苏科版数学 8.4 乘法公式 同步练习 含答案

8.4乘法公式（六大题型提分练）题型一利用乘法公式计算（Ⅰ）利用平方差公式计算1．平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2中的aA．数或单个字母 B．单项式 C．多项式 D．单项式或多项式2．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．5(3a+b)(3b−a) B．13C．(x−y)(−x+y) D．(−a−b)(a+b)3．为了运用平方差公式计算(a−b+c)(a+b−c)，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（

）A．[(a+c)−b][(a−c)+b] B．[(a−b)+c][(a+b)−c]C．[(b+c)−a][(b−c)+a] D．[a−(b−c)][a+(b−c)]4．在横线上填入适当的整式：−r−2()=5．a2+4×□是一个平方差的形式，则“□”里可以填(6．若x2+9(x+3)(x−3)=xn7．计算：(1)x−1(2)0.1−x0.1+x(3)x+y−y+x(4)2+3a3a−28．老王把一块边长为am的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少4m，另一边增加（Ⅱ）利用完全平方公式计算1．下列计算中，正确的是（

）A．−x−y2=−xC．−3x+y2=3x2．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“4a2a+9”中被墨水遮住的部分可能是（

A．6 B．±6 C．12 D．±123．若m，n是实数，则m+n2−2mA．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数4．已知多项式4x4+15．阅读理解：如果a−1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a−1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2−2a⋅1a6．计算：(1)(x+3y)2(2)(x−3)2(3)(3m−2n)27．小明说：“对于大于0的任意整数n，代数式2n+128．课本原题：当k取何值时，100x2−kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：a±b2=a2(1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征：；(2)若x2+2m−3x+49是完全平方式，则m若x2−8x+n(n为常数)是完全平方式，则n的值为(3)已知2x−a2=4x题型二利用乘法公式进行简便计算1．用完全平方公式计算79.82的值，下列变形最恰当的是（

A．(79+0.8)2 B．(80−0.2)2 C．(100−20.2)22．已知M=20182，N=2017×2019，则M与A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定3．计算2−12+122A．235+2 B．264+1 C．4．利用完全平方公式a±b2=a2±2ab+1962=1962=5．运算：10012−1004×996=6．明明写了两个算式：a=2024×2025+1，b=20242−2024×2025+20252，请你帮他判断a和b的大小：ab7．由(m+n)(m−n)=m2−n2，反过来可以得到8．利用乘法公式计算：(1)1012(2)20252(3)19.92题型三利用乘法公式求值1．已知x+y=5,x−y=2，则x2−yA．10 B．−10 C．7 D．−72．已知x−y2=20，x+y2=400，则A．95 B．190 C．210 D．3803．若a2+b2+1A．3 B．6 C．±3 D．±64．阅读理解：如果a−1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a−1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2−2a⋅1aA．8 B．6 C．4 D．25．若M=x2+y2+6x−2y+2024，则A．2014 B．2016 C．2018 D．20206．已知x2+y2=13，xy=−67．若20242−420232−48．已知40−xx−30=10，则40−x9．先化简，再求值：a+ba−b+a+b2−210．先化简，再求值，已知x2+2x−1=0，求代数式11．已知x、y，满足(x+y)2＝25，xy＝4．(1)求x2+y2的值；(2)若m＝(x﹣y)2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．12．王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0解：∵∴∴∴m+n=0，n−3=0，∴m=−3，n=3．聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．(1)若m2−2mn+n(2)若x2−4xy+5y2+2y+1=013．我们已学完全平方公式：a2x2∵(x+2)2≥0,∴−x∵−(x−1)2≤0,∴−并完成下列问题：(1)代数式x2−4x+1有最（填大或小）值，这个值=(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务．①用含x的式子表示花圃的面积；②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？14．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：(1)图2中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图2，请你写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系是(4)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AB=9，两正方形的面积S1题型四乘法公式的几何背景及应用1．如图，把一张长方形纸片沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（

