北京市第四中学高二数学第9章数列综合测试卷及答案

北京市第四中学高二数学第9章数列综合测试卷及答案第1页共1页北京市第四中学高二数学第9章数列综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则a_5的值为A.25B.30C.35D.40参考答案：B2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，且公差d=2，则a_1的值为A.0B.2C.4D.6参考答案：C3.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=54，则b_3的值为A.12B.18C.24D.36参考答案：D4.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=(-1)^(n+1)(n+1)/n，则c_1+c_2+c_3+...+c_10的值为A.5B.6C.7D.8参考答案：A5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则d_4的值为A.8B.16C.32D.63参考答案：B6.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则a_15的值为A.30B.35C.40D.45参考答案：D7.已知数列{e_n}是等比数列，且e_1=2，e_3=8，则e_5的值为A.16B.24C.32D.64参考答案：C8.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则f_6的值为A.21B.28C.36D.45参考答案：A9.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+...+a_9=45，则a_5的值为A.5B.10C.15D.20参考答案：C10.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=n(n+1)/2，则g_1+g_2+...+g_10的值为A.220B.285C.330D.385参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=5,a_7=11，则a_10=______。参考答案：192.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+2n，则b_5=______。参考答案：183.若等比数列{c_n}中，c_2=6,c_4=54，则c_3=______。参考答案：244.求数列{d_n}的前n项和S_n，其中d_n=2n-1。参考答案：n^25.在等差数列{a_n}中，若a_1=2,d=3，则a_10=______。参考答案：296.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=3,b_3=27，则b_2=______。参考答案：97.求数列{c_n}的通项公式，其中c_n=n(n+1)。参考答案：c_n=n(n+1)8.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6=16，则a_5=______。参考答案：89.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则d_4=______。参考答案：810.若等比数列{b_n}中，b_3=12,b_5=96，则b_4=______。参考答案：48三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则该数列的公差d必定为3。参考答案：×2.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=24，则该数列的公比q必定为2。参考答案：√3.若数列{c_n}的通项公式为c_n=(-1)^(n+1)n，则该数列的前5项和S_5=0。参考答案：×4.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式为a_n=5n-5。参考答案：√5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列一定是等比数列。参考答案：×6.若等比数列{e_n}中，e_2=6，e_4=54，则该数列的公比q必定为3。参考答案：√7.求数列{f_n}的前n项和S_n，其中f_n=n(n+1)/2，则S_n=n(n+1)(n+2)/6。参考答案：√8.在等差数列{a_n}中，若a_1=2,d=3，则该数列的第10项a_10=29。参考答案：√9.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=3,b_3=27，则该数列的通项公式为b_n=3^n。参考答案：√10.求数列{c_n}的通项公式，其中c_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，故a_n=6n-52.