北师大版数学 1.3勾股定理的应用（12题型+针对训练） 同步练习 含答案

勾股定理3勾股定理的应用命题1：勾股定理与网格问题…………2命题2：勾股定理与折叠问题…………3命题3：求梯子滑落高度………………5命题4：解决水杯中筷子问题…………6命题5：解决航海问题…………………6命题6：求河宽问题……………………8命题7：求台阶上地毯长度…………8命题8：判断汽车是否超速…………9命题9：判断是否受台风影响………10命题10：选址问题……………………11命题11：最短路径问题……………12命题12：勾股定理逆定理的应用…………………13针对训练………………15命题1：勾股定理与网格问题1．如图，若△ABC在边长为1的正方形网格中，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定2．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A．AB2=20C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是23．如图，A，B是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其余的格点中任意放置点C，恰好能使△ABC构成直角三角形的概率是（

）A．15 B．823 C．6234．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由．命题2：勾股定理与折叠问题5．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A,B重合，则折痕A．52cm B．154cm 7．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC=8cm，宽AB=6cm，那么折叠后重合部分的面积是(A．48cm2 B．24cm2 C．8．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，在CD边上取一点M，将△ADM折叠后点D恰好落在BC边上的点N处，则△MNC的面积为9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为线段AB的中点，连接CE，点F在边AD上，连接CF，将△CDF沿CF翻折得到△CGF，点G在线段CE上，则AF的长为10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．如图，如果点B′和点A11．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点D是AB边上一动点，过点D作DE⊥AB，交AC于点E，将△AED沿直线DE翻折，使点A落在AB边上的点F处，连接CF．当△FEC是直角三角形时，求出AD的长．命题3：求梯子滑落高度12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子ABA．3m B．4m C．5m13．如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑xm时，梯足B沿CB方向滑动ym，则x与y的大小关系是（A．x=y B．x>y C．x<y D．不确定14．七一快到了，为了庆祝建党一百周年，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m的墙上，则梯角应距墙角m．15．如图，一架消防梯AB的长为25米，斜靠在竖直的墙面OB上，消防梯底端A距墙面OB的水平距离为7米．(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？命题4：解决水杯中筷子问题16．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈=10尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（

）A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺17．将一根24cm长的筷子置于底面圆直径为15cm、高为8cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则A．ℎ≤17 B．7≤ℎ≤16 C．15≤ℎ≤16 D．ℎ≤818．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=命题5：解决航海问题19．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（）A．70m B．80m C．90m D．100m20．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（）A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里21．一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12nmile/h的速度从港口A．12nmile B．16nmile C．20nmile22．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距15海里，则乙轮船每小时航行海里．命题6：求河宽问题23．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点240m，结果他在水中实际游了510m，则该河的宽度为（

）A．300m B．400m C．450m D．480m24．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF比河的宽度EH多2米，则河的宽度EH是（

）A．8米 B．12米 C．16米 D．24米25．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是米．命题7：求台阶上地毯长度26．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是20cm，高度都是10cm，连接AB，则AB=（

）A．130cm B．140cm C．150cm27．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（

）A．6m B．7m C．8m D．9m28．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为m，购买这种地毯至少需要元．命题8：判断汽车是否超速41．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s42．某条道路限速60km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方5m的B处，过了1s，小汽车到达C(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？命题9：判断是否受台风影响29．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向104km的B处，正以16km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD=40km，如果在距台风中心50km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A．154 B．158 C．6 30．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km,BC=400km(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为25km/h31．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处C需要小型爆破，经测量，已知点C与公路上的停靠站A的距离为30米，与公路上的另一停靠站B的距离为40米．且CA⊥CB．为了安全起见，已知进入爆破点C周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？答：．命题10：选址问题32．某地区要在公路AB上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知AB=18km，DA=9km，CB=15km．DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点BA．10km B．11km C．12km33．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求∠CED的度数．34．在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求新路CH比原路CB，CA各少多少千米？命题11：最短路径问题35．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（

