苏科版数学 8.3 多项式乘多项式 同步练习 含答案

8.3多项式乘多项式（六大题型提分练）题型一根据多项式乘多项式的法则计算1．下列各式计算正确的是（

）A．2a+1a−1=2aC．1−2aa−1=−2a2．若n为整数，则代数式3n+3n+3+3的值一定可以（A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除3．已知一个多项式除以2x2−3，得到的结果是7x−4A．14x3−8C．−10x3+44．【阅读材料】代数式大小的比较我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M−N，若M−N>0，则M>N；若M−N<0，则M<N；若M−N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为M−N=2x+3−2x+1=2>0，所以【解决问题】若M=x−3x−4，N=x−1x−6，则M与A．M>N B．M=N C．M<N D．由x的取值而定5．已知等式：xy−1+=y−1x+3，若括号内所填的式子记为6．方程x−4x+3+2+x7．在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：a⊗b=ax+2bbx−a，则1⊗2经过运算可化简为8．计算：(1)2m+n7m−6n；(2)2x−49．【类比思想】观察——计算——猜想——归纳：(1)填空：① x+2x+3② x−2x−3③x−2x+3=④ x+2(2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_______________________；语言归纳：含相同字母，且字母系数为1的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____．(3)根据规律直接写出结果：t+2t+1=_______________；10．观察以下等式：x+1x+3x+6……(1)按以上等式的规律，填空：①x+10x②a+ba(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简：x+yx题型二多项式乘多项式的化简求值1．若a2−3a−1=0，则a+2a−5A．−11 B．9 C．−9 D．不确定2．已知x−y=7，xy=5，则(x+1)(y−1)的值为A．1 B．3 C．−1 D．−33．计算：1−2−3−⋅⋅⋅−2023×2+3+⋅⋅⋅+2024−A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．已知m+n=12mn，则m−25．如果5−a6+a=50，那么a26．已知“!”是一种数学运算符号：n为正整数，n!=n×n−1×n−2×…×2×1，如1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1.若n!7．先化简，再求值：(1)(3x+1)(2x−3)−(6x−5)(x−4)，其中x=−2；(2)(2x−y)(x+y)−2x(−2x+3y)+6x(−x−52y)8．化简求值：x+23x−1−2xx+29．若x+y=3，且x+2y+2(1)求xy的值；(2)求x−1y−110．小聪在做题目“当x=−12016时，求代数式2题型三根据展开式特点求字母的值1．如果x−33x+5=ax2+bx+cA．a=3,b=−9,c=−15 B．a=3,b=5,c=−15C．a=3,b=−4,c=−15 D．a=1,b=−4,c=−152．若2x−mx+1的运算结果是关于x的二次二项式，则m的值等于（

A．−2或0 B．2或0 C．−2或2 D．2或−2或03．若多项式x2−x−ax+2b−2的值与xA．a=1,b=1 B．a=2b C．b=2a D．a=−2b4．已知x2+mx+nx2−2x−3的乘积中不含x3与x2A．m=2,n=7 B．m=2,n=−3 C．m=3,n=7 D．m=3,n=45．已知2x−2ax+b=4x2−46．已知代数式mx2+2xx2+3nx+2积是一个关于x7．已知关于x的二次三项式2x2+7x+n有一个因式为x+5，则n8．小林计算x+ayx+by（其中a,b是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式x2−cy2（c9．明明在做化简(3x+k)(2x+2)−6x(x−3)+6x+11，并求x=2时的值这一题时，错将x=2看成了x=−2．但结果却和正确答案一样，由此你能推算出k的值吗?10．小明和小军两人共同计算一道整式乘法题：2x+a⋅3x+b，由于小明错把a前的加号抄成减号，得到的结果为6x2−13x+6题型四多项式乘多项式与图形面积问题1．根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+A．(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3C．(b+3a)(b+a)=b2+4ab+32．如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（

）A．(m+a)(m−b)=m2+(a−b)m−abC．(m−a)(m−b)=m2−(a−b)m+ab3．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：

①2a+b②2a③m④2am+an+bm+bn你认为其中正确的有（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④4．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式：．

5．数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式a+b2=a2+2ab+6．如图，将两张边长分别为a和ba>b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m−n=3时，