）A．a+ba−b=aC．(a+b)2=a2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：(a+b)2=aA．(a−2b)(a+2b)=a2−4C．(a−b)2=a3．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，若AB=8，两正方形的面积和S1+SA．6 B．8 C．10 D．125．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为____．6．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为．7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为．8．根据整式与整式相乘，可以得到等式：x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．试利用这个等式解决以下问题：如图，△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC、AB为边向外侧作正方形．如果AC、BC、AB的长分别是a9．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1:方法2:(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m−n)2，mn(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则(a−b)2=10．（一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：c2（二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b=17，ab=60，求斜边c的值．

题型五乘法公式的实际应用1．为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加3m，另一组对边各减少3m，则所得长方形花坛的面积与原来相比（

）A．减少了9m2 B．增加了9m22．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为4dm，边框每条边的宽度为aA．16adm2 B．C．4a2dm23．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n=6，m−n=1，则S4．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是12，那么阴影部分的面积是．5．如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为x+y的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）．(1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积；(2)当x=10,y=6时，求出草坪的面积．6．如图，某小区有一块长为4a米a>1，宽为4a−2米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为2a+1米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案．(1)用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用B型绿化方案的长方形的另一边长是______米；(2)已知采用B型绿化方案比A型绿化方案的面积大，求B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了多少平方米？题型六运用乘法公式找规律1．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第n−1个正方形多几个小正方形?（

）A．n B．2n C．n+1 D．2n+12．3+132+1A．5 B．1 C．2 D．43．观察下列各个式子的规律：第1个等式：152第2个等式：252第3个等式：352第4个等式：452=……第202个等式：20252=4．我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：a+b0a+b1a+b2a+b3a+b4…你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．(1)请根据发现的规律尝试直接写出a+b5的计算结果：a+b5=i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写）ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示）1．给出下列式子：①3a+43a−4②2a③3x−y3x+y④xy−3zxy+3z其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．下列各式是完全平方式的是（）A．a2+ab+bC．x2+2xy+4y3．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（

）A．(a−2b)2=aC．(a−2b)(a+2b)=a2−44．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（

）A．a+ba−b=aC．a+b2=a5．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．（）A．a2+b2和6 B．a2+b2和56．用4张长为a、宽为ba>b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中阴影部分的面积为A，大正方形的面积为B．若a=2b，则A、B满足（

A．2A=3B B．3A=2B C．A=3B D．3A=B7．由ma+b+c=ma+mb+mc，可得a+ba2−ab+A．a+1a2+a+1C．a+3a2−3a+98．已知a2+3a−3=0，则代数式a2A．3 B．3 C．15 D．99．不论a，b为何实数，a2+b2A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数10．如果正整数x、y、z满足x2+y2+A．72 B．78 C．82 D．9311．14x+y2（12．已知a−b−c⋅M=(a−c)2−13．若x2+4y2=x+2y214．我们定义abcd=ad−bc，例如2345=2×5−3×4=10−12=−2．如果x、15．计算40492−4×2024×2025的结果是16．观察下列等式：(x−1)(x+1)=x2−1；x−1x2根据上述规律，计算3+3217．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22−12，7=18．两个边长分别为a和b(a>b)的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为S1，若如图2所示，再在图1中边长为a大正方形的左下角摆放一个边长为bb>12a的小正方形，此时阴影部分的面积为S2．若19．计算：(1)x+2yx−2y(2)(x−3)(x+3)x(3)2a+b−c−2a−c+b(4)(2x−y+z)220．已知a+b2=7，a−b2=4求21．对于任意自然数n，多项式nn+522．先化简，再求值：a−b2+a+ba−b−2aa−3b，其中23．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是_______________（请选择正确的一个）A．a2+ab=aa+b，B．a2−2ab+(2)若36x2−25(3)计算：1−124．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到(a+b)2(1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______；(2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______；(3)利用上面（2）的结论解决问题：若x+y=7,xy=6，求(x−y)2(4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、 G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a225．【知识技能】已知：a+b2=a填空：（1）①a2+b【数学理解】若x满足5−xx−2=2，求解：设5−x=a，x−2=b，则5−xx−2∴5−x2【解决问题】（2）①若x满足7−xx−3=3，则②若x满足x+12+x−3③如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形，若AB=x，AD=x+1，四边形ABCD的面积为6，求正方形AEMG，的面积．26．【知识生成】我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．(1)根据图1，可以得到等式：a+b2A．分类讨论