若等差数列{b_n}中，b_1=5，b_3=11，求该数列的通项公式b_n及前10项和S_10。参考答案：d=(b_3-b_1)/(3-1)=(11-5)/2=3，b_n=b_1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2，S_10=10/2×(b_1+b_10)=5×(5+32)=1853.已知数列{c_n}是等比数列，且c_2=6，c_4=54，求该数列的通项公式c_n。参考答案：q=c_4/c_2=54/6=9，c_n=c_1q^(n-1)=c_19^(n-1)，又c_2=c_1q=c_19=6，故c_1=2/3，c_n=(2/3)9^(n-1)4.求数列{d_n}的前n项和S_n，其中d_n=n(n+1)/2。参考答案：S_n=1/2×[n(n+1)]=n(n+1)/25.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求该数列的公差d。参考答案：d=(a_10-a_5)/(10-5)=(25-10)/5=36.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=2，b_3=8，求该数列的前5项和S_5。参考答案：q=c_4/c_2=54/6=9，c_n=c_1q^(n-1)=c_19^(n-1)，又c_2=c_1q=c_19=6，故c_1=2/3，S_5=c_1(q^5-1)/(q-1)=(2/3)(9^5-1)/(9-1)=43807.若数列{c_n}的通项公式为c_n=(-1)^(n+1)n，求该数列的前6项和S_6。参考答案：S_6=1-2+3-4+5-6=-38.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，d=2，求该数列的前n项和S_n的表达式。参考答案：S_n=n/2×(a_1+a_n)=n/2×(1+1+(n-1)×2)=n/2×(2n)=n^2五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市地铁线路计划进行改造，第一年计划新建线路长度为10公里，以后每年比前一年多新建5公里。请问至少需要多少年，新建线路总长度才能超过100公里？参考答案：至少需要5年2.一个工厂生产某种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产20%。请问第5年的产量是多少件？参考答案：第5年的产量是1408件3.某城市自来水公司计划对居民用水进行阶梯式水价调整，第一年每立方米水价调价为2元，以后每年比前一年再调价1元。请问至少需要多少年，每立方米水价才能达到10元？参考答案：至少需要8年4.某公司投资一个项目，第一年投资额为100万元，以后每年比前一年多投资20%。请问第4年的投资额是多少万元？参考答案：第4年的投资额是181.44万元5.某城市公交公司计划对公交车进行更新换代，第一年更新10辆，以后每年比前一年多更新2辆。请问至少需要多少年，更新的公交车数量才能达到50辆？参考答案：至少需要20年6.某城市地铁线路计划进行改造，第一年计划新建线路长度为10公里，以后每年比前一年多新建5公里。请问第6年的新建线路长度是多少公里？参考答案：第6年的新建线路长度是55公里7.一个工厂生产某种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产20%。请问至少需要多少年，产量才能超过2000件？参考答案：至少需要7年8.某城市自来水公司计划对居民用水进行阶梯式水价调整，第一年每立方米水价调价为2元，以后每年比前一年再调价1元。请问第5年的每立方米水价是多少元？参考答案：第5年的每立方米水价是7元标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由S_n=n^2+n可得a_5=S_5-S_4=(5^2+5)-(4^2+4)=30。故选B。2.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。由a_3+a_7=12可得2a_1+8d=12，代入d=2可得2a_1+16=12，解得a_1=-2。故选C。3.参考答案：D解析：本题考查等比数列的性质。由b_2=6，b_4=54可得q^2=9，解得q=3。故b_3=b_2q=63=18。故选D。4.参考答案：A解析：本题考查等比数列的求和。由c_n=(-1)^(n+1)(n+1)/n可得c_1=2，c_2=-3/2，c_3=4/3，...，c_10=-11/10。故c_1+c_2+...+c_10=5。故选A。5.参考答案：B解析：本题考查等比数列的求和。由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)。故a_4=2^3=8。故选B。6.参考答案：D解析：本题考查等差数列的性质。由a_5=10，a_10=25可得2d=15-10=5，解得d=5/2。故a_15=a_10+5d=25+55/2=45。故选D。7.参考答案：C解析：本题考查等比数列的性质。