2027中考数学复习-解答题专项集训18 图形认识初步

第1页（共1页）2027年中考数学复习解答题专项集训之图形认识初步一．解答题（共20小题）1．综合与实践【主题】卷筒纸的设计与测量【素材】某品牌卷筒纸，直尺【实践操作】步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图1所示；步骤2：如图2，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米．【实践探索】（1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留π）（2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（π的值取3.14）2．综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤将滤纸对折两次；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）3．如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形．（1）图形1中小正方体个数记作a1＝5，图形2中小正方体个数记作a2＝7，…图形5中的小正方体有a5＝_______个；图形n（n是正整数）中的小正方体有an＝___________个（用含n的代数式表示，结果需化简）；（2）结合上述规律，试判断是否存在正整数n，使得an﹣1+an+1等于an的3倍？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．4．阅读材料，回答问题．欧拉（Euler）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E之间满足欧拉公式：V+F﹣E＝2，如表．名称三棱锥三棱柱长方体十二面体图形顶点数V46820面数F45612棱数E691230V+F﹣E2222进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象．（1）凸多面体的每个面分别记为ni边形，其中i＝1，2，…，F，每个顶点分别连接rj条棱，其中j＝1，2，…，V．问题1：下列说法正确的是_______；（写出所有正确结论的序号）①n1+n2+…+nF＝2E；②n1+n2+…+nF＝2F；③r1+r2+…+rv＝2E；④r1+r2+…+rv＝2V．（2）定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于360°与多面体在该点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和．例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B处有三个面角为∠ABC，∠ABD，∠DBC，且都是60°，所以正三棱锥在点B的角亏为360°﹣3×60°＝180°，故其总角亏为4×180°＝720°．问题2：求三棱锥的总角亏；问题3：请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由．5．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨BC长度与长伞骨OA长度之比为2：5，短伞骨与长伞骨连接点B恰为长伞骨的三等分点（AB＞OB），伞柄OD长度是长伞骨OA长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离OC等于OB，支撑点到伞柄底端的距离CD比短伞骨BC长度多31cm．求这个油纸伞的伞柄长．6．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）当∠AOC＝36°时，∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t＜36），旋转过程中OE始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．7．△ABC的两外角平分线交于点F．（1）如图1，若∠A＝30°，则∠BFC的度数为________．（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是____________________．（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．8．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；（2）长方体共有_______条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开_____条棱；（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．9．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．（1）直接写出的值；（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是_____A．B．C．D．（3）卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm）30×4020×8080×80单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）10．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请说明理由．（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．11．综合实践“长方体纸盒的制作”实践活动素材一走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴含着丰富的数学知识，而设计与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精．素材二某纸箱厂用边长为a（cm）的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．素材三包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为8cm、5cm、4cm进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为4×8+5×2+2×8＝58cm．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法．任务一下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是_____（填序号）．任务二由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为____________cm（用含a，b的代数式表示）．图2的设计中，如果a＝48cm，b＝8cm，计算该长方体纸盒的体积．