n-1)，可以得到e_5=e_1+24=9。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等差数列的通项公式求出e_5、误将等差数列的通项公式与等比数列的通项公式混淆、误将等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式混淆、未正确计算e_5的值。6.参考答案：f_5=√(f_2f_8)=√(64)=8解析：本题考查等比数列的性质。根据等比数列的性质，可以得到f_5=√(f_2f_8)=√(64)=8。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等比数列的性质求出f_5、误将等比数列的性质与等差数列的性质混淆、误将等比数列的性质与等比数列的前n项和公式混淆、未正确计算f_5的值。7.参考答案：e_4=S_4-S_3=15-8=7解析：本题考查等比数列的前n项和公式。根据等比数列的前n项和公式S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)，可以得到e_4=S_4-S_3=15-8=7。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等比数列的前n项和公式求出e_4、误将等比数列的前n项和公式与等差数列的前n项和公式混淆、误将等比数列的前n项和公式与等比数列的通项公式混淆、未正确计算e_4的值。8.参考答案：h_3=S_3-S_2=6-3=3解析：本题考查等差数列的前n项和公式。根据等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，可以得到h_3=S_3-S_2=6-3=3。错误选项A、B、C、D分别对应学生可能出现的错误：未正确利用等差数列的前n项和公式求出h_3、误将等差数列的前n项和公式与等比数列的前n项和公式混淆、误将等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式混淆、未正确计算h_3的值。五、应用题1.参考答案：（1）y=90-0.1x；（2）24000元解析：本题考查等差数列的应用。设单位成本y与产量x之间的函数关系式为y=a+bx，由题意得：当x=100时，y=80，即a+100b=80；当x=200时，y=70，即a+200b=70。解得a=90，b=-0.1，所以y=90-0.1x。当产量为300件时，总成本为300×(90-0.1×300)=24000元。2.参考答案：（1）T=30×(1.5)^(N/50)；（2）56.25分钟解析：本题考查等比数列的应用。设运行时间T与乘客数量N之间的函数关系式为T=bq^N，由题意得：当N=50时，T=30，即bq^50=30；当N=100时，T=45，即bq^100=45。解得b=20，q=1.