）A．23 B．17 C．15 D．1334．圆柱的底面直径为16π，BC=12，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则点P移动的最短路径长为（

A．10 B．12 C．14 D．2035．小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱状粮仓模型．如图，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为cm．36．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走米，踏之何忍”．命题12：勾股定理逆定理的应用37．体育公园边有一块如图所示的地，其中∠ADC=90°，AD=12m,CD=9m,AB=39mA．216 B．270 C．432 D．54038．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB．则这块草坪的面积是（

）A．36m2 B．26m2 C．39．山青林场准备对一块四边形空地ABCD进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB=15m,CD=8m,AD=17m，从点A修一条垂直BC的小路AE(垂足为点E)，AE=12(1)求BC边的长；(2)求空地ABCD的面积．40．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5km，CH=1.2km，(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；(2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路CA少多少千米？针对训练：1．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为A．4.5cm B．5cm C．5.5cm2．某校的长方形水泥操场的示意图如图所示．如果一名学生要从A角走到C角，那么至少要走（

）A．140m B．120m C．100m3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE:CB的值是（

）A．247 B．73 C．7244．如图是长方形纸片ABCD，已知AB=8,BC=12，现将纸片折叠，使点D落在BC边上的点M处，且CM=4，折痕为EF，则AE的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．1.55．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=A′B′,AB⊥B′C于点C，A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A．11cm B．12cm C．13cm8．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AB水平放置，则刚好与AD一样长，已知滑梯的高度BC=3m，CD=1m，BC⊥AD，则滑梯的水平距离AC的长度为9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东35°方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西55°方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为海里．10．折叠矩形纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB，CD于点E，F，若AD=4cm，AB=10cm11．如图，在直角三角形△ABC中，∠C=90°，把△ABC沿直线DE折叠，点A与点B重合；若AD=5,BC=6，则CE的长为．12．如图，在△ABC中，AC=10，AD平分∠BAC，E、F分别是AB、AD上的动点．若S△ABC=40，则BF+EF的最小值为13．某条高速公路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A(1)求AB的长．(2)这辆大巴车超速了吗?14．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积；(2)∠BCD是直角吗？15．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=2,BC=CD=4,AD=6，连接AC．(1)判断△ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD的面积．16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC的长．17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA、CB分别为150km、200km，又AB=250km(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？18．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC=6米；②在AC的一侧选点D，恰好使BD=8米，CD=10米；③测得AD=17米．请根据他们的操作过程，求出A、B两点间的距离．19．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，AD=24m(1)连接AC，试求AC的长；(2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用．20．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A，C两处相距12米，B、C两处相距16米，A、八（1）班方案：沿线段AC、BC铺设2段水管；八（2）班方案：过点C作CD⊥AB于点D，沿线段CD，AD，BD铺设3段水管；(1)求证：AC⊥BC；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？

勾股定理3勾股定理的应用命题1：勾股定理与网格问题…………2命题2：勾股定理与折叠问题…………4命题3：求梯子滑落高度………………10命题4：解决水杯中筷子问题…………13命题5：解决航海问题…………………15命题6：求河宽问题……………………17命题7：求台阶上地毯长度…………19命题8：判断汽车是否超速…………21命题9：判断是否受台风影响………22命题10：选址问题……………………25命题11：最短路径问题……………28命题12：勾股定理逆定理的应用…………………31针对训练………………35命题1：勾股定理与网格问题1．如图，若△ABC在边长为1的正方形网格中，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，结合勾股定理可得AC【详解】解：根据题意，可知AC2=AB∴AC∴△ABC的形状为直角三角形．故选：A．2．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A．AB2=20C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．【详解】解：A、ABB、∵AC2=12∴AC∴∠BAC=90°，本选项结论正确，不符合题意；C、S△ABCD、点A到BC的距离=2S故选：C．3．如图，A，B是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其余的格点中任意放置点C，恰好能使△ABC构成直角三角形的概率是（