7．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．(2)小明想用类似方法解释多项式乘法a+3b2a+b=2a2+7ab+3b2(3)如果要拼成一个长为(3a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要1号卡片张．8．聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．(1)请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；(2)如果a=10，b=6，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．9．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．(1)通过计算小正方形面积，可推出x+y2，xy，x−y(2)利用（1）中的结论，试求：当x−300200−x=1996时，求10．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：a+b2(1)由图2，可得等式：___________________；(2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为4a+b和5a+3b的长方形，则需要用到C型纸片______张；(3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c+d=14,(a+b)(c+d)+ab+cd=71，求a2题型五多项式乘多项式法则的实际应用1．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（

）A．4x3−12xC．4x2+12x+82．学校计划在一块长a米，宽b米的矩形荒地上，建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（

）A．aB．bC．a−xD．a−x3．王大爷承包一长方形鱼塘，原来长2x米，宽为x米，现在要把四周向外扩展y米，那么这个鱼塘的面积增加（

）A．x2+3xy+2y2平方米C．3xy+y2平方米 D．4．如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（

）A．a2+4ab+b2 B．a2+5．若一辆汽车每小时行驶(m+2n)千米，则以此速度行驶2(m−n)小时的路程为千米．6．如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张．已知操场长宽分别为5a+3b和2a+7b．则需要用到C7．A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材A，B面积分别为S1，S2，请比较S1，S8．2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含x的代数式表示）9．如图，某校内有一块长为2a+3bm、宽为2a−bm的长方形空地，该校计划将其规划为劳动基地，为此举行了“劳动基地”方案征集活动，其中阳光小组的设计方案是4块边长均为(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）(2)若a=10，b=5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．10．小芳的窗户是一个长方形的窗户，如图所示，其上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相等），长是5a+b，宽是8a−4b．（π取3）

(1)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？(2)当a=12米，题型六利用多项式乘法解决规律探究性问题1．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．例：求前n个正整数之和的平方1+2+3+⋅⋅⋅+n2n>0第一步：若小正方形的边长为1个单位长度，则12、1+22、1+2+32第二步：通过观察，上述各式的值还可以用若干个正方形的面积之和来表示；第三步：根据规律可得到1+2+3+⋅⋅⋅+n2=（A．13+2C．1+22+2．将三项式展开，得到下列等式：aaaa…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数，则关于x的多项式a2+ax−3x2+x+1A．15a2+a−1C．15a2+2a+33．观察下列各式的规律：a−ba+ba−baa−ba……根据以上规律，可得到(a−b)a20224．请仔细观察下列等式并解决问题．1×2×3×4+1=12×3×4×5+1=23×4×5×6+1=34×5×6×7+1=4(1)推测：5×6×7×8+1=__________．(2)猜想：n×n+15．在日历上，我们可以发现其中某些数据满足一定的规律．如图，我们任意选择包含四个数的小方框，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如，9×15−8×16=7，25×19−18×26=7；(1)请用含有n的式子表示上述规律，并说明在右图中n的取值范围：(2)证明你的结论．6．观察以下等式：第1个等式：32第2个等式：52第3个等式：72第4个等式：92按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：________________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．7．小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：38×32=1216，43×47=2021，54×56=3024，65×65=4225……(1)利用发现的规律计算71×79=______．(2)根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______；用含m、n的等式表示以上两位数相乘的规律______；(3)请用所学知识证明②中的规律．8．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a+b)n（n例如：(a+b)0=1，它只有一项，系数为(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1根据以上规律，解答下列问题：(1)(a+b)5(2)求(2a−1)5(3)利用表中规律计算：25(4)设(x+1)17=a1．我们在学习多项式乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（

）A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想2．已知多项式A是8次多项式，多项式B是3次多项式，则A⋅B的次数是（

）A．24次多项式 B．不高于11次的多项式C．11次多项式 D．无法确定3．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x−2y错抄成除以x−2y，结果得到3x−y，则正确的结果是（）A．3x2−7xy+2C．3x3−134．符号abcd叫做二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad−bcA．−2x−7 B．−1 C．2x−1 D．−8x−85．在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算2x+3y−42x+ay+b得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，请你分析并求出a−bA．1 B．7 C．−7 D．−16．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a+1b+1的值为（

A．20 B．18 C．16 D．147．通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的等式为（

）A．aa−2b=a2−2abC．−a+ba−b=a28．若多项式2x2+kx−14是由整式x−2与另一个整式2x+m相乘得到的，则kA．3 B．4 C．5 D．69．如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张a≠b，如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则下面选取方案不正确的是（