由e_1=2，e_3=8可得q^2=4，解得q=2。故e_5=e_3q^2=84=32。故选C。8.参考答案：A解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由S_n=n(n+1)/2可得a_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n。故f_6=6。故选A。9.参考答案：C解析：本题考查等差数列的性质。由a_1+a_2+...+a_9=45可得9a_5=45，解得a_5=5。故选C。10.参考答案：B解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由g_n=n(n+1)/2可得g_n=n^2/2+n/2。故g_1+g_2+...+g_10=(1^2+2^2+...+10^2)/2+(1+2+...+10)/2=385/2+55/2=285。故选B。二、填空题1.参考答案：19解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_3=5,a_7=11，可得4d=6，解得d=3/2。则a_10=a_7+3d=11+3×(3/2)=19。2.参考答案：18解析：本题考查等差数列的求和公式。由S_n=n^2+2n，可得b_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。则b_5=2×5+1=11。3.参考答案：24解析：本题考查等比数列的通项公式。由c_2=6,c_4=54，可得q^2=9，解得q=3。则c_3=c_2×q=6×3=18。4.参考答案：n^2解析：本题考查等差数列的求和公式。由d_n=2n-1，可得S_n=n×(a_1+a_n)/2=n×(1+(2n-1))/2=n^2。5.参考答案：29解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_1=2,d=3，可得a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1。则a_10=3×10-1=29。6.参考答案：9解析：本题考查等比数列的通项公式。由b_1=3,b_3=27，可得q^2=9，解得q=3。则b_2=b_1×q=3×3=9。7.参考答案：c_n=n(n+1)解析：本题考查数列的通项公式。由c_n=n(n+1)，直接给出通项公式。8.参考答案：8解析：本题考查等差数列的性质。由a_4+a_6=16，可得2a_5=16，解得a_5=8。9.参考答案：8解析：本题考查等比数列的求和公式。由S_n=2^n-1，可得d_4=S_4-S_3=(2^4-1)-(2^3-1)=8。10.参考答案：48解析：本题考查等比数列的通项公式。由b_3=12,b_5=96，可得q^2=8，解得q=2√2。则b_4=b_3×q=12×2√2=24√2。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列性质〉。等差数列中a_3+a_7=a_1+2d+a_1+6d=2a_1+8d=12。由此可得a_1+4d=6，但这只是数列中第5项的值，无法确定公差d的具体数值。例如，若a_1=2，d=1，则a_5=6；若a_1=10，d=-2，则a_5=6。因此公差d不一定为3。2.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列性质〉。等比数列中b_4/b_2=q^(4-2)=q^2，由b_4=24,b_2=6，可得q^2=24/6=4，解得q=±2。由于题目未限制q的符号，q=2或q=-2均满足条件，但无论q为何值，该数列的公比q必定为2的绝对值，即q=2。3.参考答案：×解析：本题考查〈数列求和〉。数列{c_n}的前5项分别为c_1=1,c_2=-2,c_3=3,c_4=-4,c_5=5。则S_5=1-2+3-4+5=3≠0。4.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列通项公式求解〉。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25。联立两式解得a_1=2,d=3/4。因此通项公式为a_n=2+(n-1)×(3/4)=5/4n-1/4=5n-5/4。但题目要求通项公式为a_n=5n-5，这需要a_1=0，d=5。由a_5=a_1+4d=10，可得0+4d=10，解得d=5/2。此时a_n=a_1+(n-1)d=0+(n-1)×(5/2)=5/2n-5/2=5n-5。因此原命题正确。5.参考答案：×解析：本题考查〈数列求和与性质判断〉。数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1。当n=1时，S_1=2^1-1=1。若该数列是等比数列，设首项为b_1，公比为q，则S_1=b_1=b_1/(1-q)。由b_1=1，可得1=1/(1-q)，解得q=0。但公比q=0时，数列所有项均为0，这与S_n=2^n-1矛盾。因此该数列不是等比数列。6.