数学-THCSSAT标准学术能力诊断性测试2026年10月测试

第1页共4页本试卷共150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},则AA.(2,3)B.(-1,+o)C.[-1,+o]2.若复数,其中i为虚数单位，则z=A.1+iB.1-i3.已知a、b为单位向量，它们的夹角为120°,则下列向量中与6垂直的是A.a+2bB.a-2bC.2a+bD.2a-b4.已知函数y=f(x)是定义域为R、周期为2的奇函数，当1<x<2时，f(x)=4x-8.则A.-1B.15.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过抛物线C上点A,作其准线I的垂线，垂足为B,若△ABF为正三角形，则点A的横坐标为A.1B.26.已知函数的最大值为1,则实数a=A.1B.27.已知数列{a是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于{a,}中任意两项a、a;,在{an}中都存在一项am,使得am=aa;,若a₁=12,则满足条件的数列{an}的个数为A.4B.6C.8第2页共4页8.已知集合A={a,a₂,a₃}=[0,1],x∈R,记集合{|x-al|a∈A}中元素的最小值为d(x).设满足条件d(0.1)=d(0.5)=d(0.8)=dA(1)的所有集合A所组成的集合为Ω.从Ω中随机抽取一个集合A={a,a₂,a₃},定义随机变量X为X(A)=a₁+a₂+a₃,则X的期望为A.1.4B.1.5C.2.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选或不选的得0分.9.若m为样本数据6,10,4,m,16的中位数，则m的取值可以为A.610.已知点A的坐标为(2,0),点B、C在圆O:x²+y²=10上，AB⊥AC,则下列说法正确的是C.|BC|的最小值为3D.△ABC面积的最大值为911.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D,点P为CC₁的中点.则下列说法正确的是A.直线A₁P与平面ABCD所成角的正弦值为B.经过点P有且只有一条直线与直线AB和A₁D₁都相交C.存在4个平面，过点A且与正方体每个面所成锐二面角都相等D.几何体绕一条直线旋转一定角度后与自身重合，则称这条直线为该几何体的旋转对称轴.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁共有12条旋转对称轴三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲的一条渐近线为y=x,则a=.13.若函数f(x)=sinx+acosx在区间上单调，则实数a的取值范围为·14.对于无穷数列{a,定义集合P={n|存在正整数m,使得m>n且am>a},集合Q={n|存在正整数m,使得m<n且am>a}.设,φ∈(0,2π),若P≤Q,则φ的取值范围第3页共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC,AB=BC=1,AD=PA=2.(1)证明：直线CD⊥平面PAC;(2)点Q在线段PD上，直线PB//平面AQC,求三棱锥Q-ACD的体积.16.(15分)在△ABC中，BC=4,(2)边AB的中点为D,若CD=√19,求△ABC外接圆的半径.17.(15分)某生物种群，经过T年后一个自然种群分解为2个自然种群的概率为,继续保持1个自然种群的概率为,假设每个自然种群经过T年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立.某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过n个T年后该地区这种生物自然种群总数为Xn.第4页共4页18.(17分)椭圆厂经过点P(2,1).(2)斜率为k的直线与T交于不同于点P的A、B两点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N.(ii)若M、N关于原点对称，求k的取值范围.19.(17分)已知函数y=f(x)的定义域为D,集合A≌R,若对于任意t∈A,任意x∈D,总有f(x+t)>f(x),则称函数y=f(x)具有“性质A”.(1)设f(x)=x³-3x²,D=(0,+∞),A={3},判断函数y=f(x)(2)设f(x)=xe-2ex,D=(a,+o),A=(0,1),(3)函数y=f(x)的定义域为R,其导函数为y=f'(x),当x<0时，恒有f(x)>0,A=(-∞,0),证明：y=f(x)具有性质A的充分条件为y=f'(x)具有性质A.第1页共4页本试卷共150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},则A∩B=A.(2,3)B.(-1,+∞)C.[A.1+iB.1-iC.-13.已知a、b为单位向量，它们的夹角为120°,则下列向量中与b垂直的是A.a+2bB.a-2bC.2a+b4.已知函数y=f(x)是定义域为R、周期为2的奇函数，当1<x<2时，f(x)=4x-8.A.-1B.15.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过抛物线C上点A,作其准线l的垂线，垂足为B,若△ABF为正三角形，则点A的横坐标为6.已知函数的最大值为1,则实数a=A.1B.27.已知数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于{an}中任意两项a、a;,在{an}中都存在一项am,使得am=aa;,若a₁=12,则满足条件的数列{an}的个数为第2页共4页8.已知集合A={a,a₂,a₃}=[0,1],x∈R,记集合{|x-al|a∈A}中元素的最小值为dA(x).设满足条件d(0.1)=d(0.5)=d(0.8)=d(1)的所有集合A所组成的集合为Ω.从Ω中随机抽取一个集A.1.4B.1.5C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选或不选的得0分.9.若m为样本数据6,10,4,m,16的中位数，则m的取值可以为A.610.已知点A的坐标为(2,0),点B、C在圆O:x²+y²=10上，AB⊥AC,则下列说法正确的是C.|BC|的最小值为3D.△ABC面积的最大值为911.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,点P为CC₁的中点.则下列说法正确的是A.直线A₁P与平面ABCD所成角的正弦值为B.经过点P有且只有一条直线与直线AB和A₁D₁都相交C.存在4个平面，过点A且与正方体每个面所成锐二面角都相等D.几何体绕一条直线旋转一定角度后与自身重合，则称这条直线为该几何体的旋转对称轴.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁共有12条旋转对称轴三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.若函数f(x)=sinx+acosx在区间上单调，则实数a的取值范围为_14.对于无穷数列{an},定义集合P={n|存在正整数m,使得m>n且am>a},集合Q={n|存在正整数m,使得m<n且am>a}.设,φ∈(0,2π),若P≤Q,则φ的取值范围第3页共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC,AB=BC=1,AD=PA=2.(1)证明：直线CD⊥平面PAC;(2)点Q在线段PD上，直线PB//平面AQC,求三棱锥Q-ACD的体积.16.(15分)在△ABC中，BC=4,(2)边AB的中点为D,若CD=√19,求△ABC外接圆的半径.17.(15分)某生物种群，经过T年后一个自然种群分解为2个自然种群的概率为,继续保持1个自然种群的概率为,假设每个自然种群经过T年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立.某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过n个T年后该地区这种生物自然种群总数为Xn.第4页共4页18.(17分)椭圆T经过点P(2,1).(1)求I的离心率；(2)斜率为k的直线与T交于不同于点P的