）A．5张A类卡片，6张C类卡片，1张B B．4张A类卡片，6张C类卡片，2张BC．1张A类卡片，6张C类卡片，5张B D．1张A类卡片，7张C类卡片，4张B10．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．①将多项式(a②将多项式(a③将多项式(a2+2a+1)④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．311．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以x−2y错抄成除以x−2y，结果得到(3x−y)，则该多项式是．12．若(2x−1)(x−2)=ax2+bx+c，则a+b+c=，13．若关于x的多项式3x−m与x2−nx+4的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，则m+n的值为14．我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如a+b2=a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．那么，能利用图2的面积进行验证的含x15．小宁同学用x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张邻边长分别为a、b的长方形纸片，拼出了邻边长分别为9a+b、6a+3b的大长方形，那么小宁原来共有纸片_______张．16．在计算x+yx−3y−mynx−y（m、n均为常数）的值，在把x、y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于4，细心的小红把正确的x、y的值代入计算，结果恰好也是4，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2024，结果竟然还是4，根据以上情况，探究其中的奥妙，计算17．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割成7小块.除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为ycm，要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y

18．关于x的二次三项式M=2x2+ax+b，关于x的三次三项式N=3x①当多项式M⋅N乘积不含x3时，则5a=3b②当M能被2x+1整除时，a−2b=1；③c−d+e=2；19．在计算x+ax+b时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙把a错看成−a(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算x+ax−b20．观察下列关于自然数的等式：2×4−13×5−24×6−35×7−4…根据上述等式的规律，解答下列问题．(1)若等式8×10−a2+1=b（a，b是自然数）满足以上规律，则a=(2)写出第n个等式（用含n的代数式表示），并证明其正确性．21．如图，某学校的广场上有一块长为3a+b米，宽为2a+b米的长方形地块．中间有一块边长为2a米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：(1)绿化的面积S是多少？(2)若a，b使代数式ax−6x+b−3x2的值与22．以下关于x的各个多项式，m,n均为常数.(1)已知(x+3)(x2+mx+n)(2)已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5)，且m+n=11，试求m，23．图①、图②是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为x+a，宽为x+b．(1)根据图①、图②的特征用不同的方法表示长方形的面积：图①的面积=______，图②的面积=______=______．由此可以发现关于字母x的两个一次多项式（一次项系数为1）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________；(2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算：①x+4x+5②x+3x−2③x−6x−124．阅读下列材料并解答问题：通过学习，我们知道可以用图1中图形的面积来解释公式a+b2=a2+2ab+(1)请写出图3表示的代数恒等式为；(2)试画出一个几何图形，可以用图形的面积解释恒等式：2aa+3b(3)请仿照上述方法另写一个含a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．代数恒等式为：．25．定义：LA是多项式A化简后的项数，例如多项式A=x2+2x−3，则LA=3，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C=A×B），如果LA≤LC≤LA(1)若A=x−2，B=x+3，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由；(2)若A=x−2，B=x2+ax+4是关于x的多项式，且B是A(3)若A=x2−x+3m，B=x2+x+m是关于x的多项式，且26．阅读下列材料，完成相应的任务：我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算．如：3x用如下列竖式的方法计算：3如果是多项式3x2+5x+2（1）先把多项式3x2+5x+2与2x+3（2）用多项式2x+3中的常数项3去乘多项式3x2+5x+2（3）再用多项式2x+3中的一次项2x去乘多项式3x2+5x+2的每一项，把所得结果6（4）最后把两次乘得的结果6x3+10x23（5）写出结果：3x任务一：材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）；A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想任务二：请你用列竖式方法计算：2x任务三：若多项式2x2+px+12与x+4相乘的结果中不含x