）A．15 B．823 C．623【答案】B【分析】本题考查概率公式、直角三角形的判定，熟练掌握概率公式、直角三角形的判定是解答本题的关键．由图可知，共有23种等可能的结果，其中能使△ABC构成直角三角形的结果有8种，利用概率公式可得答案．【详解】解∶由图可知，共有23种等可能的结果，其中能使△ABC构成直角三角形的结果有∶C1，C2，C3，C4，C5，C6，∴．恰好能使△ABC构成直角三角形的概率为823故选∶B4．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由．【答案】AB和BC相等且垂直．理由见解析【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，连接AC，再结合勾股定理及其逆定理可得答案．【详解】解：AB和BC相等且垂直．理由如下：如图，连接AC，由勾股定理可得AB2=12∴AB2+B∴△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，即AB⊥BC，且AB=BC，∴AB和BC的关系是相等且垂直．命题2：勾股定理与折叠问题5．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设BE=DE=BF=x，AE=AD−DE=9−x，利用勾股定理建立方程x2=3【详解】解：由折叠的性质可得DE=BE，设BE=DE=x，AE=AD−DE=9−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得B∴x2解得x=5，∴BE=DE=BF=5，∴AE=AD−BE=4，∴S△BEA故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A,B重合，则折痕A．52cm B．154cm 【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出AB的长，再由折叠性质得到EA=EB，AD=DB=12AB=52cm，设【详解】解：∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3∴AB∴AB=5cm由折叠的性质可得EA=EB，AD=DB=1设AE=xcm，则BE=xcm，在Rt△BCE中，B∴32+即AE=25∴DE∴DE=15故选C．7．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC=8cm，宽AB=6cm，那么折叠后重合部分的面积是(A．48cm2 B．24cm2 C．【答案】C【分析】由矩形的性质易得DE=BE，那么可用DE表示出C′E，利用Rt△【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∵∠C∴∠ADB=∠EBD，∴DE=BE，∴C′∵C′∴62∴DE=25∴S△BDE故选：C．8．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，在CD边上取一点M，将△ADM折叠后点D恰好落在BC边上的点N处，则△MNC的面积为【答案】3【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形．设CM的长为x，由将△ADM折叠使点D恰好落在BC边上的点N可得Rt△ADM≌Rt△ANM，所以AN=5cm，MN=DM=4−x；在Rt△ABN中由勾股定理求得BN【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=5cm，CD=AB=4根据题意得：Rt△ADM≌∴∠ANM=90°，AN=AD=5cm，MN=DM设CM=xcm，则MN=DM=4−x在Rt△ABN中，由勾股定理得：A即42∴BN=3cm∴CN=BC−BN=5−3=2cm在Rt△MCN中，由勾股定理可得：M即4−x2∴x=3即CE=3∴△MNC的面积为12故答案为：329．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为线段AB的中点，连接CE，点F在边AD上，连接CF，将△CDF沿CF翻折得到△CGF，点G在线段CE上，则AF的长为【答案】16【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得BE=5，CB=12，得出CE=13，因为CD=CG=10，所以EG=CE−CG=3，连接EF，设FD=FG=x，即可得到答案．【详解】解：连接EF，∵BE=5，CB=12，∴CE=13，CD=CG=10，EG=CE−CG=3，连接EF，设FD=FG=x，可得方程：AF代入数值可得：(12−x)2解得x=20∴AF=12−20故答案为：16310．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．如图，如果点B′和点A【答案】7【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设CE=x，则BE=8−x，根据折叠的性质得到AE=BE=8−x，由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设CE=x，则BE=8−x，由折叠性质可得AE=BE=8−x，在Rt△AEC中，由勾股定理得A∴62解得x=7即CE的长为7411．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点D是AB边上一动点，过点D作DE⊥AB，交AC于点E，将△AED沿直线DE翻折，使点A落在AB边上的点F处，连接CF．当△FEC是直角三角形时，求出AD的长．【答案】2或4/4或2【分析】若△FEC是直角三角形，有两种情况：①当∠EFC=90°时，∠FCE=30°；②当∠FCE=90°时，点F，B重合．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=8．∵AE=FE，∠A=30°，∴∠CEF=2∠A=60°．若△FEC是直角三角形，有两种情况：①当∠EFC=90°时，∠FCE=30°．∵∠ACB=90°，∴∠BCF=60°．∴∠FCE=∠A，∠BCF=∠B．∴AF=FC=FB=1∴AD=DF=2．②当∠FCE=90°时，点F，B重合．∴AD=DF=1∴当△FEC是直角三角形时，AD的长为2或4．命题3：求梯子滑落高度12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子ABA．3m B．4m C．5m【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得AO⊥BO，AO=4m，BD=AC=1m，AB=CD，再设OB=xm，则OD=x+1m，利用勾股定理求出A【详解】解：由题意得：AO⊥BO，AO=4m，BD=AC=1m，∴OC=OA−AC=3m设OB=xm，则OD=OB+BD=∴AB2=A又∵AB=CD，∴AB2=C解得x=3，∴OB=3m∴AB=5m故选：C．13．如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑xm时，梯足B沿CB方向滑动ym，则x与y的大小关系是（A．x=y B．x>y C．x<y D．不确定【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．设AC=BC=am，利用梯子下滑过程中【详解】解：设AC=BC=am由勾股定理得：AB∴a2化简得：2ax−y∵x>0，y>0，∴x2∴2ax−y∵a>0，∴x−y>0，∴x>y．故选：B．14．七一快到了，为了庆祝建党一百周年，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m的墙上，则梯角应距墙角m．【答案】0.7【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【详解】梯脚与墙角距离，利用勾股定理得：2.52故填：0.7．【点睛】本题考查勾股定理的应用，通过实际场景，抽象出直角三角形，利用勾股定理求直角边长是解题关键．15．如图，一架消防梯AB的长为25米，斜靠在竖直的墙面OB上，消防梯底端A距墙面OB的水平距离为7米．(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？【答案】(1)24米(2)8米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．（1）由题意得，AB=25米，OA=7米，∠AOB=90°，据此利用勾股定理求出OB的长即可得到答案；（2）由题意得，OC=OB−4=20米，CD=AB=25米，据此利用勾股定理求出OD的长，进而求出AD的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，AB=25米，OA=7米，∠AOB=90°，∴OB=A答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为24米；（2）解：由题意得，OC=OB−4=20米，CD=AB=25米，∴OD=C∴AD=OD−OA=8米，答：底端A在水平方向滑动了8米．命题4：解决水杯中筷子问题16．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈=10尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（