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列性质〉。等比数列中q^(4-2)=q^2=e_4/e_2=54/6=9，解得q=±3。由于题目未限制q的符号，q=3或q=-3均满足条件，但无论q为何值，该数列的公比q的绝对值必定为3。7.参考答案：√解析：本题考查〈数列求和与性质判断〉。数列{f_n}的通项公式为f_n=n(n+1)/2=n^2/2+n/2。这是一个二次函数与一次函数的线性组合，其前n项和S_n是关于n的三次函数。具体计算S_n=Σ[n(n+1)/2]fromn=1ton=N=(1/2)Σ[n^2+n]=(1/2)[(N(N+1)(2N+1))/6+N(N+1)/2]=(1/2)[(N(N+1)(2N+1))/6+N(N+1)/2]=(1/2)[(N(N+1)(2N+1))/6+3N(N+1)/6]=(1/2)[(N(N+1)(2N+1)+3N(N+1))/6]=(1/2)[N(N+1)(2N+1+3)/6]=(1/2)[N(N+1)(2N+4)/6]=(1/2)[N(N+1)(N+2)/3]=N(N+1)(N+2)/6。因此原命题正确。8.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列通项公式求解〉。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得a_10=a_1+9d=2+9×3=2+27=29。因此原命题正确。9.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列通项公式求解〉。由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，可得b_3=b_1q^2=27。由b_1=3，可得3q^2=27，解得q^2=9，q=±3。若q=3，则b_n=33^(n-1)=3^n。若q=-3，则b_n=3(-3)^(n-1)=3(-1)^(n-1)3^(n-1)=(-1)^(n-1)3^n。由于题目未限制q的符号，b_n=3^n或b_n=(-1)^(n-1)3^n均满足条件。但无论q为何值，该数列的通项公式形式必为b_n=3^n的某种形式。因此原命题正确。10.参考答案：√解析：本题考查〈数列求和与性质判断〉。数列{c_n}的通项公式为c_n=n(n+1)/2=n^2/2+n/2。这是一个二次函数与一次函数的线性组合，其前n项和S_n是关于n的三次函数。具体计算S_n=Σ[n(n+1)/2]fromn=1ton=N=(1/2)Σ[n^2+n]=(1/2)[(N(N+1)(2N+1))/6+N(N+1)/2]=(1/2)[(N(N+1)(2N+1))/6+3N(N+1)/6]=(1/2)[N(N+1)(2N+1+3)/6]=(1/2)[N(N+1)(2N+4)/6]=(1/2)[N(N+1)(N+2)/3]=N(N+1)(N+2)/6。这是一个等差数列的前n项和的形式，因此该数列是等差数列。四、简答题1.参考答案：a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，故a_n=6n-5解析：本题考查“由数列前n项和求通项公式”。首先利用S_n-S_{n-1}求出n≥2时的通项公式a_n=6n-5。然后验证n=1时是否符合该公式，a_1=1，与6×1-5=1相符，故通项公式为a_n=6n-5。常见错误是忽略验证n=1的情况。2.参考答案：d=(b_3-b_1)/(3-1)=(11-5)/2=3，b_n=b_1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2，S_10=10/2×(b_1+b_10)=5×(5+32)=185解析：本题考查“等差数列通项公式与前n项和公式”。先求公差d=(b_3-b_1)/(3-1)=3。再利用通项公式b_n=b_1+(n-1)d求出b_n=3n+2。最后利用前n项和公式S_n=n/2×(b_1+b_n)求出S_10=185。干扰项设计：A.b_n=2n+8B.b_n=3n-2C.S_10=180D.S_10=190。其中A选项错误在于b_1=5，B选项错误在于b_3=11，C选项错误在于计算错误，D选项错误在于计算错误。排除理由：A选项b_1=5不成立，B选项b_3=11不成立，C选项5/2×(5+31)=90≠180，D选项5/2×(5+34)=95≠190。3.参考答案：q=c_4/c_2=54/6=9，c_n=c_1q^(n-1)=c_19^(n-1)，又c_2=c_1q=c_19=6，故c_1=2/3，c_n=(2/3)9^(n-1)解析：本题考查“等比数列通项公式”。先求公比q=c_4/c_2=9。再利用通项公式c_n=c_1q^(n-1)求出c_n=(2/3)9^(n-1)。其中c_1=c_2/q=6/9=2/3。干扰项设计：A.c_n=29^(n-1)B.c_n=(2/3)3^(n-1)C.c_n=39^(n-1)D.c_n=(3/2)9^(n-1)。其中A选项错误在于c_1=2，B选项错误在于q=3，C选项错误在于c_1=3，D选项错误在于c_1=3/2。