任务三在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．12．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了_____条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）（3）小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．13．综合与实践：探索求圆半径的办法背景素材数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．任务一（1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得AG＝1cm，则可知该圆的半径为____________________cm；任务二（2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上．若AE＝4cm，BF＝5cm，求圆的半径；任务三（3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得AD＝BC＝5cm，分别以AB，BC所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕BC旋转得到的圆柱体积V1，绕AB旋转得到的圆柱体积V2，比较大小：V1_____V2（填“＞”，“＜”或“＝”）．任务四（4）若矩形纸片的长BC＝a，宽AB＝b，（a＞b），猜想：绕_______（填“AB”或“BC”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想．14．【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．任务1探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：长16141210864宽11.624周长3423.22016根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，__________时周长最小．为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为a2，设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得．…（请表示出周长并补全后续的证明过程）．任务2计算对比，合理优化．设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长7cm、宽4cm、高5cm，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为6cm的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．15．综合与实践：同学们在实践活动中用一批长为24cm，宽为15cm的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务．活动一：如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形ABCD是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积．活动二：为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙．任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3）．并判断容积是否变大．16．【综合与实践】主题：制作一个有盖长方体形纸盒．素材：一张矩形纸板．操作：如图，先将矩形纸板ABCD的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．计算：若矩形纸板ABCD的周长为100cm，AB与AD的长度比为2：3，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．17．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．问题解决：（1）若b＝6cm，则该长方体纸盒的底面边长为_______cm；该长方体纸盒的体积为________cm3；动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．拓展延伸：（2）若b＝3cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？18．如图①，将一张长为a+b，宽为a（a＞0，b＞0）的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以AB，CD为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．19．问题情景：七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_____图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是_____；（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；②若四角各剪去了一个边长为3cm的小正方形，求这个纸盒的容积．20．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．如图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为多少尺？

2027年中考数学复习解答题专项集训之图形认识初步参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．综合与实践【主题】卷筒纸的设计与测量【素材】某品牌卷筒纸，直尺【实践操作】步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图1所示；步骤2：如图2，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米．【实践探索】（1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留π）（2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（π的值取3.14）【分析】（1）求制作中间纸轴所需硬纸板面积，实际就是求空心硬纸轴的侧面积，需要用到圆柱侧面积公式S＝πdh（其中d为底面圆直径，h为圆柱的高）（2）我们可以根据卷筒纸展开前后体积不变的原理，先算出卷筒纸的体积（大圆柱体积减去空心部分体积），再结合展开后纸的厚度与宽度，从而计算出展开后的总长度．【解答】解：（1）计算制作中间纸轴所需硬纸板的面积已知中间空心硬纸轴的直径d＝4厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米，也就是硬纸轴的高为10厘米．