8.3多项式乘多项式（六大题型提分练）题型一根据多项式乘多项式的法则计算1．下列各式计算正确的是（

）A．2a+1a−1=2aC．1−2aa−1=−2a【答案】C【解析】解：A．2a+1a−1B．3a+ba−2bC．1−2aa−1D．3a+12a+1故选：C．2．若n为整数，则代数式3n+3n+3+3的值一定可以（A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除【答案】B【解析】解：3n+3=3=3=3n∴该代数式的值一定可以被3整除，故选：B．3．已知一个多项式除以2x2−3，得到的结果是7x−4A．14x3−8C．−10x3+4【答案】B【解析】解：∵设此多项式为m，则由题意得m÷2∴m==14x故选：B．4．【阅读材料】代数式大小的比较我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M−N，若M−N>0，则M>N；若M−N<0，则M<N；若M−N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为M−N=2x+3−2x+1=2>0，所以【解决问题】若M=x−3x−4，N=x−1x−6，则M与A．M>N B．M=N C．M<N D．由x的取值而定【答案】A【解析】解：由题意知，M−N==x∴M>N，故选：A．5．已知等式：xy−1+=y−1x+3，若括号内所填的式子记为【解析】解：A==xy+3y−x−3−xy+x=3y−3．故答案为：3y−3．6．方程x−4x+3+2+x【解析】解：x−4x+3去括号得：x2移项，合并同类项得：−x=12，即x=−12．故答案为：−12．7．在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：a⊗b=ax+2bbx−a，则1⊗2经过运算可化简为【解析】解：∵a⊗b=(ax+2b)(bx−a)，∴1⊗2=(x+2×2)(2x−1)=(x+4)(2x−1)=2=2x故答案为：2x8．计算：(1)2m+n7m−6n；(2)2x−4【解析】（1）解：2m+n=14=14m（2）解：2x−4=−6=−6x9．【类比思想】观察——计算——猜想——归纳：(1)填空：① x+2x+3② x−2x−3③x−2x+3=④ x+2(2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_______________________；语言归纳：含相同字母，且字母系数为1的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____．(3)根据规律直接写出结果：t+2t+1=_______________；【解析】（1）解：①x+2x+3②x−2x−3③x−2x+3④x+2x−3（2）归纳总结：式子表示：x+px+q语言归纳：含相同字母，且字母系数为1的两个一次二项式的积是二次三项式，其中积的二次项的系数为1，一次项的系数为二项式中常数项的和，常数项为二项式中常数项的积．（3）t+2t+1=t10．观察以下等式：x+1x+3x+6……(1)按以上等式的规律，填空：①x+10x②a+ba(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简：x+yx【解析】（1）解：①x+10②a+ba2−ab+故答案为：x3+10（2）解：a+b==a（3）解：x+y====−26y题型二多项式乘多项式的化简求值1．若a2−3a−1=0，则a+2a−5A．−11 B．9 C．−9 D．不确定【答案】C【解析】解：∵a2∴a2∴a+2==1−10=−9，故选：C．2．已知x−y=7，xy=5，则(x+1)(y−1)的值为A．1 B．3 C．−1 D．−3【答案】D【解析】解：∵x−y=7，xy=5，∴x+1y−1故选：D．3．计算：1−2−3−⋅⋅⋅−2023×2+3+⋅⋅⋅+2024−A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】D【解析】解：设2+3+⋯+2024=x，1−2−3−⋯−2023=y，∴x+y=2025，∴1−2−3−⋯−2022=xy−=xy−=xy−xy+2024y+2024x−=2024=2024×2025−=2024×=2024，故选：D．4．已知m+n=12mn，则m−2【解析】解：∵m+n=1∴m−2=mn−2=mn−2×=4，故答案为：4．5．如果5−a6+a=50，那么a2【解析】解：∵5−a∴a∴a故答案为：−19．6．已知“!”是一种数学运算符号：n为正整数，n!=n×n−1×n−2×…×2×1，如1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1.若n!【解析】解：∵n!∴n则nn−1解得：n=10或n=−9(不符合题意，舍去)，故答案为：10．7．先化简，再求值：(1)(3x+1)(2x−3)−(6x−5)(x−4)，其中x=−2；(2)(2x−y)(x+y)−2x(−2x+3y)+6x(−x−52y)【解析】（1）解：(3x+1)(2x−3)−(6x−5)(x−4)=6=22x−23，当x=−2时，原式=−44−23=−67；（2）解：(2x−y)(x+y)−2x(−2x+3y)+6x=2=−20xy−y当x=1，原式=−20×1×2−28．化简求值：x+23x−1−2xx+2【解析】解：x+2=3=x∵x∴x∴原式=4−2=2．9．若x+y=3，且x+2y+2(1)求xy的值；(2)求x−1y−1【解析】（1）解：由x+2y+2得xy+2x+2y+4=12，则xy+2x+y=8，而于是xy+2×3=8，所以xy=2；（2）解：x−1y−1因为x+y=3，xy=2，所以原式=2−3+1=0．10．小聪在做题目“当x=−12016时，求代数式2【解析】小聪的说法正确，理由如下：原式=2=2=4∵结果中不含字母x，∴原式的值与x无关，故小聪的说法正确．题型三根据展开式特点求字母的值1．如果x−33x+5=ax2+bx+cA．a=3,b=−9,c=−15 B．a=3,b=5,c=−15C．a=3,b=−4,c=−15 D．a=1,b=−4,c=−15【答案】C【解析】解：∵x−3∴a=3，b=−4，c=−15，故选：C．2．若2x−mx+1的运算结果是关于x的二次二项式，则m的值等于（