B．转化

C．由特殊到一般

D．数形结合(2)根据图2，可以得到等式：______；(3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______；②已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26．利用①中所得到的等式，直接写出代数式a2(4)画出一个几何图形，使它的面积能表示2a+ba+2b【知识迁移】(5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______；②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，直接写出代数式a3(6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．

8.4乘法公式（六大题型提分练）题型一利用乘法公式计算（Ⅰ）利用平方差公式计算1．平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2中的aA．数或单个字母 B．单项式 C．多项式 D．单项式或多项式【答案】D【解析】解：平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2即a，b是单项式或多项式，故选：D．2．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．5(3a+b)(3b−a) B．13C．(x−y)(−x+y) D．(−a−b)(a+b)【答案】B【解析】解：A、两个因式中，没有两项完全相同，也没有两项互为相反数，故不能用平方差公式计算；B、两个因式中，13和−13是相反数，−1C、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算；D、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算；故选：B.3．为了运用平方差公式计算(a−b+c)(a+b−c)，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（

）A．[(a+c)−b][(a−c)+b] B．[(a−b)+c][(a+b)−c]C．[(b+c)−a][(b−c)+a] D．[a−(b−c)][a+(b−c)]【答案】D【解析】解：(a−b+c)(a+b−c)=[a−(b−c)][a+(b−c)]，故选：D．4．在横线上填入适当的整式：−r−2()=【解析】解：−r2=r根据a+ba−b可知：−r−2−r+2故答案为：−r+2．5．a2+4×□是一个平方差的形式，则“□”里可以填(【解析】解：∵a2∵a∴“□”里可以填−1，故答案为：−1．6．若x2+9(x+3)(x−3)=xn【解析】解：x2则n=4，故答案为：4．7．计算：(1)x−1(2)0.1−x0.1+x(3)x+y−y+x(4)2+3a3a−2【解析】（1）x−1（2）0.1−x0.1+x（3）x+y−y+x（4）（2+3a3a−28．老王把一块边长为am的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少4m，另一边增加【解析】解：老李是吃亏了，理由如下：∵原来土地的面积为a2更改后的土地的面积为a+4a−4m2∴更改后的土地面积比原来少16m∴老李是吃亏了．（Ⅱ）利用完全平方公式计算1．下列计算中，正确的是（

）A．−x−y2=−xC．−3x+y2=3x【答案】D【解析】解：A、−x−y2B、m+2n2C、−3x+y2D、x−1故选：D．2．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“4a2a+9”中被墨水遮住的部分可能是（

