2026-2027学年内蒙古包头市第二十七中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年内蒙古包头市第二十七中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.12.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，1，0），=（0，2，1），则•等于（）A.2 B.1 C.-1 D.04.在空间四边形PABC中，=（）A. B. C. D.5.如图所示，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（）A.

B.

C.

D.6.已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ等于（）A.6 B.5 C.-5 D.-67.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.已知直线l过点（0，2），且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（）A.或

B.或

C.x-y+2=0

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（）A.每一条直线都有点斜式与斜截式方程

B.倾斜角为钝角的直线，斜率为负数

C.直线过点P0（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x0

D.方程与方程y-3=k（x+1）表示同一条直线10.已知直线l：y=kx+6k-9，则下列说法正确的是（）A.直线l恒过定点（-6，-9）

B.若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则

C.若直线l在x轴上的截距为3，则k=1

D.若，则直线l的倾斜角α的取值范围为11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，则下列说法错误的是（）

A.不存在点P，使得AP⊥CD1

B.的最小值为

C.当时，

D.当时，AD上存在点M，使得，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量，且，则mn=

.13.若直线l1：x+（1+m）y+m-2=0与l2：2mx+4y+16=0平行，则实数m的值为

．14.经过点P（-1，-2）的直线l与连接A（-3，4），B（2，2）两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，，.

（1）若，求；

（2）设，若O，A，B，C四点共面，求实数x的值.16.(本小题15分)

已知A（1，1），B（2，3），C（4，0），求（均写出一般式方程）：

（1）BC边上的中线所在的直线方程l1；

（2）过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程l2；

（3）AB边垂直平分线方程l3及点C关于l3的对称点D的坐标.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，DC=1，M是BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM.

（1）证明：DQ⊥平面PAM；

（2）求直线DQ与PA的夹角.18.(本小题17分)

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AD⊥CD，AD=AA1=CD=2AB，E，F，G分别是BC，CD，A1D1的中点.

（1）证明：B1D1∥平面EFG.

（2）求平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值.19.(本小题17分)

如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC=2，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点，点F满足.

（1）证明：BC⊥DA；

（2）求DF的长；

（3）求F到平面ABD的距离.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】AC

11.【答案】AD

12.【答案】2

13.【答案】1

14.【答案】

15.【答案】解：（1）向量，，．

由，得，解得x=1，

则，而，

∴，

∴．

（2）若O，A，B，C四点共面，则向量共面，

设，

即（x,2，2）=m（-2，-1，2）+n（-1，1，2），

∴，解得，

∴x的值是．

16.【答案】解：（1）设BC中点为E，则得，即，

则直线l1的方程为，即x-4y+3=0；

（2）当截距不为0时，依题意，可设直线，代入点B（2，3），解得a=-1，

则得-x+y=1，即x-y+1=0，

当截距为0时，直线l2过原点和点B，则其方程为，即3x-2y=0；

综上，l2的方程为3x-2y=0或x-y+1=0；

（3）AB的中点，斜率为，则其垂直平分线l3的斜率为，

故有，即2x+4y-11=0．

设C（4，0）关于l3的对称点D（x,y），则CD中点在l3上且CD⊥l3，

则，解得，，故．

17.【答案】（1）证明：因为底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，DC=1，

以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

可得D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，1，0），C（0，1，0），

因为M是BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM，所以M（1，1，0），

设Q（x,y,z），则=2，即（x,y,z-2）=2（1-x,1-y,-z），

所以，解得x=，y=，z=，即Q（，，），

则=（，，），取直线DQ的方向向量=（1，1，1），

设平面PAM的法向量为=（x'，y'，z'），

=（2，0，-2），=（1，1，-2），

则，即，取x'=1，可得=（1，1，1），

所以∥，

即⊥平面PAM，

可证得：DQ⊥平面PAM；

（2）解：由（1）可得DQ⊥平面PAM，PA⊂平面PAM，

所以DQ⊥PA，

即直线DQ与PA的夹角为．

18.【答案】解：（1）证明：连接BD．∵ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，

∴BB1∥DD1，BB1=DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1．

∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF∥BD，

∴B1D1∥EF．

∵B1D1⊄平面EFG，

∴B1D1∥平面EFG．

（2）易得DA，DC，DD1两两垂直．

以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2，则E（2，3，0），F（0，2，0），G（2，0，4），

，．

设平面EFG的法向量为，

则

取x=-2，则y=4，z=3，∴n=（-2，4，3）是平面EFG的一个法向量．

易得平面ABCD的一个法向量为，

∴平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为|cos＜＞|=．

19.【答案】解：（1）证明：连接AE，DE，由DA=DB=DC=2，∠ADB=∠ADC=60°，

得△ADC，△ADB均为等边三角形，则AC=AB=2，而E为BC的中点，

因此BC⊥DE，BC⊥AE，又AE∩DE=E，AE，DE⊂平面ADE，

则BC⊥平面ADE，又AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA．

（2）由BD⊥CD，DB=DC=2，得，而E为BC的中点，则，

由（1）得，因此DE2+AE2=AD2，即EA⊥ED，

又AE=DE，则∠DAE=45°，由，得四边形ADEF为平行四边形，

则，

=．

（3）