A．−2或0 B．2或0 C．−2或2 D．2或−2或0【答案】B【解析】解：2x−mx+1∵运算结果是关于x的二次二项式，∴2−m=0或−m=0，解得m=2或m=0，故选：B．3．若多项式x2−x−ax+2b−2的值与xA．a=1,b=1 B．a=2b C．b=2a D．a=−2b【答案】B【解析】解：x===a−2b∵多项式x2−x−a∴a−2b=0，∴a=2b，故选：B．4．已知x2+mx+nx2−2x−3的乘积中不含x3与x2A．m=2,n=7 B．m=2,n=−3 C．m=3,n=7 D．m=3,n=4【答案】A【解析】解：∵x2且x2+mx+nx2−2x−3∴m−2=0,3+2m−n=0，∴m=2，n=7，故选：A．5．已知2x−2ax+b=4x2−4【解析】解：∵=2a=2a=4x∴2a=4，−2b=−4，2b−2a=0，解得：a=b=2，∴a+b故答案为：16．6．已知代数式mx2+2xx2+3nx+2积是一个关于x【解析】解：mx=m=m由题意得，m=0，2m+6n=1，解得m=0，n=1故答案为：167．已知关于x的二次三项式2x2+7x+n有一个因式为x+5，则n【解析】解：设另一个因式为2x+m，则2x+mx+5即2x∴10+m=7，n=5m，解得m=−3，n=−15，故答案为：−15．8．小林计算x+ayx+by（其中a,b是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式x2−cy2（c【解析】解：x+ay=由题意得，x∴a+b=0,ab=−c，∴a=−b,∴c=−ab=a∵c为不大于10的整数，∴c的值为1或4或9故答案为：1或4或9．9．明明在做化简(3x+k)(2x+2)−6x(x−3)+6x+11，并求x=2时的值这一题时，错将x=2看成了x=−2．但结果却和正确答案一样，由此你能推算出k的值吗?【解析】解：(3x+k)(2x+2)−6x(x−3)+6x+11=6=(30+2k)x+2k+11，∵代入x=2或x=−2时，结果是一样的，∴30+2k=0，解得：k=−15．10．小明和小军两人共同计算一道整式乘法题：2x+a⋅3x+b，由于小明错把a前的加号抄成减号，得到的结果为6x2−13x+6【解析】解：∵小明错把a前的加号抄成减号，得到的结果为6x∴2x−a⋅∴6x∴6x∴3a−2b=13①，∵小军由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x∴2x+a⋅∴2x∴2x∴a+2b=−1②，联立①②得3a−2b=13a+2b=−1，解得a=3∴2x+a==6=6x题型四多项式乘多项式与图形面积问题1．根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+A．(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3C．(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3【答案】A【解析】大长方形的面积为：(a+b)(a+3b)，小长方形面积之和为：ab+b∵大长方形的面积=小长方形面积之和，∴(a+3b)(a+b)=故选：A．2．如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（

）A．(m+a)(m−b)=m2+(a−b)m−abC．(m−a)(m−b)=m2−(a−b)m+ab【答案】D【解析】解：阴影部分面积可以表示为(m−a)(m−b)，也可以表示为m2∴可得代数恒等式为(m−a)(m−b)=m故选：D．3．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：

①2a+b②2a③m④2am+an+bm+bn你认为其中正确的有（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】解：最大长方形面积为2a+b=2a=m=2am+2an+bm+bn．故其中正确的有①②③．故选：C．4．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式：．

【解析】解：由图可知：m+bn+a故答案为m+bn+a5．数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式a+b2=a2+2ab+【解析】∵原几何体的体积：x3新几何体的体积：x(x+2)(x−2)，∴根据体积相等，有：x3故答案为：x36．如图，将两张边长分别为a和ba>b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m−n=3时，