A．6 B．±6 C．12 D．±12【答案】D【解析】解：由2a±32∴被墨水遮住的部分为±12，故选：D．3．若m，n是实数，则m+n2−2mA．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【答案】C【解析】解：m+n==2nm−=−=−m−n∵m，n是实数，且m−n2∴−m−n则m+n2故选：C．4．已知多项式4x4+1【解析】解：4x4x(2x所以添加的单项式可以是±4x2或故答案为：4x2或−4x5．阅读理解：如果a−1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a−1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2−2a⋅1a【解析】解：∵x2∴x−1x=2∴x2∴x2故答案为：6．6．计算：(1)(x+3y)2(2)(x−3)2(3)(3m−2n)2【解析】（1）解：(x+3y)2（2）解：(x−3)2（3）解：(3m−2n)27．小明说：“对于大于0的任意整数n，代数式2n+12【解析】解：同意小明的说法．理由如下：∵=4=8n，∴当n为大于0的任意整数时，原式一定是8的倍数．8．课本原题：当k取何值时，100x2−kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：a±b2=a2(1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征：；(2)若x2+2m−3x+49是完全平方式，则m若x2−8x+n(n为常数)是完全平方式，则n的值为(3)已知2x−a2=4x【解析】（1）解：∵完全平方公式：a±b2∴完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同，故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）（2）解：∵x∴x∴2m−3解得：m=10或−4；∵x∴x∴n=4故答案为：10或−4；16；（3）解：∵2x−a∴4x∴−4a=b，∴a=±4，∴b=−4a=±16．题型二利用乘法公式进行简便计算1．用完全平方公式计算79.82的值，下列变形最恰当的是（

A．(79+0.8)2 B．(80−0.2)2 C．(100−20.2)2【答案】B【解析】解：79.82故选：B．2．已知M=20182，N=2017×2019，则M与A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定【答案】A【解析】解：∵M=20182，∴M−N=====1，∴M>N，故选：A．3．计算2−12+122A．235+2 B．264+1 C．【答案】C【解析】解：2−1=2=2=2=2=2=2故选：C．4．利用完全平方公式a±b2=a2±2ab+1962=1962=【解析】解：19621962故答案为：200−42=2005．运算：10012−1004×996=【解析】解：1001====2001+16=2017．故答案为：2017．6．明明写了两个算式：a=2024×2025+1，b=20242−2024×2025+20252，请你帮他判断a和b的大小：ab【解析】2024=2024=2024−2025=1+2024×2025，∴b=2024∴a=b=2024×2025+1，故答案为：=．7．由(m+n)(m−n)=m2−n2，反过来可以得到【解析】解：原式==1=1故答案为：1192368．利用乘法公式计算：(1)1012(2)20252(3)19.92【解析】（1）解：原式==10001+10001=20002；（2）解：原式==2025=1；（3）解：原式=19.9+0.1=20=400．题型三利用乘法公式求值1．已知x+y=5,x−y=2，则x2−yA．10 B．−10 C．7 D．−7【答案】A【解析】解：∵x+y=5，x−y=2，∴x故选：A．2．已知x−y2=20，x+y2=400，则A．95 B．190 C．210 D．380【答案】A【解析】解：∵(x+y)2=x∴①−②得：则xy=95，故选：A．3．若a2+b2+1A．3 B．6 C．±3 D．±6【答案】B【解析】解：∵a2∴a2∴a2∴a2∵a2≥0，∴a2∴a2故选：B．4．阅读理解：如果a−1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a−1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2−2a⋅1aA．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】解：∵x2∴x−1x=2∴x2∴x2故选：B．5．若M=x2+y2A．2014 B．2016 C．2018 D．2020【答案】A【解析】解：M===x+3∵x+32∴M的最小值是2014．故选：A．6．已知x2+y2=13，xy=−6【解析】解：x−y=x当x2+yx−y2∴x−y=±5，故答案为：±5．7．若20242−420232−4【解析】解：∵20242∴2024+22024−2∴2026×2025×2022×2021=2026×2022×2021m，∴m=2025，故答案为：2025．8．已知40−xx−30=10，则40−x【解析】解：∵40−xx−30∴40−x=100−2×10=80，故答案为：80．9．先化简，再求值：a+ba−b+a+b2−2【解析】（1）解：原式=a当a=3，b＝原式=2×3×=−4．10．先化简，再求值，已知x2+2x−1=0，求代数式【解析】解：原式=4=4=5x∵x2∴x2∴原式=5=5×1−3=2．11．已知x、y，满足(x+y)2＝25，xy＝4．(1)求x2+y2的值；(2)若m＝(x﹣y)2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．【解析】（1）∵xy=4，∴(x+y)2∴x2（2）∵(x−y)2∴m=9，∴4a∴na=±(2×2a×3)=±12a，∴n=±12．12．王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0解：∵∴∴∴m+n=0，n−3=0，∴m=−3，n=3．聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．(1)若m2−2mn+n(2)若x2−4xy+5y2+2y+1=0【解析】（1）证明：∵m∴m−n∴m−n=0，∴m=n．（2）解：∵x∴x则x−2y2所以x−2y=0，y+1=0解得x=−2，y=−1．13．我们已学完全平方公式：a2x2∵(x+2)2≥0,∴−x∵−(x−1)2≤0,∴−并完成下列问题：(1)代数式x2−4x+1有最（填大或小）值，这个值=(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务．①用含x的式子表示花圃的面积；②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？【解析】（1）解：x2∵x−22∴x−22∴代数式x2−4x+1有最小值，最小值为故答案为小，−3；（2）解：①由图可得花圃的面积：x(100−2x)=(−2x②由①可知：−2x∵当x=25时，100−2x=50<100，且−2(x−25)∴当x=25时，花圃的最大面积为1250平方米．14．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：(1)图2中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图2，请你写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系是(4)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AB=9，两正方形的面积S1【解析】（1）解：根据图形可得阴影部分的正方形的边长是a−b，故答案为：a−b；（2）解：方法1：直接求阴影部分的面积，即阴影部分是边长为a−b的正方形：a−b2方法2：间接求阴影部分的面积，即阴影部分可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积：a+b2故答案为：a−b2，a+b（3）解：由（2）可得：a−b2故答案为：a−b2（4）解：设AC=a，BC=b，则a+b=9，a2∵a+b2∴2ab=a+b∴ab=15，∴12答：△ACF的面积为152题型四乘法公式的几何背景及应用1．如图，把一张长方形纸片沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（