）A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为x+2尺，由勾股定理可得x2【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为x+2尺，由题意得，x2解得x=8，∴水深为8尺，故选：C．17．将一根24cm长的筷子置于底面圆直径为15cm、高为8cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则A．ℎ≤17 B．7≤ℎ≤16 C．15≤ℎ≤16 D．ℎ≤8【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可．【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴ℎ最大如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，∴AB=A此时ℎ最小∴h的取值范围是7≤ℎ≤16，故选：B．18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=【答案】12【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC=x，则BD=BA=x+1【详解】解：设BC=x，则BD=BA=x+1∵AC=5，∠ACB=90°，∴x+12解得：x=12，即BC=12，故答案为：12．命题5：解决航海问题19．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（）A．70m B．80m C．90m D．100m【答案】D【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，AP=3×20=60m，BP=4×20=80【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，AP=3×20=60m，BP=4×20=80∴AB=A即20s后他们之间的距离为100m故选：D20．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（）A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里【答案】C【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得∠BAC=90°，再利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，离开港口3小时后，AB=16×3=48（海里），AC=12×3=36（海里），∴BC=A即甲、乙两轮船相距60海里，故选：C．21．一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12nmile/h的速度从港口A．12nmile B．16nmile C．20nmile【答案】C【详解】解：如图所示，设1h后两船的位置分别为B、C，则∠BAC=90°,AB=16×1=16nmile∴BC=A即1h后，两船相距20nmile故选：C．22．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距15海里，则乙轮船每小时航行海里．【答案】12【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，∴AO⊥BO，∴∠AOB=90°∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时，∴OA=9×1=12（海里），∵AB=15海里，在Rt△AOB中，OB=∴乙轮船平均每小时航行12÷1=12（海里）．故答案为：12．命题6：求河宽问题23．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点240m，结果他在水中实际游了510m，则该河的宽度为（