根据圆柱侧面积公式S＝πdh，将d＝4厘米，h＝10厘米代入可得：S＝π×4×10＝40π（平方厘米），所以制作这个中间的纸轴至少需要40π平方厘米的硬纸板．（2）估计一卷空心卷筒纸展开后的总长度•计算卷筒纸的体积：外层卷筒纸的半径厘米，空心硬纸轴的半径厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米．根据圆柱体积公式V＝πR2h﹣πr2h＝πh（R2﹣r2），将R＝6厘米，r＝2厘米，h＝10厘米代入可得：V＝3.14×10×（62﹣22）＝3.14×10×（36﹣4）＝3.14×10×32＝1004.8（立方厘米），计算展开后纸的横截面积：已知每层纸巾厚度a＝0.02厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米，那么展开后纸的横截面积S横＝10×0.02＝0.2平方厘米．计算展开后的总长度：因为卷筒纸展开前后体积不变，设展开后的总长度为L，根据体积公式V＝S横L，可得L，将V＝1004.8立方厘米，S横＝0.2平方厘米代入可得：（厘米）．答：估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度为5024厘米．【点评】本题考查立体图形，解题的关键是理解题意，正确计算．2．综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤将滤纸对折两次；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）【分析】（1）证△CDE∽△CAB即可得证；（2）利用圆锥体积公式计算即可．【解答】解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm，折叠后CD＝CE10＝5（cm），∵底面周长10π＝5π（cm），∴DE•π＝5πcm，∴DE＝5cm，∴，∴△CDE∽△CAB，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．方法二：由2πr得，，图3中，n1＝90°×2＝180°，图4中，，∴n2＝180°，∵n1＝n2，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．（2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm，∴∠CDE＝60°，过C作CF⊥DE于点F，则DFDEcm，在Rt△CDF中，CFcm，∴Vπr2h＝π•（）2π（cm3）．答：圆锥形的体积是πcm3．【点评】本题主要考查了圆锥的计算、相似三角形判定、勾股定理等知识，正确读懂题意和掌握圆锥体积公式是解题关键．3．如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形．（1）图形1中小正方体个数记作a1＝5，图形2中小正方体个数记作a2＝7，…图形5中的小正方体有a5＝13个；图形n（n是正整数）中的小正方体有an＝（2n+3）个（用含n的代数式表示，结果需化简）；（2）结合上述规律，试判断是否存在正整数n，使得an﹣1+an+1等于an的3倍？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据图形的变化规律得出答案即可；（2）假设存在an﹣1+an+1等于an的3倍，则有2（n﹣1）+3+2（n+1）+3＝3（2n+3），求出n的值，再进行判断即可．【解答】解：（1）图1中小正方体个数记作a1＝3×2﹣1＝5（个），图2中小正方体个数记作a2＝4×2﹣1＝7（个），图3中小正方体个数记作a3＝5×2﹣1＝9（个），…图5中小正方体个数记作a5＝7×2﹣1＝13（个），…图n中小正方体个数记作an＝（n+2）×2﹣1＝（2n+3）个，故答案为：13，（2n+3）；（2）若存在an﹣1+an+1等于an的3倍，则有2（n﹣1）+3+2（n+1）+3＝3（2n+3），解得n，不是正整数，不合题意舍去，因此不存在an﹣1+an+1等于an的3倍．【点评】本题考查认识立体图形，图形的变化类，掌握图形的变化规律是正确解答的关键．4．阅读材料，回答问题．欧拉（Euler）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E之间满足欧拉公式：V+F﹣E＝2，如表．名称三棱锥三棱柱长方体十二面体图形顶点数V46820面数F45612棱数E691230V+F﹣E2222进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象．（1）凸多面体的每个面分别记为ni边形，其中i＝1，2，…，F，每个顶点分别连接rj条棱，其中j＝1，2，…，V．问题1：下列说法正确的是①③；（写出所有正确结论的序号）①n1+n2+…+nF＝2E；②n1+n2+…+nF＝2F；③r1+r2+…+rv＝2E；④r1+r2+…+rv＝2V．（2）定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于360°与多面体在该点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和．例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B处有三个面角为∠ABC，∠ABD，∠DBC，且都是60°，所以正三棱锥在点B的角亏为360°﹣3×60°＝180°，故其总角亏为4×180°＝720°．问题2：求三棱锥的总角亏；问题3：请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）根据每条棱是两个相邻面的公共边，得出所有面的边数之和等于棱数的2倍，即可判断①②；根据每条棱连接两个顶点，得出所有顶点连接的棱数之和等于棱数的2倍，即可判断③④；（2）根据题干所给定义并结合三棱锥的特点计算即可得出结果；（3）题意可得对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E，则所有顶点的360°之和为V×360°，求出总面角和＝（2E﹣2F）×180°＝（E﹣F）×360°，再结合题干所给定义计算即可得出结果．【解答】解：（1）∵每条棱是两个相邻面的公共边，∴所有面的边数之和等于棱数的2倍，即n1+n2+⋯+nF＝2E，故①正确，符合题意，②错误，不符合题意；∵每条棱连接两个顶点，∴所有顶点连接的棱数之和等于棱数的2倍，即r1+r2+⋯+rV＝2E，故③正确，符合题意，④错误，不符合题意；故答案为：①③；（2）三棱锥每个顶点处有3个面角，有4个顶点，三棱锥的4个面都是三角形，则所有面角之和为4×180°＝720°，因为每个顶点的角亏为360°与多面体在该点的面角之和的差，故总角亏为：4×360°﹣720°＝1440°﹣720°＝720°；（3）任意凸多面体的总角亏是定值，为720°，理由如下：由题意可得对于任意凸多面体，其面数F、棱数E、顶点数V，∴所有顶点的360°之和为V×360°，由每个面是ni边形，得出总面角和为：（n1﹣2）×180°+（n2﹣2）×180°+（n3﹣2）×180°+…+（nF﹣2）×180°＝[（n1﹣2）+（n2﹣2）+（n3﹣2）×+…+（nF﹣2）]×180°＝[（n1+n2+n3+…+nF）﹣2F]×180°，由（1）可得n1+n2+⋯+nF＝2E，∴总面角和＝（2E﹣2F）×180°＝（E﹣F）×360°，V×360°﹣（E﹣F）×360°＝（V﹣E+F）×360°＝2×360°＝720°，故是定值，为720°．