【解析】如图1，S如图2，S∴S∵m−n=3∴S1故答案为：3b．7．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．(2)小明想用类似方法解释多项式乘法a+3b2a+b=2a2+7ab+3b2(3)如果要拼成一个长为(3a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要1号卡片张．【解析】（1）解：如图所示：由图可知拼成的长方形的长为(a+2b)，宽为(a+b)∴大长方形的面积=(a+b)(a+2b)∵拼成的大长方形面积为a∴大长方形的代数意义为a2+3ab+2b（2）解：1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为故根据（1）中的结论可知，需要2号卡片3张，3号卡片7张.故答案为：3,7（3）解：∵3a+ba+2b∴需要1号卡片3张．故答案为：3.8．聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．(1)请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；(2)如果a=10，b=6，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．【解析】（1）由题意得：B型卡片的长：a+b，宽为：a−b；（2）所拼成的长方形的面积为：(a+a+b)(a+a−b)=(2a+b)(2a−b)=4a当a=10，b=6时，原式=4×109．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．(1)通过计算小正方形面积，可推出x+y2，xy，x−y(2)利用（1）中的结论，试求：当x−300200−x=1996时，求【解析】（1）解：由题意得，小正方形的面积=大正方形的面积−4个长方形的面积和，∴x−y故答案为：x−y2（2）解：设A=x−300，B=200−x，∴A+B=−100，A−B=2x−500，AB=1996，∴(A−B)2∴2x−5002故2x−5002的值是201610．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：a+b2(1)由图2，可得等式：___________________；(2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为4a+b和5a+3b的长方形，则需要用到C型纸片______张；(3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c+d=14,(a+b)(c+d)+ab+cd=71，求a2【解析】（1）解：根据题意得：(a+b+c+d)故答案为：(a+b+c+d)2（2）解：(4a+b)(5a+3b)=20a∴需要用到C型纸片17张．故答案为：17；（3）解：∵(a+b+c+d)故(a+b+c+d)2∵(a+b)(c+d)+ab+cd=71，∴ac+ad+bc+bd+ab+cd=71，∴2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=71×2=142，∴a题型五多项式乘多项式法则的实际应用1．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（

）A．4x3−12xC．4x2+12x+8【答案】A【解析】解：长方体盒子的底为边长为4−2x，2−2x的长方形的面积，则长方形的体积为：4−2x2−2x故选：A．2．学校计划在一块长a米，宽b米的矩形荒地上，建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（

）A．aB．bC．a−xD．a−x【答案】D【解析】解：图1的阴影部分的面积可表示为：a−xb−x图2中的阴影部分的面积可表示为：ab−ax−bx+x∴可以验证的计算式子是a−xb−x故选：D．3．王大爷承包一长方形鱼塘，原来长2x米，宽为x米，现在要把四周向外扩展y米，那么这个鱼塘的面积增加（

）A．x2+3xy+2y2平方米C．3xy+y2平方米 D．【答案】D【解析】解：2x+2y=2=6xy+4故选：D．4．如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（

）A．a2+4ab+b2 B．a2+【答案】A【解析】解：由题意得2a+b=2=即余下的阴影部分面积是a2故选：A．5．若一辆汽车每小时行驶(m+2n)千米，则以此速度行驶2(m−n)小时的路程为千米．【解析】解：2=2=2故答案为：2m6．如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张．已知操场长宽分别为5a+3b和2a+7b．则需要用到C【解析】∵操场长宽分别为(5a+3b)和(∴操场的面积为10a∴需要10张A型地垫，21张B型地垫，41张C型地垫，即需要用到C地垫的张数为41张．故答案为：41张．7．A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材A，B面积分别为S1，S2，请比较S1，S【解析】解：由题意得：S1=(m+5)(m+1)=m∴S∵S1∴S故答案为：S18．2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含x的代数式表示）【解析】解：场馆的长为：5+x+5=10+x宽为5+3∴面积是：10+x10+=100+6x+10x+3=39．如图，某校内有一块长为2a+3bm、宽为2a−bm的长方形空地，该校计划将其规划为劳动基地，为此举行了“劳动基地”方案征集活动，其中阳光小组的设计方案是4块边长均为(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）(2)若a=10，b=5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．【解析】（1）2a+3b=4=4∴铺设的草坪的面积为4（2）解：当a=10，b=5时，4a∴预计铺设草坪所需要的费用为425×30=12750（元）．10．小芳的窗户是一个长方形的窗户，如图所示，其上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相等），长是5a+b，宽是8a−4b．（π取3）