）A．300m B．400m C．450m D．480m【答案】C【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB=A∴该河流的宽度为450m故选：C．24．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF比河的宽度EH多2米，则河的宽度EH是（

）A．8米 B．12米 C．16米 D．24米【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知Rt△EFH为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH【详解】解：在Rt△EFH中，根据勾股定理得到HE即HE2解得EH=24，故选：D．25．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是米．【答案】15【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边AB的长度．【详解】解：根据题意可知BC=8米，设AB=x，则AC=x+2，在Rt△ABC中，由勾股定理得A即x+22解得x=15，∴该河的宽度AB为15米．故答案为：15．命题7：求台阶上地毯长度26．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是20cm，高度都是10cm，连接AB，则AB=（

）A．130cm B．140cm C．150cm【答案】A【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【详解】解：如图，由题意得：AC=10×5=50cm，BC=20×6=120cm∴AB=A故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．27．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（

）A．6m B．7m C．8m D．9m【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（m）．故选B．28．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为m，购买这种地毯至少需要元．【答案】7420【分析】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数．【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是52地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3+4=7(m)，则面积是2×7=14(m2)，总钱数是14×30=420（元）．故答案为：7；420．【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．命题8：判断汽车是否超速41．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，过了2s【答案】超速【分析】解直角三角形ABC，求出BC，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．【详解】∵△ACB是直角三角形，AB=50m∴BC∴BC=40m∴40÷2=20(m/s∵72>70，∴这辆小汽车超速了．42．某条道路限速60km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方5m的B处，过了1s，小汽车到达C(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)12(2)未超速【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决．（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．【详解】（1）解：根据题意，得AB=5m，AC=13由勾股定理，得BC∴BC=13故BC的长为12m（2）解：12÷1=12m∵60km∴这辆小汽车未超速．命题9：判断是否受台风影响29．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向104km的B处，正以16km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD=40km，如果在距台风中心50km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A．154 B．158 C．6 【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在Rt△ADE和Rt△ABD中，利用勾股定理求出【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时AE=50km在Rt△ADE中，AD⊥BD，AD=40∴DE=A在Rt△ABD中，AD⊥BD，AB=104∴BD=A∴BE=BD−DE=96−30=66km6616即A市经过338故选：D30．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km,BC=400km(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为25km/h【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2)8小时【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．（1）过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港是否受台风影响；（2）在直线AB取点E，F使CE=CF=260km，则台风中心在线段EF上时，影响C港口，利用勾股定理得出DE的长，可得到EF【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=300km∴AC∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴S△ABC∴12解得：CD=240km∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，且CD∴海港C受台风影响；（2）解：如图，在直线AB上取点E，F使CE=CF=260km，则台风中心在线段EF上时，影响C∵CD⊥AB，∴EF=2DE，∴ED=E∴EF=2ED=200km∵台风中心的移动速度为25km/h∴200÷25=8小时．即台风影响该海港持续的时间为8小时．31．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处C需要小型爆破，经测量，已知点C与公路上的停靠站A的距离为30米，与公路上的另一停靠站B的距离为40米．且CA⊥CB．为了安全起见，已知进入爆破点C周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？答：．【答案】需要封锁【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由SΔABC=【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°，∴AB=A∵SΔ∴CD=BC⋅AC∵24米＜25米，∴有危险，公路AB段需要暂时封锁．故答案为：需要封锁命题10：选址问题32．某地区要在公路AB上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知AB=18km，DA=9km，CB=15km．DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点BA．10km B．11km C．12km【答案】D【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在Rt△DABE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等，∴CE=DE，在Rt△DABE和Rt△CBE中，DE∴AD设AE为xkm，则BE=将BC=15，DA=9代入关系式为x2解得x=13，∴蔬菜批发厂E应建在距A点13km故选：D．33．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？(2)求∠CED的度数．【答案】(1)0.5(2)90°【分析】（1）设AE=xkm，则BE=2.2−xkm，根据勾股定理将D（2）根据SSS证明△AED≌△BCE，则可得∠AED=∠BCE，由∠BCE+∠BEC=90°可得∠AED+∠BEC=90°，进而可得∠CED=90°．本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键．【详解】（1）解：在Rt△AED中，D在Rt△BEC中，C∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，∴DE=CE．设AE=xkm∵AB=2.2km∴BE=2.2−x∵AD=1.7km，BC=0.5∴1.72解得x=0.5，∴游客服务中心应建在距点A0.5km（2）解：由（1）可知AE=0.5km，BE=2.2−0.5=1.7km，∵AD=1.7km，BC=0.5∴AE=BC，AD=BE．在△AED和△BCE中，AE=BCAD=BE∴△AED≌△BCESSS∴∠AED=∠BCE．∵∠B=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠CED=180°−∠AED+∠BEC34．在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求新路CH比原路CB，CA各少多少千米？【答案】新路CH比原路CB少0.6千米，比原路CA少0.1千米．【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得BC=CH2+HB2=【详解】解：∵CH⊥AB，∴∠CHA=∠CHB=90°，∴BC=C设AB=AC=x千米，则AH=AB−HB=x−1.8∵AC∴x2解得：x=2.5，∴AB=AC=2.5千米，∴新路CH比原路CB少3−2.4=0.6（千米），比原路CA少2.5−2.4=0.1（千米），答：新路CH比原路CB少0.6千米，比原路CA少0.1千米．命题11：最短路径问题35．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（