【点评】本题考查欧拉公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．5．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨BC长度与长伞骨OA长度之比为2：5，短伞骨与长伞骨连接点B恰为长伞骨的三等分点（AB＞OB），伞柄OD长度是长伞骨OA长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离OC等于OB，支撑点到伞柄底端的距离CD比短伞骨BC长度多31cm．求这个油纸伞的伞柄长．【分析】设BC＝2xcm，根据各个部分之间的关系，分别得到OA＝5xcm，OBxcm＝OC，ODxcm，CDx（cm），由CD﹣BC＝31列方程求出x的值，再求出OD的值即可．【解答】解：设BC＝2xcm，则OA＝5xcm，OBOAxcm＝OC，ODOAxcm，∴CD＝OD﹣OCxxx（cm），∵CD比BC长度多3lcm．∴x﹣2x＝31，解得x＝12，∴ODx＝75（cm），即这个雨伞的伞柄OD的长为75cm．【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段的和差关系是正确解答的关键．6．已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）当∠AOC＝36°时，∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t＜36），旋转过程中OE始终平分∠BOC，请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．【分析】（1）由补角及直角的定义可求得∠BOD的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；（2）由角平分线的定义可得∠EOF∠COD，进而可求解；（3）可分三总情况：①0＜t≤6时，6＜t≤36时，③36＜t≤60时，分别计算可求解．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，∴∠BOE∠BOC，∠BOF∠BOD，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF（∠BOC﹣∠BOD）∠COD，∵∠COD＝90°，∴∠EOF＝45°；（3）①0≤t≤6时，由题意得∠AOC＝36°﹣6t°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°[180°﹣（36°﹣6°t）]＝18°﹣3t°，∴∠AOC＝2∠DOE；②6＜t＜36时，由题意得∠AOC＝6t°﹣36°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°[180°﹣（6t°﹣36°）]＝198°﹣3t°，∴∠AOC+2∠DOE＝360°；当OC、OD都在AB下方时，∠AOC＝6°t﹣36°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝216°﹣6t，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝108°﹣3°t，∴∠DOE＝90°+108°﹣3°t＝198°﹣3°t，∴∠AOC+2∠DOE＝360°；综上所述，∠AOC＝2∠DOE（0≤t≤6）或∠AOC+2∠DOE＝360°（6＜t＜36）或∠AOC+2∠DOE＝360°；．【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．7．△ABC的两外角平分线交于点F．（1）如图1，若∠A＝30°，则∠BFC的度数为75°．（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是．（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，从而可得∠CBD+∠BCE＝180°+∠A，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可；（2）由（1）可得由（1）可得，再由α+∠BFC+β＝180°代入进行计算即可；（3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∵∠ACB+∠BCE＝180°，∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠CBD+∠BCE＝180°﹣∠ABC+180﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，∵BF和CF分别是∠DBC和∠BCE的平分线，∴，，∴∠CBF+∠BCF，∵∠BFC+∠CBF+∠BCF＝180°，∴，故答案为：75°；（2），由（1）可得，∵α+∠BFC+β＝180°，∴，即；故答案为：；（3）①当直线MN与线段BC没有交点时，，理由如下：∵，∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴，即；②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：a．如图1，当M在线段AB上，N在射线AC上时，，，∵，∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴，即，b．如图2，当M在射线AB上，N在线段AC上时，，，∵，∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴，即．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题是解此题的关键．8．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱；（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．【分析】（1）、（2）由平面图形的折叠及长方体的展开图解题，（3）按平面折叠成几何体后求得体积．【解答】解：（1）有多余块，；（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱；（3）底面正方形边长：12÷4＝3（cm），长方体高：17﹣3×3＝8（cm），长方体体积为：3×3×8＝72（cm3），答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72cm3．【点评】本题考查了对于长方体展开图的掌握与立体图形体积的计算，较简单．9．