北师大版数学 专题02 相交线与平行线暑假复习 学案 含答案

专题02相交线与平行线内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1求一个角的余角、补角题型2利用对顶角、余角、补角、直角求角题型3点到直线的距离与垂线段最短题型4对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别题型5平行线的判定和性质多结论题题型6平行线的性质在生活中的应用题型7平行线的判定和性质综合问题题型8平行线的判定与性质中拐点问题题型9根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.对顶角、邻补角性质及计算。2.垂线：定义、垂线段最短。3.三线八角：同位角、内错角、同旁内角识别。4.平行线：判定与性质的应用。5.尺规作图：作一个角等于已知角。1.强化几何推理起步：从直观感知转向演绎论证，重点考查简单几何命题的逻辑推理与规范表达。2.聚焦核心关系判定：突出“三线八角”的识别，以及在复杂图形中灵活选用平行线的判定与性质。3.融入跨学科情境：结合光线传播、工程制图、折叠问题等考查角度计算与平行条件。4.重视作图与综合应用：新增尺规作图作一个角等于已知角，并与垂直、角平分线综合考查。考情解码：根据2026年新教材考情，第二章《相交线与平行线》已从简单识图进阶为规范化的几何推理入门。命题重点考查对顶角、邻补角及“三线八角”的准确辨析，核心是平行线的判定与性质在证明或计算中的交替使用。高频题型包括折叠问题、借助三角尺拼图，以及结合生活情境（如光线反射）求角度，同时重视“尺规作等角”的操作考查。知识点一对顶角、余角、补角1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.2.对顶角的性质：对顶角相等.3.互补与互余的概念互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.【易错警示】-对顶角：必须由相交直线形成，相等的前提是角的两边互为反向延长线，勿把邻补角当对顶角。-余角/补角：只与角度数有关（和为90°/180°），与位置无关；注意区分“互余/互补”与“邻补角”概念。即时即练如图，已知点O为直线上一点，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．知识点二垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.特别提醒：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.【易错警示】-垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，勿忘“在同一平面内”。-点到直线距离：是指垂线段的长度，不是线段本身；必须垂直，不能随意作斜线段当距离。即时即练如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题：(1)作射线；(2)连接，交于点；(3)过点作于点；(4)点到的距离是线段______的长度；(5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______．知识点三同位角、内错角与同旁内角角的名称位置特征图形结构特征同位角既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）内错角既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开”形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）同旁内角既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间.形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）【易错警示】-识别关键：看两角是否由截线与两条被截线形成，勿只看位置像。-注意前提：只有在“三线八角”图中讨论；两线不平行时，三类角仍存在，但无相等或互补关系。即时即练如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（

）

A．与互余 B．与是同位角C．与不是对顶角 D．与是同位角知识点四平行线的判定和性质1.平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.2.平行线的画法一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.3.平行线的公理（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.4.平行线的判定判定方法1判定方法2判定方法3两条直线平行的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行符号语言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD5.平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角角相等.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.【易错警示】-判定：由角的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）得平行，勿用性质证判定。-性质：已知平行得角的关系。两者不可混淆因果，且注意前提是“两直线平行”时性质才成立。即时即练1．如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（

）A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③2．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间．【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由．【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M．（1）若，则的大小为________度；（2）若，则的大小为________度．题型1求一个角的余角、补角例1．若，则余角的度数为__________．例2．已知，则的补角大小为_________________．【技巧总结】两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。【变式训练1-1】（1）_____；（2）角的余角是_____，补角是______．【变式训练1-2】已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大，则______．题型2利用对顶角、余角、补角、直角求角例3．如图1，与互为补角，，且．(1)求的度数；(2)如图2，若平分，平分，求的度数．例4．如图，已知点O为直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【技巧总结】先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。【变式训练2-1】如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，．(1)若，满足，则，，与的特殊关系是；(2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由；(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数．【变式训练2-2】设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”．(1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；(2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值；(3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值．题型3点到直线的距离与垂线段最短例5．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为米．例6．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是，测量点P到直线l的距离是（精确到）．【技巧总结】点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。【变式训练3-1】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为，点A到直线的距离为，点C到直线的距离为．【变式训练3-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．(1)作线段，作射线；(2)点到直线的距离为线段________的长度；(3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________．题型4对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别例7．下列图形中，与是内错角的是（）A．B．C．D．例8．下列图形中，与不属于同位角的是（

