上海市宝山中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市宝山中学2025-2026学年高二下学期期中考试试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.双曲线的实轴长为_______________．【答案】62.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________．【答案】3.一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________．【答案】4.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________．【答案】5.设等差数列的前项和为，已知，则___________．【答案】2106.的展开式中的系数为_______．【答案】7.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答）【答案】968.事件、互斥，它们都不发生的概率为，且，则______．【答案】9.已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】10.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________．【答案】102411.两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛胜，后因为有其他要事中止比赛．为求公平，则应该分得___________元奖金．【答案】12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B14.8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人都不相邻的排法种数是（）A. B.C. D.【答案】A15.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（）A.恰好两件正品与恰好四件正品 B.至少三件正品与全部正品C.至少一件正品与全部次品 D.至少一件正品与至少一件次品【答案】A16.若函数满足，则称函数为延展函数，已知延展函数和函数，满足当时，，．给定以下两个命题，则（）①存在函数与有无穷多个交点；②存在函数与有无穷多个交点．A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假【答案】C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图所示正四棱锥为侧棱的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：（1）连接交于点，连接，因为正四棱锥，所以平面．故为直线与平面所成的角．在正方形中，，则对角线．．在Rt中，．，即直线与平面所成角的正弦值为.（2）以为原点，方向分别为轴．由（1）知．则．为中点，故．向量．设平面的法向量为．令，得．故．点到平面的距离：.18.（1）已知函数．求的极值；（2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围．解：（1）由函数，可得其定义域为，且，令，即，解得或．当时，，单调递增：当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得极大值，极大值为；当时，取得极小值，极小值为．（2）由函数，可得其定义域为，且，因为在上是严格减函数，所以在上恒成立，且不恒为0，即在上恒成立，即在上恒成立，又因为在上为单调递减函数，所以，可得，解得，经验证：时，仅在时取等号，符合题意，所以实数的取值范围是．19.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求a；（2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率．解：（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.（2）平均数为，所以估计该地年轻人阅读时间的平均数约为74分钟.（3）由题意，阅读时间位于的人数为人，阅读时间位于的人数为人，阅读时间位于的人数为人，则抽取的5人中位于区间有1人，位于区间有2人，位于区间有2人，则从中任选3人共有（种），其中恰有2人每天阅读时间位于的有种，故所求概率．20.已知是椭圆的左右焦点，且经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过右焦点与椭圆交于两点，且，求直线的方程．（3）若直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值．（1）解：根据题目列出方程组，解得，所以椭圆的方程为．（2）解：由（1）可知，设直线的方程为．：直线过右焦点，即直线与轴重合，与椭圆的交于两点，不满足，可得.：将直线方程代入椭圆方程，得到．所以．因为，所以，即．将代入，可得，那么．再将代入，可得，解得．所以直线的方程为，即或．（3）证明：设直线的方程为，则关于轴的对称点．将直线方程代入椭圆方程，得到．根据韦达定理可得，直线的方程为．令，可得．将代入上式，可得．把，代入上式，，可得．所以，即为定值3．21.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求k的值；（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.解：（1）因为，所以，切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为.（2），，当时，，函数