）A．a+ba−b=aC．(a+b)2=a【答案】A【解析】解：由图①得：阴影部分面积=a+b由图②得：阴影部分面积=aa−b+b即有a+ba−b故选：A．2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：(a+b)2=aA．(a−2b)(a+2b)=a2−4C．(a−b)2=a【答案】C【解析】观察图形可得从整体来看（a−b)2等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为a和∴根据图②能得到的数学公式是：(a−b)2故选：C．3．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，∴x为4，故选：C．4．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，若AB=8，两正方形的面积和S1+SA．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】解：∵AB=8，∴AC+CB=8，∴AC+CB∴AC∵S1∴AC∴2AC⋅CB=64−40=24，∴S阴影故选：A．5．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为____．【解析】图甲中阴影部分的面积为：a2−b∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，∴∴可以验证成立的公式为a2故答案为：a26．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为．【解析】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张，∴由a+b2=a2+2ab+b2可知用1张A由a+2b2=a2+4ab+4b2可知用1张A故答案为：a+b或a+2b．7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为．【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图①得：a2∴a∴a由图②得：a+b2∴a∴2ab=18，∴a∴图②所示的大正方形的面积=a+b故答案为：40．8．根据整式与整式相乘，可以得到等式：x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．试利用这个等式解决以下问题：如图，△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC、AB为边向外侧作正方形．如果AC、BC、AB的长分别是a【解析】解：由公式得：a2∴这三个正方形的面积和是70，故答案为：70．9．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1:方法2:(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，(m−n)2，mn(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则(a−b)2=【解析】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于(m−n)；（2）解：方法一、阴影部分的面积=(m+n)方法二、阴影部分的边长=m−n；故阴影部分的面积=(m−n)（3）解：三个代数式之间的等量关系是：(m+n)2（4）解：(a−b)2故答案为：(m+n)2−4mn、(m−n)210．（一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：c2（二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b=17，ab=60，求斜边c的值．