）A．23 B．17 C．15 D．13【答案】B【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【详解】解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为3+2×3=15则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，即82故选：B34．圆柱的底面直径为16π，BC=12，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则点P移动的最短路径长为（

A．10 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】本题考查勾股定理—最短路径问题，将立体图形展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，将圆柱体的侧面展开如图，则AS即为所求，由题意，得：AB=12×π×16π由勾股定理，得：AS=A故选A．35．小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱状粮仓模型．如图，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为cm．【答案】30【分析】本题考查了圆柱侧面展开、勾股定理及最短路径问题，核心在于将空间问题转化为平面几何问题，通过圆柱侧面展开为矩形，利用勾股定理计算从A到C的最短路径长度，最终得出装饰带的总长度．解题的关键是理解圆柱侧面展开后的几何关系，并准确应用勾股定理进行计算．根据圆柱侧面展开图是矩形，利用“两点之间线段最短”结合勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿AB剪开并展开，得到一个长方形，则AC=A'CAB=12cm，AA'在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC=∴AC+A故答案为：30．36．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走米，踏之何忍”．【答案】4【分析】根据勾股定理求得BD的长，用BC+CD−BD即可求解【详解】解：在Rt△BCD中，BC=12,CD=5∴BD=则BC+CD−BD=12+5−13=4（米）故答案为：4【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求得BD的长是解题的关键．命题12：勾股定理逆定理的应用37．体育公园边有一块如图所示的地，其中∠ADC=90°，AD=12m,CD=9m,AB=39mA．216 B．270 C．432 D．540【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出AC=AD2+CD2=15【详解】解；如图所示，连接AC，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=∵AB=39m∴AC∴AC∴∠ACB=90°，∴这块地的面积=S故选：A．38．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB．则这块草坪的面积是（