）A． B． C． D．【技巧总结】对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。【变式训练4-1】如图，下列说法正确的是（

）A．和是内错角 B．和是对顶角C．和是同位角 D．和是同旁内角【变式训练4-2】滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型5平行线的判定和性质多结论题例9．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．当时，例10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：①；

②；

③；④设，则；⑤其中，正确的有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤【技巧总结】先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。【变式训练5-1】如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练5-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④题型6平行线的性质在生活中的应用例11．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则．例12．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为．【技巧总结】将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。【变式训练6-1】如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为．【变式训练6-2】为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为．题型7平行线的判定和性质综合问题例13．如图，，与交于点．(1)若，求的度数；(2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由．例14．如图，直线的平分线交于点P．(1)求证：．(2)若，求的度数．(3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数．【技巧总结】先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。【变式训练7-1】如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D．(1)______．(2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由．【变式训练7-2】在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：【探究一】如图①，已知，测得，求的度数；【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由；【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数．题型8平行线的判定与性质中拐点问题例15．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）．(1)若点在线段上．①如图1，若为钝角，，求的度数；②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由．(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．例16．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、．【探索发现】：(1)如图1，若，写出与的数量关系：______；【深入探究】：(2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系．【技巧总结】从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。【变式训练8-1】已知射线射线，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E．(1)在图1中，当点P运动到线段上时，．①直接写出的度数______；②求证：；(2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明；(3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系．【变式训练8-2】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上．【初步感知】(1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________；【问题探究】(2)如图②，若，点B，D为直线和直线上任意一点，探究、与的数量关系．并说明理由．(3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺的顶点作，平分平分，则=°；【拓展延伸】(4)如图④，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点F在直线CD的上方时，直接写出与之间存在的数量关系．题型9根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题例17．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒．(1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；(2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值．例18．如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒．(1)当旋转时间为秒时，求的度数；(2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值；(3)当旋转时间秒时，直接写出时的值．【技巧总结】1.定基准：以入射光线或镜面为参照，标出角度关系。2.用平行：光线反射可转化为角相等，结合平行线的同位角、内错角相等或同旁内角互补建立方程。3.旋转归角：物体旋转角度等于方向角变化量，常与平行线中的“拐点”模型结合，作辅助平行线求解。【变式训练9-1】如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点．(1)求证：；(2)试判别和的大小关系，并说明理由；(3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值．【变式训练9-2】如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．(1)求的度数．(2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．

在旋转过程中，若边，求t的值；如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值．1．下列图形中，与是对顶角的是（

）A． B． C． D．2．如图，直线，相交于点，，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（

）．A． B． C． D．4．如图，，为上一点，且，垂足，，平分，且，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．②④5．若，则的补角的度数为______．6．如图，工人准备从河岸的点出发向河对岸搭桥，、、、是计划的四种搭桥方案，其中，若要使搭建的桥梁最短，则应该沿线段________进行桥梁搭建．（填“”“”“”或“”）7．如图，点O是直线上一点，是一条射线，且，若过点O作射线，使，则的度数为______．8．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______．9．如图，直线，交于点，已知，在右侧，．(1)若，求的度数；(2)若，试说明与互余．10．如图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，，．(1)若，则的度数为多少？(2)若，求的值．11．已知．(1)如图1，若，，求的度数．(2)如图2，，，的平分线交于点．①求的度数．②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数．12．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：___________；(2)若灯射线先转动20秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图2，两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束与射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