【解析】解：（一）动手探究：（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2方法二：阴影部分也可以看作边长为a+b的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即a+b2由面积相等得a2故答案为：a2（2）中间正方形的边长为c，面积为c2，也可以看作从边长为a+b的正方形面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c化简得c2所以c2（二）知识应用：∵a+b=17，ab=60，∴c===169，∴c=13，答：斜边的长为13．题型五乘法公式的实际应用1．为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加3m，另一组对边各减少3m，则所得长方形花坛的面积与原来相比（

）A．减少了9m2 B．增加了9m2【答案】A【解析】解：设原正方形花坛的边长为am，则正方形花坛的面积为a长方形花坛的长和宽分别为a+3m则长方形花坛的面积为(a+3)(a−3)=aa2>a则所得长方形花坛的面积与原来相比减少了9m故选：A．2．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为4dm，边框每条边的宽度为aA．16adm2 B．C．4a2dm2【答案】B【解析】解：根据题意，制作边框的面积是：4+2a2故选：B．3．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n=6，m−n=1，则S【解析】解：由图可知：S1∴S1∵m+n=6，m−n=1，∴m+nm−n∴S1故答案为：6．4．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是12，那么阴影部分的面积是．【解析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∵大正方形与小正方形的面积之差是12，∴a阴影部分的面积为：12故答案为：6．5．如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为x+y的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）．(1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积；(2)当x=10,y=6时，求出草坪的面积．【解析】（1）解：S==8=8=7x答：这块草坪的面积为7x（2）当x=10,y=6时，S=7×10答：草坪的面积为940平方米．6．如图，某小区有一块长为4a米a>1，宽为4a−2米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为2a+1米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案．(1)用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用B型绿化方案的长方形的另一边长是______米；(2)已知采用B型绿化方案比A型绿化方案的面积大，求B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了多少平方米？【解析】（1）采用A绿化方案的四个正方形边长=1采用B型绿化方案的长方形的另一边长是4a−2−2a−故答案为：a−12，（2）设A型绿化方案的面积为SA，B型绿化方案的面积为S∴SA=4a−则SB答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了4a−2平方米．题型六运用乘法公式找规律1．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第n−1个正方形多几个小正方形?（

）A．n B．2n C．n+1 D．2n+1【答案】D【解析】解：由题意知，拼第1个正方形需4=1+1拼第2个正方形需9=2+1拼第3个正方形需16=3+1……∴可推导一般性规律为：拼第n个正方形需n+12∴第n−1个正方形需n−1+12∴n+12故选：D．2．3+132+1A．5 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】解：3+1=======1∵31=3，32=9，33可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，∴364∴364∴12∴12观察选项可知，只有B选项为1，故选：B．3．观察下列各个式子的规律：第1个等式：152第2个等式：252第3个等式：352第4个等式：452=……第202个等式：20252=【解析】解：根据题中规律可得452进而得出第n个等式：10n+52∴20252故答案为：100×4×5+25；100×202×203+25．4．我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：a+b0a+b1a+b2a+b3a+b4…你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．(1)请根据发现的规律尝试直接写出a+b5的计算结果：a+b5i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写）ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示）【解析】（1）解：观察所给各式可知，(a+b)1a+b2a+b3(a+b)4由此可知，(a+b)5即a+b5故答案为：a5（2）解：i）由题知，(a+b)1a+b2a+b3(a+b)4…，所以a+bn计算结果是一个n次n+1故答案为：n，n+1．ii）(a+b)1计算结果各项系数之和为2=a+b2计算结果各项系数之和为4=a+b3计算结果各项系数之和为8=(a+b)4计算结果各项系数之和为16=…，所以a+bn计算结果各项系数之和为2故答案为：2n1．给出下列式子：①3a+43a−4②2a③3x−y3x+y④xy−3zxy+3z其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①3a+43a−4②2a③3x−y3x+y④xy−3zxy+3z∴只有③④正确，故选：B．2．下列各式是完全平方式的是（）A．a2+ab+bC．x2+2xy+4y【答案】B【解析】解：A．a2B．x2C．x2D．16m故选：B．3．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（