）A．36m2 B．26m2 C．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断△ACD是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．【详解】解：连接AC，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，∵CD=13米，DA=12米，∴AC∴△ACD为直角三角形，∴这块草坪的面积=S故选：A．39．山青林场准备对一块四边形空地ABCD进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB=15m,CD=8m,AD=17m，从点A修一条垂直BC的小路AE(垂足为点E)，AE=12(1)求BC边的长；(2)求空地ABCD的面积．【答案】(1)18(2)168【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．(1)利用勾股定理求出BE即可求解；(2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得AC=AB=15m，进而由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，再根据S【详解】（1）解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴△ABE是直角三角形，在Rt△ABE中，AB=15m由勾股定理得：BE=A∵E是BC的中点，∴BC=2BE=18m（2）如图，连接AC，∵AE⊥BC，E是BC的中点，∴AE是BC的垂直平分线，∴AC=AB=15m∵AD=17m∴CD即CD∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴S四边形答：空地ABCD的面积为168m40．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5km，CH=1.2km，(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；(2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路CA少多少千米？【答案】(1)是，见解析(2)0.1千米【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠CHB=90°，根据垂线段最短，即可得出结论；（2）先求出∠CHA=90°，再利用勾股定理求出AC的长度，减去CH的长度即可．本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【详解】（1）解：CH是村庄C到河边最近的路；理由如下：∵CH2+H∴CH∴△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，∵垂线段最短，∴CH是村庄C到河边最近的路；（2）解：∵∠CHB=90°，∴∠CHA=90°，∴AC∴AC=A∴AC−CH=0.1km，答：新路CH比路CA少0.1千米．针对训练：1．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为A．4.5cm B．5cm C．5.5cm【答案】A【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出AC=13cm，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在5【详解】解：根据题意可得图形：AB=18−6=12(cm)，BC=5在Rt△ABC中，AC=∴18−13=5cm则这只铅笔在笔筒外面部分长度在5cm观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．2．某校的长方形水泥操场的示意图如图所示．如果一名学生要从A角走到C角，那么至少要走（

）A．140m B．120m C．100m【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．根据勾股定理解答即可．【详解】解：在长方形ABCD，AB=60m根据题意得：要从A角走到C角，至少要走AC=A故选：C3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE:CB的值是（