专题02相交线与平行线内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1求一个角的余角、补角题型2利用对顶角、余角、补角、直角求角题型3点到直线的距离与垂线段最短题型4对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别题型5平行线的判定和性质多结论题题型6平行线的性质在生活中的应用题型7平行线的判定和性质综合问题题型8平行线的判定与性质中拐点问题题型9根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.对顶角、邻补角性质及计算。2.垂线：定义、垂线段最短。3.三线八角：同位角、内错角、同旁内角识别。4.平行线：判定与性质的应用。5.尺规作图：作一个角等于已知角。1.强化几何推理起步：从直观感知转向演绎论证，重点考查简单几何命题的逻辑推理与规范表达。2.聚焦核心关系判定：突出“三线八角”的识别，以及在复杂图形中灵活选用平行线的判定与性质。3.融入跨学科情境：结合光线传播、工程制图、折叠问题等考查角度计算与平行条件。4.重视作图与综合应用：新增尺规作图作一个角等于已知角，并与垂直、角平分线综合考查。考情解码：根据2026年新教材考情，第二章《相交线与平行线》已从简单识图进阶为规范化的几何推理入门。命题重点考查对顶角、邻补角及“三线八角”的准确辨析，核心是平行线的判定与性质在证明或计算中的交替使用。高频题型包括折叠问题、借助三角尺拼图，以及结合生活情境（如光线反射）求角度，同时重视“尺规作等角”的操作考查。知识点一对顶角、余角、补角1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.2.对顶角的性质：对顶角相等.3.互补与互余的概念互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.【易错警示】-对顶角：必须由相交直线形成，相等的前提是角的两边互为反向延长线，勿把邻补角当对顶角。-余角/补角：只与角度数有关（和为90°/180°），与位置无关；注意区分“互余/互补”与“邻补角”概念。即时即练如图，已知点O为直线上一点，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义：（1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解；（2）根据与互余求出即可求解．【详解】（1）解：，，，平分，；（2）解：与互余，，，∴；知识点二垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.特别提醒：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.【易错警示】-垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，勿忘“在同一平面内”。-点到直线距离：是指垂线段的长度，不是线段本身；必须垂直，不能随意作斜线段当距离。即时即练如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题：(1)作射线；(2)连接，交于点；(3)过点作于点；(4)点到的距离是线段______的长度；(5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)(5)，两点之间线段最短．【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法．（1）根据射线的画法作图即可；（2）根据线段的画法作图即可；（3）根据垂线的画法作图即可；（4）根据垂线的长度求解即可；（5）根据线段的性质求解即可．【详解】（1）解：射线如图1所示，（2）解：连接，交于点，如图2所示，（3）解：过点作于点，如图3所示，（4）解：点到的距离是线段的长度；故答案为：；（5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短．故答案为：；两点之间线段最短．知识点三同位角、内错角与同旁内角角的名称位置特征图形结构特征同位角既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）内错角既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开”形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）同旁内角既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间.形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）【易错警示】-识别关键：看两角是否由截线与两条被截线形成，勿只看位置像。-注意前提：只有在“三线八角”图中讨论；两线不平行时，三类角仍存在，但无相等或互补关系。即时即练如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（

）

A．与互余 B．与是同位角C．与不是对顶角 D．与是同位角【答案】D【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可．【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误；B、与是同旁内角，故原题说法错误；C、与是对顶角，故原题说法错误；D、与是同位角，故原题说法正确；故选：D．知识点四平行线的判定和性质1.平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.2.平行线的画法一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.3.平行线的公理（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.4.平行线的判定判定方法1判定方法2判定方法3两条直线平行的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行符号语言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD5.平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角角相等.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.【易错警示】-判定：由角的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）得平行，勿用性质证判定。-性质：已知平行得角的关系。两者不可混淆因果，且注意前提是“两直线平行”时性质才成立。即时即练1．如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（