(1)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？(2)当a=12米，【解析】（1）解：由图可得该圆半径为14窗户中能射进阳光的部分的面积就是矩形面积减去装饰物所占的面积==4===28=28a（2）解：当a=12米，窗户中能射进阳光的部分的面积是=28×1=7−7=62绿化面积S的值为52．题型六利用多项式乘法解决规律探究性问题1．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．例：求前n个正整数之和的平方1+2+3+⋅⋅⋅+n2n>0第一步：若小正方形的边长为1个单位长度，则12、1+22、1+2+32第二步：通过观察，上述各式的值还可以用若干个正方形的面积之和来表示；第三步：根据规律可得到1+2+3+⋅⋅⋅+n2=（A．13+2C．1+22+【答案】A【解析】解：根据第二步的图示，121+221+2+32⋯；∴1+2+3+⋅⋅⋅+n2故选：A．2．将三项式展开，得到下列等式：aaaa…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数，则关于x的多项式a2+ax−3x2+x+1A．15a2+a−1C．15a2+2a+3【答案】D【解析】解：由题意得，x2∴x∴x2+x+15的展开式中x8项的系数为1+10+4=15，∴a2+ax−3x2+x+15的展开式中，故选：D．3．观察下列各式的规律：a−ba+ba−baa−ba……根据以上规律，可得到(a−b)a2022【解析】解根据规律可得：a−ba故答案为：a20234．请仔细观察下列等式并解决问题．1×2×3×4+1=12×3×4×5+1=23×4×5×6+1=34×5×6×7+1=4(1)推测：5×6×7×8+1=__________．(2)猜想：n×n+1【解析】（1）解：由题目中的等式可得，5×6×7×8+1=5故答案为：412（2）猜想：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n故答案为：n2（3）证明：∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+1)][(n+2)(n+3)]+1==nn==n∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n因为左边=右边，故（2）中猜想正确．5．在日历上，我们可以发现其中某些数据满足一定的规律．如图，我们任意选择包含四个数的小方框，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如，9×15−8×16=7，25×19−18×26=7；(1)请用含有n的式子表示上述规律，并说明在右图中n的取值范围：(2)证明你的结论．【解析】（1）解：设左上角的数为n，则(n+1)(n+7)−n(n+8)=7，在图中，n的取值范围是1≤n≤23的整数，且n≠6，13，20；（2）解：∵(n+1)(n+7)−n(n+8)=n∴左边=右边，等式成立．6．观察以下等式：第1个等式：32第2个等式：52第3个等式：72第4个等式：92按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：________________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【解析】（1）解：112（2）解：第n个等式：2n+12证明：左边=4n右边=n∴左边=右边，∴等式成立．7．小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：38×32=1216，43×47=2021，54×56=3024，65×65=4225……(1)利用发现的规律计算71×79=______．(2)根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______；用含m、n的等式表示以上两位数相乘的规律______；(3)请用所学知识证明②中的规律．【解析】（1）解：38×32=100×3×3+143×47=100×4×4+154×56=100×5×5+165×65=100×66+1……，以此类推，当两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10时，这两个两位数的乘积可以表示为十位数乘以十位数加1的结果乘以100再加上个位数的乘积，∴71×79=100×7×7+1故答案为：5609；（2）解：由（1）得若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为10−n，用含m、n的等式表示以上两位数相乘的规律为10m+n10m+故答案为：10−n；10m+n10m+（3）证明：左边==100=100m右边=100m=100∴左边=右边，∴10m+n=100mm+18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a+b)n（n例如：(a+b)0=1，它只有一项，系数为(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1根据以上规律，解答下列问题：(1)(a+b)5(2)求(2a−1)5(3)利用表中规律计算：25(4)设(x+1)17=a【解析】（1）解：根据图表中的规律，可得：(a+b)5展开式共有6项，系数和为1+5+10+10+5+1=32故答案为：6，32；（2）(2a−1)5=2=32a（3）根据图表中数据的规律可以发现：25∴2（4）∵(x+1)∴当x=1时，(1+1)17当x=0时，(0+1)17∴2∴a1+故答案为：2171．我们在学习多项式乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（

）A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想【答案】A【解析】解：依题意得：这个过程体现的数学思想是化归思想，故选：A．2．已知多项式A是8次多项式，多项式B是3次多项式，则A⋅B的次数是（

）A．24次多项式 B．不高于11次的多项式C．11次多项式 D．无法确定【答案】C【解析】解：A是8次多项式，B是3次多项式，则A⋅B的次数是8+3=11，故选：C．3．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x−2y错抄成除以x−2y，结果得到3x−y，则正确的结果是（）A．3x2−7xy+2C．3x3−13【答案】C【解析】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x−2y错抄成除以x−2y，结果得到3x−y，∴原式==3=3x则正确计算结果为：3=3=3x故选：C．4．符号abcd叫做二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad−bcA．−2x−7 B．−1 C．2x−1 D．−8x−8【答案】C【解析】解：由abx−2===2x−1，故选：C．5．在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算2x+3y−42x+ay+b得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，请你分析并求出a−bA．1 B．7 C．−7 D．−1【答案】D【解析】解：(2x+3y−4)(2x+ay+b)=4=4因为这个多项式不含一次项所以3b−4a=0，2b−8=0解得a=3，b=4所以a−b=3−4=−1故选：D．6．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a+1b+1的值为（