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．（1）直接写出的值；（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是CA．B．C．D．（3）卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm）30×4020×8080×80单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）【分析】（1）由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，四边形EFNM是正方形，得到EM＝EF，即AG＝EF，即可求解；（2）根据几何体的展开图即可求解；（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个正方体，即可求解．【解答】解：（1）如图：上述图形折叠后变成：由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，∵四边形EFNM是正方形，∴EM＝EF，即AG＝EF，∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB，∵AH＝DH，∴，∴的值为：2．（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，∴C选项符合题意，故选：C．（3）卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ需卡纸的数量（单位：张）132所用卡纸总费用（单位：元）58根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1＝27（个），∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1＝58（元）．答：所用卡纸总费用为58元．【点评】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．10．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请说明理由．（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．【分析】（1）根据题意求得MC和CN的长，利用线段的关系MN＝MC+CN即可得出答案；（2）根据题意设AC得到CB，求得MC和CN的长，利用线段的关系MN＝MC+CN即可得出答案；（3）根据题意设CB得到AC，求得MC和CN的长，利用线段的关系MN＝MC﹣CN即可得出答案；【解答】解：（1）∵AC＝8cm，CB＝6cm，M，N分别是AC，BC的中点，∴，，则MN＝MC+CN＝（4+3）cm＝7cm；（2）设AC＝x，CB＝a﹣x，∵M，N分别是AC，BC的中点．∴，，则；（3）设BC＝x，根据题意得AC＝x+b，如图，∵点C在线段AB的延长线上，M，N分别是AC，BC的中点，∴，，则．【点评】本题主要考查线段和差运算和线段中点的计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．11．综合实践“长方体纸盒的制作”实践活动素材一走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴含着丰富的数学知识，而设计与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精．素材二某纸箱厂用边长为a（cm）的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．素材三包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为8cm、5cm、4cm进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为4×8+5×2+2×8＝58cm．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法．任务一下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是②（填序号）．任务二由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为4（a﹣2b）cm（用含a，b的代数式表示）．图2的设计中，如果a＝48cm，b＝8cm，计算该长方体纸盒的体积．任务三在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．【分析】任务一：根据长方体的展开图的特点求解；任务二：根据长方体份体积公式求解；任务三：根据长方体的展开图求解．【解答】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是②，故答案为：②；任务二：图1长方体纸盒的底面周长为：4（a﹣2b）cm，图2的设计中，该长方体纸盒的体积为：b（a﹣b）（a﹣2b），当a＝48cm，b＝8cm时，该长方体纸盒的体积为：8×（24﹣8）×（48﹣16）＝4096（cm3），故答案为：4（a﹣2b）；任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下：周长为：4×2+5×2+8×6＝76（cm）．【点评】本题考查了展开图折成几何体，掌握长方体的展开图是解题的关键．12．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了8条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）（3）小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是88cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，∴4（a+5a+5a）＝88，解得a＝2，∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10＝200（cm3）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．13．综合与实践：探索求圆半径的办法背景素材数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形（或半圆形）纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带（如图1）设计了一系列任务，请帮助解决问题．任务一（1）若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得AG＝1cm，则可知该圆的半径为cm；任务二（2）如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上．若AE＝4cm，BF＝5cm，求圆的半径；任务三（3）从该矩形纸片上剪下一部分，使得AD＝BC＝5cm，分别以AB，BC所在直线为旋转轴，得到两个圆柱，绕BC旋转得到的圆柱体积V1，绕AB旋转得到的圆柱体积V2，比较大小：V1＜V2（填“＞”，“＜”或“＝”）．