）A．(a−2b)2=aC．(a−2b)(a+2b)=a2−4【答案】C【解析】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2拼成的长方形的面积：(a+2b)×(a−2b)，所以得出：a+2ba−2b故选：C．4．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（

）A．a+ba−b=aC．a+b2=a【答案】B【解析】解：由图形可知，图①中的阴影部分面积为a2图②中的阴影部分面积为a−b2即可以验证的数学公式是a−b2故选：B．5．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．（）A．a2+b2和6 B．a2+b2和5【答案】A【解析】解：（1）∵甲纸片的面积是a2，乙纸片的面积是b∴甲、乙纸片各1块的面积之和是a2（2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：a2+9b∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块．故选：A．6．用4张长为a、宽为ba>b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中阴影部分的面积为A，大正方形的面积为B．若a=2b，则A、B满足（

A．2A=3B B．3A=2B C．A=3B D．3A=B【答案】D【解析】解：大正方形的面积为：a+b2=a∴阴影部分的面积为：a+b2∵a=2b，∴A=4b2−∴3A=B；故选：D．7．由ma+b+c=ma+mb+mc，可得a+ba2−ab+A．a+1a2+a+1C．a+3a2−3a+9【答案】A【解析】解：A、a+1aB、2x+y4C、a+3aD、x+4yx故选：A．8．已知a2+3a−3=0，则代数式a2A．3 B．3 C．15 D．9【答案】C【解析】解：由于a2+3a=3，显然∴a−∴∴9=∴故选：C．9．不论a，b为何实数，a2+bA．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数【答案】A【解析】解：a=a−1∵a−12∴a2即：a2故选：A．10．如果正整数x、y、z满足x2+y2+A．72 B．78 C．82 D．93【答案】A【解析】解：∵x−y2≥0，y−z∴x2+y2∴x+y+z∴x+y+z2≤3×2016=6048∵x、y、z均为正整数，∴x+y+z>0，∵772=5929∴x+y+z<78，∴A选项符合题意，故选：A．11．14x+y2（【解析】解：y4故答案为：−112．已知a−b−c⋅M=(a−c)2−【解析】解：∵a−b−c⋅M=∴M=a+b−c，故答案为：a+b−c．13．若x2+4y2=x+2y2【解析】解：∵x2+4∴x2∴A=−4xy，故答案为：−4xy,4xy．14．我们定义abcd=ad−bc，例如2345=2×5−3×4=10−12=−2．如果x、【解析】解：∵x−13−y∴(x−1)∴(x−1)∴x−1=0，y−3=0，∴x=1，y=3，则x+y=4，故答案为：4．15．计算40492−4×2024×2025的结果是【解析】解：4049======1．故答案为：1．16．观察下列等式：(x−1)(x+1)=x2−1；x−1x2根据上述规律，计算3+32【解析】解：由题意可得x−1x3+===3故答案为：36417．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22−12，7=【解析】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则k+12设两个数分别为k+1和k−1，其中k≥1，且k为整数．则k+12−k−12=∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m∴4k+2=2(2k+1)=(m+n)(m−n)①∵m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，又∵(2024−1)÷3=674⋯⋯1，∴第2024个智慧数在1+674+1=676（组），并且是第1个数，即675×4+1=2701．故答案为：2701．18．两个边长分别为a和b(a>b)的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为S1，若如图2所示，再在图1中边长为a大正方形的左下角摆放一个边长为bb>12a的小正方形，此时阴影部分的面积为S2．若【解析】解：由图可得：S∴6=6(=6=6=10∵a+b=10,ab=20∴(a+b)2∴a∴原式=10(故答案为：280．19．计算：(1)x+2yx−2y(2)(x−3)(x+3)x(3)2a+b−c−2a−c+b(4)(2x−y+z)2【解析】（1）解：原式==−3（