A．20 B．18 C．16 D．14【答案】B【解析】解∶∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，∴2a+b=14，∴a+b=7，∴a+1=ab+a+b+1=10+7+1=18，故选：B．7．通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的等式为（

）A．aa−2b=a2−2abC．−a+ba−b=a2【答案】D【解析】解：由图1得：阴影部分的面积为a2由图2得：阴影部分的面积为a+ba−2b∴a2故选：D．8．若多项式2x2+kx−14是由整式x−2与另一个整式2x+m相乘得到的，则kA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：∵2x2+kx−14是由整式x−2∴x−2∴2x∴m−4=k解得：m=7，k=3，故选：A．9．如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张a≠b，如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则下面选取方案不正确的是（

）AIA．5张A类卡片，6张C类卡片，1张B B．4张A类卡片，6张C类卡片，2张BC．1张A类卡片，6张C类卡片，5张B D．1张A类卡片，7张C类卡片，4张B【答案】D【解析】解：A、因为a+b5a+b=5a2+6ab+b2，所以5张A类卡片，6张CB、因为a+b4a+2b=4a2+6ab+2b2，所以4张A类卡片，6张CC、因为a+ba+5b=a2+6ab+5b2，1张A类卡片，6张CD、因为2a+ba+3b=2a2+7ab+3b2，所以2张A类卡片，7张C类卡片，3故选：D．10．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．①将多项式(a②将多项式(a③将多项式(a2+2a+1)④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：(a2−1)(a2−1)∴(a故①错误；(a2+2a)(a2+2a)(a2+2a)∴将多项式(a2故②正确；(a2+2a+1)(a2+2a+1)(a2+2a+1)(a2+2a+1)当a=2时，a6故③正确；(a−1)第1次操作后，得(a−1)a+1(a−1)第2次操作后，得(a−1)a+1(a−1)第3次操作后，得a−1(a−1)第4次操作后，得a−1…(a−1)第n次操作后，得a−1a+1故④错误；综上，错误的有①④共2个，故选：C．11．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以x−2y错抄成除以x−2y，结果得到(3x−y)，则该多项式是．【解析】解：由题意可知该多项式为：(3x−y)⋅(x−2y)=3=3x故答案为：3x12．若(2x−1)(x−2)=ax2+bx+c，则a+b+c=，【解析】解：∵(2x−1)(x−2)=ax∴(2x−1)(x−2)=2x∴a=2，b=−5，c=2，∴a+b+c=2−5+2=−1，a−b+c=2−故答案为：−1，9．13．若关于x的多项式3x−m与x2−nx+4的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，则m+n的值为【解析】解∶3x−m=3=3x∵多项式3x−m与x2∴3n+m=0−4m=12解得m=−3n=1∴m+n=−3+1=−2，故答案为：−2．14．我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如a+b2=a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．那么，能利用图2的面积进行验证的含x【解析】解：总，是边长为x+y+z的正方形，面积为x+y+z2分，由三个小正方形和6个小长方形组成，面积为x2∴x+y+z2故答案为：x+y+z215．小宁同学用x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张邻边长分别为a、b的长方形纸片，拼出了邻边长分别为9a+b、6a+3b的大长方形，那么小宁原来共有纸片_______张．【解析】解：由题意得xa∴xa∴x=54，∴x+y+z=90，故答案为：90．16．在计算x+yx−3y−mynx−y（m、n均为常数）的值，在把x、y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于4，细心的小红把正确的x、y的值代入计算，结果恰好也是4，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2024，结果竟然还是4，根据以上情况，探究其中的奥妙，计算【解析】解：x+y==x根据已知，原式的值与y的取值无关，∴−2−mn=0，−3+m=0，∴mn=−2，故答案为：−2．17．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割成7小块.除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为ycm，要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y

【解析】解：由题意得：阴影A的面积=50−3y阴影B的面积=3yx−∴阴影A的面积−阴影B的面积=50x−100y−3xy+6y=50x−100y−3xy+6y=−3y=−3y∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，∴50−6y=0，∴y=25故答案为：25318．关于x的二次三项式M=2x2+ax+b，关于x的三次三项式N=3x①当多项式M⋅N乘积不含x3时，则5a=3b②当M能被2x+1整除时，a−2b=1；③c−d+e=2；【解析】解：①M⋅N=(2=6=6∵多项式M⋅N