北京汇文中学2025-2026学年第一学期九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025北京汇文中学初三（上）期中数学本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.3，， B.3，1，C.3，，2 D.3，1，22.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. B.C. D.4.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（）A. B. C. D.5.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（）A. B. C. D.6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A. B.2 C.2 D.87.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④二、填空题（本题共16分，每题2分）9.一元二次方程的解是_________．10.点关于原点的对称点的坐标为______．11.一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度.12.如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________．13.某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：设计次数20401002004001000射中9环以上次数153378158321801根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)．14.如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是______．15.如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CEAB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE=4．其中所有正确结论的序号是_____．16.某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．小区需送快递数量需取快递数量1561058547134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题6分，第27－28题7分）17.解方程：（2x+3）2﹣2x﹣3=0．18.已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值．19.下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：求作：的内正方形．作法：如图，①作直径；②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作，两弧交于，两点；③作直线交于点，；④连接，，，．所以四边形就是所求作的正方形．根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：在中∵，，∴．∴∴（①）（填推理的依据）∴四边形是菱形（②）（填推理的依据）∵是的直径，∴（③）（填推理的依据）∴四边形是正方形．20.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______；（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以为圆心为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请你求出路面的宽度．（用含的式子表示）23.如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为．（1）填空：______，______；（用含的代数式表示）（2）求当为何值时，？（3）在动点，运动过程中，是否存在某个时刻使五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．24.如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．25.某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：水平距离x/m0123456…垂直高度y/m0.71.62.32.83.13.23.1…请根据测得的数据，解决以下问题：（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为m；（3）求所画图象对应的二次函数表达式；（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）26.在平面直角坐标系中，已知抛物线：过原点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；（2）将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，，则抛物线的解析式为________；的面积为________；②已知在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置的使得的面积相同，求的取值范围．27.如图，在中，，．点是线段上一点，点是射线上一点，且满足，设．（1）如图1，当时，直接写出的度数；（2）如图2，当时，求出的度数（用含的式子表示）；（3）如图3，当时，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，请补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．（1）如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______；（2）等腰直角三角形的斜边长为，点不为原点．若是的以点为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点组成的图形．（3）在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．

参考答案一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案ACACBCDC二、填空题（本题共16分，每题2分）9.【答案】解：，方程可化为：，则：或，解得：，故答案为：．10.【答案】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，∴点关于原点的对称点的坐标为，故答案为：．11.【答案】解：根据，解得：，故答案为110．12.【答案】∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，∴点P和点Q关于直线对称，又∵点P的坐标为（4，0），∴点Q的坐标为（-2，0）．故答案为（-2，0）．13.【答案】解：，，，，，，由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)．故答案为：．14.【答案】解：如图，连接，，两连线的交点，即为对称中心点，∴对称中心点的坐标是．故答案为：15.【答案】①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CEAB，即可得结论．【解答】解：①观察图象开口向下，a＜0，所以①错误；②对称轴在y轴右侧，b＞0，所以②正确；③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4，0），对称轴在y轴右侧，所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③错误；④∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴AD=BD，∵CEAB，∴四边形ODEC为矩形，∴CE=OD，∴AD+CE=BD+OD=OB=4，所以④正确．综上：②④正确．故答案为：②④16.【答案】解：（1）∵A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，需取快递数量5，∴若前往A、B、C小区，需取快递数量为，需取快递数量为，∴前往A，B，C小区满足条件，故答案为：A，B，C(答案不唯一)；（2）前往A小区收益为：(元)，前往B小区收益为：(元)，前往C小区收益为：(元)，前往D小区收益为：(元)，前往E小区收益为：(元)，∵，，，∴他的最优方案是前往A、B、E小区收益最大，故答案为∶A，B，E．三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题6分，第27－28题7分）17.【答案】试题分析：先提公因式（2x+3），对等式的左边进行因式分解，然后再解方程试题解析：原方程化为（2x+3）2﹣（2x+3）=0．提取公因式（2x+3）（2x+3﹣1）=0．即2（2x+3）（x+1）=0．解得，x2=﹣1．考点：解一元二次方程-因式分解法18.【答案解：．∵是关于x的方程的一个根，∴．∴．∴原式．19.【答案】解：（1）如下图所示，即为所求；（2）证明：在中∵，，∴．∴，∴（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∵是的直径，∴（直径所对的圆心角是90度），∴四边形是正方形．故答案为：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四条边相等的四边形是菱形；直径所对的圆心角是90度．20.【答案】（1）证明：在方程中，，方程总有两个实数根．（2）解：，，．方程有一根小于1，，解得：，的取值范围为．21.【答案】（1）解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：，故答案为：；（2）解：由题意画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，，故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为．22.【答案】解：如图，连接OC．由题意知．．．由题意可知于，.在中，．．23.【答案】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为，∴点从的时间为，点从的时间为，∴，，故答案为：，；（2）解：∵四边形是矩形，∴，由（1）可知，，，∴，在中，，且，∴，整理得，，解得，，，∴当或时，；（3）解：不存在，理由如下，已知，，∴，∵五边形的面积为矩形面积的，∴，则，∴，整理得，，∴，即原方程无实数根，∴不存在值，使得五边形的面积为矩形面积的．24.【答案】（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是半径，∴为的切线；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴，∵是直径，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵O是的中点，D是的中点，∴．25.【答案】（1）解：描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：（2）解：由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为，故答案为：3.2；（3）解：设二次函数表达式为将，，代入得：，解得：∴二次函数表达式为；（4）解：在中，令得：，解得或，∴石柱距喷水枪的水平距离为或．故答案为：1或9．26.【答案】（1）解：∵抛物线：过原点，∴，∴抛物线G的解析式为，∴顶点坐标为（2）解：①当时，抛物线解析式为，∵抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，∴抛物线解析式为，即．当时，点P的坐标为，∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，把代入抛物线，得，把代入抛物线，得，∴，，∴，，∴．故答案为：；3．②∵将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，∴抛物线的解析式为，即．∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，∴，，当时，．∵点从点O运动到点，∴，，∴．当，即时，，其对称轴为，在时，不可能存在两个不同位置的使得的面积相同，当，即时，，其对称轴为，要使存在两个不同位置的使得的面积相同，则点需在对称轴的右边，即．∴的取值范围为．当时，点在x轴的负半轴，∵点从点O运动到点，∴点P也在x轴的负半轴，∵抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，∴由图象可得，在y轴的左侧，抛物线G在抛物线的上方，∴∴当给定a的值时，随着t的减小而增大，即当点P向点A运动中，逐渐增大，也逐渐增大，由，可得的面积逐渐增大，∴不存在两个不同位置的使得的面积