湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高一下学期中测试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高一下学期中测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A2.设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B3.下列说法正确的是（）A.正三棱锥就是正四面体B.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱C.圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的D.七面体可以有10个顶点，5条侧棱【答案】D4.已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】D5.在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（）A.钝角三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等边三角形【答案】D6.欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（）A. B. C. D.【答案】D7.已知为的垂心，若，则（）A. B. C. D.【答案】B8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（）A.该石凳的表面积为B.该石凳的体积为C.有内切球，且内切球的体积为D.有外接球，且外接球的表面积为【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则实数的取值范围是B.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为C.复数在复平面内对应的点不可能在第二象限D.设均为复数则【答案】BD10.在中，角所对的边分别为.若，则（）A.时，外接圆周长为B.时，的面积为C.时，一定大于D.时，有两解【答案】AC11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A.圆锥的侧面积为B.圆锥的体积为C.若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为D.圆锥的外接球与内切球半径比值为【答案】ACD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.边长为1的正六边形的直观图的面积是__________.【答案】13.已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________.【答案】14.已知向量，函数，若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数满足.（1）求；（2）若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值.解：（1）设，因为，则，故.得，故.（2）因为是实系数一元二次方程的一个根，若，则也为实系数一元二次方程的一个根，故，解得，故.16.在平面直角坐标系中，，设.（1）若，求的值；（2）若与的夹角是钝角，求的取值范围.解：（1）由题意得，，则，又，所以，解得.（2），由与的夹角是钝角，可知且与不共线，由得，解得；又由与共线可得，得，故的取值范围为.17.如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重（不包含盒子的质量），取铁的密度为．（1）试问该盒中有多少个这样的零件？（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少的材料？解：（1）设等边三角形的边长为，则由三角形面积公式可得该三角形面积为，故正三棱柱的体积，正三棱台的体积，所以该零件的质量为，所以该盒中共有零件个．（2）如图，设D，分别为三棱台所在棱的中点，O，分别为三棱台上、下底面的中心，连接，OD，，．因为，所以，同理可得，所以，所以三棱台的侧面积为，所以一个零件的表面积为．因为，所以共需涂的材料．18.在锐角中，角的对边分别为.（1）求角；（2）若边中线长为，求的面积；（3）当时，的面积为，周长为，求的取值范围.解：（1）在锐角中，由，得，即，由，得，，所以.（2）由是边上的中线，得，则，而，于是，由余弦定理得，又，则，联立解得，经验证为锐角三角形，所以的面积为.（3）由正弦定理得，则，而，令，则，由锐角，得，因此，由，得，，所以的取值范围是.19.如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.（1）仿射坐标系中，为非零向量，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（请说明理由）（2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值；（3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值.解：（1）①成立，②不成立.理由如下：若，则存在非零实数满足，因此，即，所以①成立，若，可得，则，因此不成立，即②不成立.（2）在仿射坐标系中，由，可得，且，所以，，可得，，因为向