）A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是明确平行线的判定方法．根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意．【详解】解：，，不能判断，故①不符合题意；，，故②符合题意；，，，故③符合题意；，，不能判断，故④不符合题意；∴能判断的是②或③，故选：D．2．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间．【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由．【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M．（1）若，则的大小为________度；（2）若，则的大小为________度．【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20；（2）30【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键．【探究】根据平行线性质即可求证；【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解；（2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可．【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下：，，又，，，，；解：【迁移】（1）∵，，∴，∴，∵∴∴∵平分∴故答案为：20；（2）∵，，∴，∴，∵∴∵∴∴∴解得：∴故答案为：30.题型1求一个角的余角、补角例1．若，则余角的度数为__________．【答案】20【分析】本题考查余角的定义，两个角的和为则互为余角，因此用减去已知角的度数即可求解．【详解】解：∵，∴的余角．故答案为：20．例2．已知，则的补角大小为_________________．【答案】【分析】根据补角的性质即可求解．【详解】解：的补角大小为．【技巧总结】两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。【变式训练1-1】（1）_____；（2）角的余角是_____，补角是______．【答案】/78.9度/54度/144度【分析】本题考查角度的换算，余角和补角的有关计算．利用度分换算关系，将分转换为度后相加；根据余角和补角的定义直接计算．【详解】解：（1）；（2）角的余角是，补角是，故答案为：；；．【变式训练1-2】已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大，则______．【答案】70【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义；【详解】解：设的度数为，则的度数为，根据补角的定义，的补角为；根据余角的定义，的余角为，由题意列方程：去括号得：合并同类项得：移项得：解得：则故答案为：70.题型2利用对顶角、余角、补角、直角求角例3．如图1，与互为补角，，且．(1)求的度数；(2)如图2，若平分，平分，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，以及，即可求解；（2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵与互为补角，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴．例4．如图，已知点O为直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可；（2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解．【详解】（1）解：因为点O为直线上一点，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，所以；（2）由（1）知，因为与互余，所以，因为，所以，因为，所以．【技巧总结】先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。【变式训练2-1】如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，．(1)若，满足，则，，与的特殊关系是；(2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由；(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数．【答案】(1)；；互补(2)与仍互补，理由见解析(3)或【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想．（1）先由非负数的性质得出，，进而得，再由圆周角的性质得，再根据互补的定义即可得出结论；（2）分别用，表示出与，再将两角相加，即可得出结论；（3）根据和是否在内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴且，∴，，∴，，∴，∴，∴与的特殊关系是互补．（2）解：仍具有．理由如下：将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，有，，∵，∴，即将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，与的特殊关系是互补；（3）解：在（1）的条件下，，，当和都在外部时，如图1，此时，不可能与互余；当和都在外部时，如图，此时，不可能与互余；当和都在内部时，如图，∴，不满足与互余；当在内部，在外部时，如图，∴，，∵与互余，∴，即，∴，∴；当在外部，在内部时，如图，∴，，∵与互余，∴，即，∴，∴；综上所述，的度数为或．【变式训练2-2】设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”．(1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；(2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值；(3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值．【答案】(1)，不是(2)(3)或【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”；（）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解；（）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解．【详解】（1）解：如图，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴，不是一对“分补角”；（2）解：∵，平分，平分，∴，，∴，∵，是一对“分补角”，∴，即，解得；（3）解：∵平分，平分，且在内部，∴，，∴，如图，当时，则，∴；如图，当时，则；综上，的可能值为或．题型3点到直线的距离与垂线段最短例5．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为米．【答案】【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解．【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米．故答案为：例6．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是，测量点P到直线l的距离是（精确到）．【答案】【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键．由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可．【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，测量值为，故答案为：，．【技巧总结】点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。【变式训练3-1】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为，点A到直线的距离为，点C到直线的距离为．【答案】43【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中．根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可．【详解】解：∵，∴A，B两点之间的距离为，∵，，∴点A到直线的距离为的长，即，∵，，∴点C到直线的距离为的长，即．故答案为：4；；3【变式训练3-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．(1)作线段，作射线；(2)点到直线的距离为线段________的长度；(3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________．【答案】(1)见解析(2)(3)两点之间线段最短【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键．（1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可；（2）根据可得点到直线的距离为线段的长度；（3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为．【详解】（1）连接，连接并延长，即得．（2）点到直线的距离为线段的长度故答案为：（3）连接，交BD于点，则，当点O运动到上时，，最小，则，最小．故答案为：两点之间线段最短．题型4对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别例7．下列图形中，与是内错角的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义．根据内错角的定义，逐项进行判断即可．【详解】解：A.该选项与是同位角，不符合题意；B.该选项与是内错角，符合题意；C.该选项与是同旁内角，不符合题意；D.该选项与不是内错角，不符合题意；故选：B．例8．下列图形中，与不属于同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义．【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义；选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义；选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角；选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义；故选：C．【技巧总结】对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。【变式训练4-1】如图，下列说法正确的是（

