湖南衡阳市衡阳县第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南衡阳市衡阳县第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D3.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，则内的任何直线都与平行C.若，，则D.若，，则【答案】B4.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A5.已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（）A.12 B.15 C.48 D.60【答案】C6.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（）参考数据：.A.100 B.300 C.1000 D.2000【答案】C7.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C8.已知是锐角，，则（）A. B.C. D.【答案】D二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为0C.若，，则D.若，，则【答案】ACD10.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若复数，则在复平面内对应的点在第四象限B.复数的模C.若，则或D.若复数是纯虚数，则【答案】ABD11.在中，，（）A.若，则存在两个不同的满足条件B.的外接圆面积为定值C.AB边上的高的最大值为D.为锐角三角形【答案】BCD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）12.已知幂函数的图象经过点，则___________．【答案】413.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积___________．【答案】14.已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________．【答案】四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知复数，．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．解：（1）若z是纯虚数，则，∴，则m的值为1.（2）若z在复平面内对应的点在直线上，则，解得.（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，∴，则m的取值范围为．16.已知向量，，，．（1）求；（2）若，求实数的值．（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．解：（1）因为，，，．（2），，，，解得．（3）与的夹角是钝角，，且，，且，解得且．17.如图，正三棱柱中，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长.（1）证明：连接，交于点N，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，又点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为为等边三角形，是的中点，所以，又，故，因为平面，设，则，所以，即，解得，故这个三棱柱的侧棱长为3.18.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，且．（1）求A；（2）若，求面积的最大值；（3）若，求的取值范围．解：（1）因为，所以，即，所以．因为，所以，所以，所以．因为，所以．（2）因为，所以，所以，所以，所以．因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，则的面积，即面积的最大值为，（3）由正弦定理可得，则，故．因为是锐角三角形，所以解得，所以，所以，则，即的取值范围为．19.已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）设且，，，，，函数是奇函数，所以，解得，当时，经检验是奇函数，符合题意.（2）函数是上的减函数，证明