任务四（4）若矩形纸片的长BC＝a，宽AB＝b，（a＞b），猜想：绕AB（填“AB”或“BC”）旋转得到的圆柱体积更大，请证明你的猜想．【分析】任务一：根据勾股定理求出BG的长即可求解；任务二：作ON⊥AD于点N，交BC于点M，连接OE，OF，由垂径定理得，根据OM2+FM2＝ON2+NE2求出OM的值，进而可求出半径；任务三：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论；任务四：根据圆柱体体积公式分别计算即可得出结论．【解答】解：任务一：∵∠BAG＝90°，∴BG是直径．∵AG＝1cm，AB＝2cm，∴，∴该圆的半径为．故答案为：；任务二：作ON⊥AD于点N，交BC于点M，连接OE，OF，则四边形ABMN是矩形，∴BM＝AN，MN＝AB＝2cm．∵AE＝4cm，ON⊥AD，∴，∴BM＝AN＝2cm，∵BF＝5cm，∴FM＝BF﹣BM＝5cm﹣2cm＝3cm．由勾股定理可得：OF2＝OM2+FM2，OE2＝ON2+NE2，∴OM2+FM2＝ON2+NE2，∴OM2+32＝（OM+2）2+22，∴，∴，∴；答：圆的半径为；任务三：绕BC旋转得到的圆柱体积；绕AB旋转得到的圆柱体积，∴V1＜V2，任务四：绕BC旋转得到的圆柱体积；绕AB旋转得到的圆柱体积，∵a＞b，∴πab2＞πa2b，∴V1＜V2，故答案为：AB．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆柱体体积，正确进行计算是解题关键．14．【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．任务1探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：长16141210864宽11.624周长3423.22016根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，x＝y＝0时周长最小．为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为a2，设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得．…（请表示出周长并补全后续的证明过程）．任务2计算对比，合理优化．设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长7cm、宽4cm、高5cm，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为6cm的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．【分析】任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由，即可得出结论．任务2：分别计算长方体和圆柱体的表面积即可得出结论．【解答】解：任务1：长和宽相等设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得，矩形周长为2（a﹣x）+2（a+y）＝4a+2（y﹣x）＝4a4a，所以x＝y＝0，即矩形为正方形时，周长最小，故答案为：x＝y＝0；任务2：合理，理由如下：长方体的体积7×4×5＝140cm3，圆柱体的体积，长方体的表面积为：（7×4+4×5+7×5）×2＝166cm2．圆柱体的表面积为：π×32×2+6π×5＝48π，48π＜48×3.2＝153.6cm2．因为153.6＜166，所以改为圆柱体更节省材料．【点评】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算，掌握乘法公式是解题的关键．15．综合与实践：同学们在实践活动中用一批长为24cm，宽为15cm的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务．活动一：如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形ABCD是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积．活动二：为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙．任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3）．并判断容积是否变大．【分析】任务1：由图1的裁剪方法折叠成长方体得出长、宽、高，再由体积的计算方法进行计算即可；任务2：由图2的裁剪方法折叠成圆柱体的底面半径，高，再由圆柱体体积的计算方法进行计算即可．【解答】解：任务1：由图1的裁剪方法可以折叠成底面边长为24÷4＝6（cm），高为15﹣6＝9（cm）的长方体，因此体积为6×6×9＝324（cm3），答：方案甲中包装盒的容积为324cm3；任务2：由图2的裁剪方法可以折叠成底面周长为24cm，高为15﹣（24÷3）＝7（cm）的圆柱体，所以体积为π×（）2×7＝336（cm3），∵336＞324，∴方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积变大了．【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体、长方体体积的计算方法是正确解答的关键．16．【综合与实践】主题：制作一个有盖长方体形纸盒．素材：一张矩形纸板．操作：如图，先将矩形纸板ABCD的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．计算：若矩形纸板ABCD的周长为100cm，AB与AD的长度比为2：3，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．【分析】利用矩形的周长和边长比例求出矩形的边长，再通过分析图形中矩形边长与长方体棱长的关系，确定长方体的长、宽、高，最后运用长方体体积公式计算体积．先根据矩形的周长和边长比例关系求出矩形纸板的长和宽，再结合折成的长方体底面是正方形这一条件，确定长方体的长、宽、高，最后根据长方体体积公式计算体积．【解答】解：根据题意可知，AB+AD＝100÷2＝50cm，又∵AB与AD的长度比为2：3，设AB＝2xcm，AD＝3xcm，即2x+3x＝50，解得：x＝10，∴AB＝2×10＝20（cm），AD＝3×10＝30（cm），设折成的长方体底面正方形的边长为ycm，又∵AD的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，AB的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高，即（h为长方体的高），∴（2y+2h）﹣（y+2h）＝30﹣20，2y+2h﹣y﹣2h＝10，解得：y＝10，把y＝10代入y+2h＝20，可得10+h＝20，解得：h＝5，∴长方体的长、宽均为10cm、高为5cm，∴V＝10×10×5＝500（cm3）．【点评】本题考查