）A．和是内错角 B．和是对顶角C．和是同位角 D．和是同旁内角【答案】A【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义．根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可．【详解】解：A选项，和是内错角，故正确；B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误；C选项，和是同位角，和是同位角，故错误；D选项，和是同旁内角，故错误．故选：A．【变式训练4-2】滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题．【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确．②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确．③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误．④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确．综上：正确的有①②④，共个．故选：C．题型5平行线的判定和性质多结论题例9．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．当时，【答案】D【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答．【详解】解：依题意，得，，∵，∴，故A选项不符合题意；过点作，如图所示：∴，∴，∴，，∴，∴，则，∵，∴，∴，故B选项不符合题意；∵，，∴∴，故C选项不符合题意；∵，且，∴，∵，，∴，∴故D选项符合题意；故选：D．例10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：①；

②；

③；④设，则；⑤其中，正确的有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤【答案】C【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出．【详解】解：∵平分，∴；故①正确；∵，∴，∴；故②正确；∵，∴，∵平分，∴，∴；故③正确；∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴；故④错误；设，则：，由④可知：，∴，∴，∴，∴；故⑤正确．综上，正确的有①②③⑤．【技巧总结】先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。【变式训练5-1】如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键．由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断．【详解】解：∵，，即，，所以③正确；∵，∴，∵平分，∴，∴∵，，∴，∵，，∴平分，即①正确；∵平分，∴，∴∴，即②正确；时，，∴，∴，∵，而，，∴，∴．故④错误．综上，正确的结论有①②③，共3个．故选C．【变式训练5-2】如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④【答案】C【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答．【详解】解：延长交于，，，，，，平分，，，，，，，，，故①错误；②正确；，，，故③正确；平分，，，，，故④不一定正确．其中正确结论的是②③，故选：C．题型6平行线的性质在生活中的应用例11．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则．【答案】/度【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解．【详解】解：如图，∵，∴，∴故答案为：．例12．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为．【答案】/度【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案．【详解】解：，，，，，．故答案为：．【技巧总结】将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。【变式训练6-1】如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为．【答案】125°/125度【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键．如图：过点C作，过点D作，根据得出，再根据平行线的性质求出的度数，进而完成解答．【详解】解：如图：过点C作，过点D作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【变式训练6-2】为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为．【答案】/10度【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．题型7平行线的判定和性质综合问题例13．如图，，与交于点．(1)若，求的度数；(2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等；（1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解；（2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证；掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，由（1）可知，，，．例14．如图，直线的平分线交于点P．(1)求证：．(2)若，求的度数．(3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数．【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算．（1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论；（2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数；（3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果．【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴，∴．（2）解：设，∴，由（1）知，，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得，∴的度数为．（3）解：∵平分，，∴，∴，由题意得，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【技巧总结】先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。【变式训练7-1】如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D．(1)______．(2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)数量关系不变，，理由见解析(3)直角三角形；理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键．（1）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得到，则可得到，据此可得答案；（2）根据平行线的性质可得，，则由角平分线的定义可得，据此可得结论；（3）由平行线的性质和已知条件可得，则可证明，则由角平分线的定义可得．求出，据此可得结论．【详解】（1）解：，．，．又平分，平分，．又，；故答案为；（2）解：数量关系不变，，理由如下：，，，平分，，；（3）解：是直角三角形，理由如下：，，．，∴，即．分别平分和，，．．，，．．，故是直角三角形．【变式训练7-2】在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：【探究一】如图①，已知，测得，求的度数；【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由；【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数．