2026-2027学年山东省青岛第二中学高三（上）阶段练习数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省青岛第二中学高三（上）阶段练习数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据2，14，20，16，8的上四分位数为(

)A.14 B.8 C.16 D.182.复数z=1−3i1−i，则|z|=(

)A.2 B.2 C.5 3.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(0<X<1)=0.3，则P(X>2)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.已知底面直径为2的圆锥，其侧面展开图是半圆，将这个圆锥放置在球内，则球的最小表面积为(

)A.83π B.4π C.2π 5.若n∈N∗，(1+x)3+(1+x)4+(1+x)A.6 B.7 C.8 D.96.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=π3，点H是△ABC的垂心，若存在实数λ，μ使得AH=λABA.λ=19，μ=23 B.λ=29，μ=13 C.7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“b−ccosAa−ccosB=sinBsinA”是“△ABCA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.定义n×n阶矩阵a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann.设U={aA.139 B.13 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下各组函数中，表示同一函数的有(

)A.y=|x|；y=x2 B.y=log2x2；y=2log2x10.已知正方形ABCD，E是边AB的中点，将△ADE沿DE折起至△A′DE，若△A′CD为正三角形，下列说法中正确的是(

)A.DE/​/平面A′BC

B.A′E⊥A′C

C.DE与平面A′CD所成角的余弦值为255

D.二面角11.已知{an}是首项为1的等差数列，{bn}是首项为2的等比数列，满足a2，a3，b2成等差数列，b3=2a4.将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中，在bk与bk+1之间插入2k−1项{an}中的项，组成一个新数列：b1，a1，b2，a2，a3，A.an=n，bn=2n

B.T4=150

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线y29−x2=113.对函数y=sinx的图象进行以下五种变换各一次：

①向左平移1个单位长度；

②向下平移1个单位长度；

③关于x轴对称；

④曲线上各点的横坐标变为原来的12倍；

⑤曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍；

要使得变换后的解析式为y=−3sin(2x+1)−1，则不同的变换顺序有

种(用数字作答)．14.函数f(x)=12x+a+2xa⋅2x+1+2ax四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED//AB，AB=2DE=2BD=2，AC=BC，异面直线DE与AC所成角为45°，点F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段EG靠近点G的三等分点．

(1)求证：A，B，F，H四点共面；

(2)求三棱锥E−AHC的体积．16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+3c2=3b2，

(1)若sinBcosC=2317.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，点F为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|=3．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A118.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−12x2−asinx−1．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；

(2)若f(x)在(−π2,π219.(本小题17分)

某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备(第1阶段)、量子纠缠校准(第2阶段)和逻辑门操作验证(第3阶段).测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段.一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程.已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为12，12，13，且每次测试相互独立.记事件An(n≥3)为“该工程师第n次测试后芯片合格”．

(1)求P(A3)，P(A4)；

(2)记“第k(2≤k≤n−1)次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件Bk，记“第k+1至n−1次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第n次通过”为事件Ck+1，求P(B1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】y=±3x

13.【答案】20

14.【答案】{1}

15.【答案】解：(1)证明：取AB中点O，连接OC，OE，

又ED//AB，故∠BAC即为异面直线DE与AC所成角，则∠BAC=45°，则∠ACB=90°，即

AC⊥BC

又AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，

因为直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，平面ABDE∩平面ABC=AB，DB⊂平面ABDE，

故DB⊥平面ABC，又DE=OB，DE//OB，即四边形OBDE为平行四边形，故EO//DB，所以EO⊥平面ABC，

故以O为坐标原点，OC，OB，OE为x，y，z轴正方向建系，

则A(0,−1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,1)，E(0,0,1)，F(12,0,12)，G(12,12,0)，

由于GH=13GE=13(−12,−12,1)，可得H(13,13,1316.【答案】解：(1)由a2+3c2=3b2，可得2a2=3a2+3c2−3b2，

则cosB=a2+c2−b22ac=2a232ac=a3c=sinA3sinC，

即sinA=3sinCcosB，

又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=3sinCcosB，

且sinBcosC=23，所以2sinCcosB=sinBcosC=23，解得sinCcosB=117.【答案】解：(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，

则2c=2，解得c=1，

点F为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，

当l1与x轴垂直时，|MN|=3，

设M的坐标为(1,32)，

所以a2=b2+11a2+94b2=1，解得a=2，b=3，

所以椭圆C的标准方程为

x24+y23=1；

证明：(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x=1交于P，Q两点，

设l1的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x=my+1x24+y23=1，消x得(318.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=ex−12x2−sinx−1，f′(x)=ex−x−cosx，

f(0)=0，f′(0)=0，所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=0．

(2)法一：f′(x)=ex−x−acosx，若f(x)在(−π2,π2)上单调递增，则f′(x)≥0在(−π2,π2)上恒成立．

①当a≤0时，−acosx≥0在(−π2,π2)上恒成立．令y=ex−x，则y′=ex−1．

当x∈(−∞,0)时，y′=ex−1<0，y=ex−x单调递减；

当x∈(0,+∞)时，y′=ex−1>0，y=ex−x单调递增；

当x=0时，函数y=ex−x取得最小值，最小值为1，所以y=ex−x≥1，

f′(x)=ex−x−acosx≥1>0，符合题意；

②当a>0时，令F(x)=f′(x)=ex−x−acosx，

则F′(x)=ex−1+asinx．

因为F′(x)在(−π2,π2)上单调递增，F′(0)=0，所以当x∈(−π2,0)时，F′(x)<0，

当x∈(0,π2)时，F′(x)>0，F(x)=f′(x)在(−π2,0)上单调递减，在(0,π2)上单调递增．

要使得f′(x)≥0在(−π2,π2)上恒成立，

则f′(x)min=f′(0)=1−a≥0，解得a≤1，结合a>0，得0<a≤1．

综上，a的取值范围为(−∞,1]．

法二：f′(x)=ex−x−acosx.若f(x)在(−π2,π2)上单调递增，

则f′(x)≥0在(−π2,π2)上恒成立．

由f