北京朝阳外国语学校2025-2026学年第一学期九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025北京朝阳外国语学校初三（上）期中数学一、选择题（共16分，每小题2分．）1.在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.心形线B.蝴蝶曲线C.四叶玫瑰线 D.等角螺旋线2.把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.3.如下图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是()A. B. C. D.4.如图，在的内接四边形中，，则的度数是（）A.150° B.115° C.65° D.130°5.若、、，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.6.电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（）A. B.C. D.7.如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是（）A.2 B.4 C. D.8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟二、填空题（共16分，每小题2分．）9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________．10.圆心角为，半径为3的扇形的面积为______．11.写出一个满足与抛物线开口方向相同，且过点的抛物线的表达式：______．12.如图，内接于，，点在上，平分．若，则____．13.如图，，，分别切于点．若，则的周长为______；若，则______．14.关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．15.如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③平分；④连接，，则与的面积比为．所有正确结论的序号是______．16.某生态农场有三项任务需要完成，如下表：任务每轮任务耗时（小时）需完成轮数每轮需要工人数A．有机肥料运输23B．智能系统调试211C．温室环境监测32不同类型任务切换需0.2小时准备时间，相同任务的不同轮次可以同时进行，且每轮任务一旦开始不能中途停止．农场现有3名工人，请回答下列问题：（1）若需要先完成A任务，再完成剩余的两项任务，请判断：这3名工人___________（填“能”或“不能”）在小时内完成全部三项任务；（2）为了加快完成任务，现增加2名工人，则这5名工人完成全部三项任务的最短用时为___________小时．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解关于x的一元二次方程：．18.已知m是方程的一个根，求代数式的值．19.下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：及圆上一点．求作：直线，使得为的切线，为切点．作法：如图，①连接并延长到点；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接．∵①∴点在上，∴是的直径．∴②．（③）∴④．∵是的半径，∴是的切线．（⑤）20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围．21.如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22.已知抛物线经过两点，．（1）求b，c值；（2）当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围．23.根据以下素材，探索完成任务．素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高．素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决：（1）任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行．（2）任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是个．24.如图，是的直径，直线与相切于点．过点作于，线段与相交于点．（1）求证：是的平分线；（2）若，，求BC的长．25.科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下：

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上信息，解决问题：若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）；在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）．26.在平面直角坐标系中，抛物线（）．（1）求该抛物线的对称轴；（2）若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式；（3）若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围．27.如图，在中，，．点是线段上一点，点是射线上一点，且满足，设．（1）如图1，当时，直接写出的度数；（2）如图2，当时，求出的度数（用含的式子表示）；（3）如图3，当时，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，请补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．（1）如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______；（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；（3）已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每小题2分．）题号12345678答案CABDBDDB二、填空题（共16分，每小题2分．）9.【答案】解：点关于原点对称的点的坐标为，故答案为：．10.【答案】解：根据扇形面积公式，其中，则：．故答案为：．11.【答案】解：抛物线的二次项系数为1，开口向上，要满足与它开口方向相同，则所求抛物线的二次项系数也需大于0，又因为抛物线过点，将代入抛物线一般式，可得，不妨取，则抛物线表达式为．故答案为：（答案不唯一）．12.【答案】解：如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，∵，∴，∴，∵平分，∴，，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：

．13.【答案】解：（1），，分别切于，，点，，，，的周长；（2）∵，∴，∴，连接，∵，，分别切于点，∴，∵，∴平分，平分，∴，∴，∴故答案为：．14.【答案】解：∵方程mx2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m＞0且m≠0，∴m>-1，且m≠0，故答案为：m>-1且m≠0．15.【答案】解：根据题干补全图形，连接，根据内接正六边形的性质可知：，∴是等边三角形，，圆的半径为2，所以①正确；根据内接正方形的性质可知：，的长为：，所以②错误；∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴平分，所以③正确；过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，∵，∴，∵，∴，，∴，设交于点M，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，所以④正确；因此正确的结论：①③④故答案为：①③④16.【答案】解：（1）A任务每轮耗时小时，需完成轮，且名工人刚好满足每轮需求，∴A任务总耗时为小时．完成A任务后切换到其他任务，有两次任务切换，每次准备时间小时，∴准备时间共小时．B任务每轮耗时小时，需轮，名工人即可；C任务每轮耗时小时，需轮，每轮名工人．∴名工人可同时进行B和C任务（人做B，人做C），C任务轮共小时，B任务小时，以耗时较长的C任务为准，B和C任务同时进行最短耗时小时．三项任务总耗时为小时，，∴名工人不能在小时内完成全部三项任务．故答案为：不能；（2）增加2名工人后共5名工人，

∵更换工作会有额外时间，

∴尽量减少工作任务更换，

先安排三人作A任务两轮，共3小时，同时安排1人做任务B，两小时后更换工作至C，一轮，共需3小时，此时，A任务和B任务已经完成，C任务还有两轮，安排4人两轮任务同时进行，共需1小时，

∴总时间为：3+1=4（小时）．故答案为：4．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】解：，，∴或，∴，．18.【答案】解：由m是方程的一个根可得，即，将代入，可得原式19.【答案】证明：如图，连接，∵，∴点C在上，∴是的直径．∴．（直径所对的圆周角是直角）∴．∵是的半径，∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：；；直径所对的圆周角是直角；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20.【答案】（1）证明：无论m取何值，，∴方程总有两个实数根．（2）解：由原方程得：，解得，，∵方程有一个根为正数，，，．21.【答案】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，∴∴，∵∴，∴；（2）解：在中，∵，∴，∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，∴，，，∴，在中，．22.【答案】（1）解：∵抛物线经过两点，．∴∴（2）抛物线上，当时，，当时，；函数的图象上，当，时，；函数的图象上，当，时，∵时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值．∴．23.【答案】（1）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，设函数关系式为，代入得，解得：，∴抛物线的解析式为，当时，，解得：，∵∴该货船能顺利通行；（2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，∴当悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，当时，，∴，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最多8个灯笼，故答案为：8．24.【答案】（1）证明：如图，连接，∵直线与相切于点．∴,∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的平分线；（2）解：如图，连接交于点，连接，∵是的直径，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，，∴，在中，，在中，，∴．25.【答案】（1）解：∵当时，，当时，，∴与是正比例函数，设，∴，解得：，∴，当时，，故答案为：；（2）解：如图，（3）解：∵装置比装置早启动了，如图，根据图象可知，装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或，故答案为：或，或；在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取实验物质，故答案为：．26.【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线；（2）解：，抛物线的对称轴是直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴当时，函数值最大，∴将代入二次函数中，得，解得，二次函数表达式为．（3）解：把代入中，得，将代入中，得，解得，，令，解得，点在点的下方，的取值范围是．点的坐标可分别表示为，，．，对称轴为直线，当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是．综上所述，的取值范围是．27.【答案】（1）解：已知为等腰直角三角形，，，．过点作于，于．，，是等腰直角三角形，．又，．