排除理由：A选项c_1=c_2/q=6/9=2/3≠2，B选项q=9，C选项c_1=6/9=2/3≠3，D选项c_1=6/9=2/3≠3/2。4.参考答案：S_n=1/2×[n(n+1)]=n(n+1)/2解析：本题考查“等差数列前n项和公式”。数列{d_n}的通项公式d_n=n(n+1)/2可以看作是等差数列{n^2}与{n}的线性组合，但更简单的方法是直接利用求和公式S_n=1/2×[n(n+1)]。该公式是等差数列前n项和公式的推广形式，适用于形如n(n+1)/2的数列求和。干扰项设计：A.n(n+1)/4B.n(n+1)/3C.n^2(n+1)/2D.n(n+1)。其中A选项错误在于系数错误，B选项错误在于系数错误，C选项错误在于指数错误，D选项错误在于缺少系数。排除理由：A选项系数为1/4≠1/2，B选项系数为1/3≠1/2，C选项n^2(n+1)/2=n^3+n^2/2，与原式不符，D选项缺少系数1/2。5.参考答案：d=(a_10-a_5)/(10-5)=(25-10)/5=3解析：本题考查“等差数列中项性质”。利用等差数列中项性质a_5+a_10=2a_7.5，但更直接的方法是利用通项公式a_n=a_1+(n-1)d。由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，故d=3。干扰项设计：A.d=2B.d=4C.d=5D.d=6。其中A选项错误，B选项错误，C选项错误，D选项错误。排除理由：A选项计算错误，B选项计算错误，C选项计算错误，D选项计算错误。6.参考答案：q=c_4/c_2=54/6=9，c_n=c_1q^(n-1)=c_19^(n-1)，又c_2=c_1q=c_19=6，故c_1=2/3，S_5=c_1(q^5-1)/(q-1)=(2/3)(9^5-1)/(9-1)=4380解析：本题考查“等比数列前n项和公式”。先求公比q=c_4/c_2=9。再利用通项公式c_n=c_1q^(n-1)求出c_n=(2/3)9^(n-1)。其中c_1=c_2/q=6/9=2/3。最后利用前n项和公式S_n=c_1(q^n-1)/(q-1)求出S_5=4380。干扰项设计：A.S_5=4379B.S_5=4381C.S_5=4382D.S_5=4383。其中A选项错误，B选项错误，C选项错误，D选项错误。排除理由：A选项计算错误，B选项计算错误，C选项计算错误，D选项计算错误。7.参考答案：S_6=1-2+3-4+5-6=-3解析：本题考查“数列求和”。数列{c_n}的前6项为1,-2,3,-4,5,-6，求和S_6=1-2+3-4+5-6=-3。干扰项设计：A.S_6=3B.S_6=-2C.S_6=-4D.S_6=-5。其中A选项错误，B选项错误，C选项错误，D选项错误。排除理由：A选项计算错误，B选项计算错误，C选项计算错误，D选项计算错误。8.参考答案：S_n=n/2×(a_1+a_n)=n/2×(1+1+(n-1)×2)=n/2×(2n)=n^2解析：本题考查“等差数列前n项和公式”。利用前n项和公式S_n=n/2×(a_1+a_n)，其中a_1=1，a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。代入公式得S_n=n/2×(1+2n-1)=n/2×2n=n^2。干扰项设计：A.S_n=n(n+1)B.S_n=n^2+nC.S_n=n^2-nD.S_n=n^2+2n。其中A选项错误，B选项错误，C选项错误，D选项错误。排除理由：A选项系数错误，B选项计算错误，C选项计算错误，D选项计算错误。五、应用题1.参考答案：至少需要5年解析：本题考查等差数列的前n项和公式。设需要n年，则新建线路总长度为10+(10+5)+(10+2×5)+...+[10+(n-1)×5]。根据等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_1=10，a_n=10+(n-1)×5=10+5n-5=5n+5，代入公式得S_n=n(10+5n+5)/2=n(5n+15)/2。要使S_n100，解不等式n(5n+15)/2100，化简得5n^2+15n-2000，解得n5或n-8，由于n必须是正整数，所以n5。因此至少需要6年，但题目问至少需要多少年，所以取n=5，此时S_5=5(5×5+15)/2=5×40/2=100，不满足条件，所以需要n=6，此时S_6=6(5×6+15)/2=6×45/2=135100。因此至少需要6年。2.参考答案：第5年的产量是1408件解析：本题考查等比数列的通项公式。设第n年的产量为a_n，则{a_n}是等比数列，首项a_1=1000，公比q=1+20%=1.2。根据等比数列的通项公式a_n=a_1q^(n-1)，代入a_1=1000，q=1.2，n=5，得a_5=1000×1.2^(5-1)=1000×1.2^4=1000×2.0736=2073.6，由于产量必须是整数，所以四舍五入得a_5=2074。但题目要求精确计算，所以保留小数点后一位，即a_5=2073.6。3.参考答案：至少需要8年解析：本题考查等差数列的前n项和公式。设需要n年，则每立方米水价构成等差数列，首项a_1=2，公差d=1。根据等