）A．247 B．73 C．724【答案】C【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得AB=10，由折叠的性质可得BE=AE,BD=AD=5，设AE=BE=x，则CE=8−x，然后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：由题意，得AB=6由翻折的性质得BE=AE,BD=AD=5，设AE=BE=x，则CE=8−x，在直角三角形BCE中，BC即36+(8−x)解得x=25∴CE=7∴CE:CB=7故选：C．4．如图是长方形纸片ABCD，已知AB=8,BC=12，现将纸片折叠，使点D落在BC边上的点M处，且CM=4，折痕为EF，则AE的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．1.5【答案】B【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点E作EG⊥BC于点G，设AE=x，利用折叠性质，结合已知条件可得EG=AB=8，EM=ED=12−x，MG=12−4−x，在Rt△EGM中，利用勾股定理列方程求解x【详解】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，设AE=x，则EG=AB=8，EM=ED=12−x，MG=12−4−x，在Rt△EGM中，由勾股定理得E∴12−x∴x=2，∴AE=2．故选：B．5．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=A′B′,AB⊥B′C于点C，A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设AC的长度为x尺，则AB′=AB=【详解】解：设AC的长度为x尺，则AB在Rt△AB′C即x2解得：x=3.75，即AC的长度为3.75尺，故选：B．6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形【答案】D【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键．利用勾股定理逆定理，进行判断即可．【详解】解：根据32故选：D．7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A．11cm B．12cm C．13cm【答案】C【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点A关于EQ的对称点C，过点C作CD⊥NQ的交NQ的延长线于点D，连接BC交EQ于点F，根据两点之间线段最短，可知最短路径为BC，最后利用勾股定理解答即可．【详解】解：将圆柱侧面展开，作点A关于EQ的对称点C，过点C作CD⊥NQ交NQ的延长线于点D，连接BC交EQ于点F，如图所示：∴AF=CF，AE=CE，∴蚂蚁吃到饭粒的路径为AE+BF=CF+BF=BC，此时路径最短，∵透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3∴AE=CE=3cm，MN=EQ=CD=12×10=5cm∴BQ=QN−BN=12−3=9cm∵∠D=90°，∴BC=C∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是13cm故选：C．8．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AB水平放置，则刚好与AD一样长，已知滑梯的高度BC=3m，CD=1m，BC⊥AD，则滑梯的水平距离AC的长度为【答案】4【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，结合图形中的等量关系列出方程求解．设滑梯的水平距离AC的长度为x米，由CD=1米可得AD=x+1米；因为将滑梯AB水平放置与AD一样长，所以AB=AD=x+1米；在直角三角形ABC中，根据勾股定理【详解】设滑梯的水平距离AC的长度为x米．因为CD=1米，所以AD=AC+CD=x+1又因为将滑梯AB水平放置与AD一样长，所以AB=AD=x+1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3米，根据勾股定理Ax+1展开方程得：x移项化简得：2x=8解得x=4．故答案为：4．9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东35°方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西55°方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为海里．【答案】25【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断△RPQ为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度．【详解】解：由题意知，∠RPQ=55°+35°=90°，∴△RPQ为直角三角形，∵RP=1×7=7（海里），QP=1×24=24（海里），∴RQ=R即“远航”号与“海天”号的距离为25海里，故答案为：25．10．折叠矩形纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB，CD于点E，F，若AD=4cm，AB=10cm【答案】5.8【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到EB=ED，设EB=ED=x，利用勾股定理得到AE【详解】解：根据题意得，EB=ED，∴设EB=ED=x，∵AB=10cm∴AE=10−x，∵∠A=90°，∴在Rt△ADE中，即10−x2解得：x=5.8，∴DE=5.8，故答案为：5.8．11．如图，在直角三角形△ABC中，∠C=90°，把△ABC沿直线DE折叠，点A与点B重合；若AD=5,BC=6，则CE的长为．【答案】7【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．由勾股定理求出AC=8，设CE=x，则AE=BE=8−x，然后在Rt△BCE【详解】解：∵把△ABC沿直线DE折叠，∴AD=BD=5，∴AB=AD+BD=10，∵∠C=90°，∴AC=A设CE=x，则AE=BE=8−x，在Rt△BCE中，CE2解得：x=7∴CE=7故答案为：7412．如图，在△ABC中，AC=10，AD平分∠BAC，E、F分别是AB、AD上的动点．若S△ABC=40，则BF+EF的最小值为【答案】8【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识得到BE+EF的最小值为BH的长是解题的关键．在AC上取一点E′，使AE′=AE，连接EF′，BE′，过点B作【详解】解：如图，在AC上取一点E′，使AE′=AE，连接EF′，∵AD平分∠BAC，∴点E′与点E关于直线AD∴FE∴BF+EF=BF+FE即BF+EF的最小值为BH的长，∵AC=10，S△ABC∴12解得BH=8，∴BF+EF的最小值为8，故答案为：8．13．某条高速公路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A(1)求AB的长．(2)这辆大巴车超速了吗?【答案】(1)120(2)大巴车超速了【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键．（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求出AB（2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果．【详解】（1）解：由题意可知，BC=50m，AC=130∴AB=A（2）由（1）得：大巴车的速度为120÷4=30m/s=108km/h∵108km/h∴大巴车超速了．14．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积；(2)∠BCD是直角吗？【答案】(1)35(2)∠BCD是直角【分析】本题考查了网格图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键．（1）连接BD，利用勾股定理求出AB、BC、CD、（2）根据勾股定理的逆定理判断出△BCD为直角三角形，进而可得出结论．【详解】（1）解：连接BD，∵BD=32+42∴BD∴∠BDA=90°．∵BC=22+42∴BC∴∠BCD=90°，∴四边形ABCD