【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】．【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键．【探究一】根据平行线的性质即可得答案；【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案；（3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案．【详解】解：[探究一]∵，，∴，∵，∴，∵，∴．[探究二]如图，过点作，过点作，∵，∴，∴，，，∴，即，∴[探究三]如图，过点作，交于，，∴，，，，∵、的角平分线并相交于点，∴，，由（2）可知，，∴，∴，∴．题型8平行线的判定与性质中拐点问题例15．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）．(1)若点在线段上．①如图1，若为钝角，，求的度数；②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由．(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)【分析】（1）①作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案；②作，同①可得；（2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解．【详解】（1）解：①如图，作，，，，，，，，，，；②，理由如下：如图，作，，，，，，，，，，；（2）解：．证明：如图，作，，，，，，，，，，；例16．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、．【探索发现】：(1)如图1，若，写出与的数量关系：______；【深入探究】：(2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系．【答案】(1)(2)与之间的数量关系为，理由见解析(3)【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分．（2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证．（3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证．【详解】（1）解：过点F作，，，，，．（2）解：设，与是对顶角，，，，，又，，，．（3）∵，∴设，过点M作，，，∴，∴，∴，又∵，∴．【技巧总结】从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。【变式训练8-1】已知射线射线，P为一动点，平分，平分，且与相交于点E．(1)在图1中，当点P运动到线段上时，．①直接写出的度数______；②求证：；(2)当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明；(3)当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系．【答案】(1)①；②见解析(2)，见解析(3)不成立，【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据角的和差即可得；②由①即可证明；（2）过点作，过点作，由（1）得，同理可得，进而求解即可；（3）过点作，过点作，先根据（1）得，再根据平行线的性质得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．【详解】（1）解：①如图，过点作，，且点运动到线段上，，平分，平分，，∵，，，，，；②由①可得，；（2）解：猜想，证明如下：如图，过点作，过点作，由（1）得：，同理可得：，；（3）解：，证明如下：如图，过点作，过点作，由（1）得：，即，∵，，即，，，，即，，，，，即．【变式训练8-2】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上．【初步感知】(1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________；【问题探究】(2)如图②，若，点B，D为直线和直线上任意一点，探究、与的数量关系．并说明理由．(3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺的顶点作，平分平分，则=°；【拓展延伸】(4)如图④，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点F在直线CD的上方时，直接写出与之间存在的数量关系．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)45(4)【分析】（1）根据对顶角相等得到，再由同旁内角互补证明直线平行即可；（2）如图：过作，则，由平行线的性质可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答；（3）利用（2）的结论可得，再根据角平分线的定义得到，再利用（2）的结论可得即可解答；（4）设．如图，过点F作．易得可得，再利用角的和差以及等量代换即可解答．【详解】（1）解：，证明如下：，，∴．（2）解：，理由如下：如图：过作，∵，∴，∴，∵，∴．（3）解：由（2）的结论可得：，∵平分平分，∴，∴，利用（2）的结论可得：．（4）解：设．如图，过点F作．∵，∴．．．，．，∴与之间存在的数量关系．题型9根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题例17．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒．(1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；(2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值．【答案】(1)t；(2)45【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论．（1）根据题意求出和即可；（2）过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可【详解】（1）解：∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，∴；；故答案为：t，；（2）解：过点H作，如图所示：∵，∴，∴，，∵，∴，即．解得．例18．如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒．(1)当旋转时间为秒时，求的度数；(2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值；(3)当旋转时间秒时，直接写出时的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；（1）根据题意可得，即可求解；（2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解；（3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：当时，；（2）解：∵，∴．如图，过点作，∴．∵,∴．∴．又∵，∴．解得：,（3）解：如图，设射线交于点，∵，∴，又∵，∴，∴，当时，顺时针旋转，∴，∴，解得：．当时，逆时针旋转，∴，∴，解得：．综上所述，或．【技巧总结】1.定基准：以入射光线或镜面为参照，标出角度关系。2.用平行：光线反射可转化为角相等，结合平行线的同位角、内错角相等或同旁内角互补建立方程。3.旋转归角：物体旋转角度等于方向角变化量，常与平行线中的“拐点”模型结合，作辅助平行线求解。【变式训练9-1】如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点．(1)求证：；(2)试判别和的大小关系，并说明理由；(3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值．【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析；(3)或．【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解；（2）先通过运算角得出和，再比较即可求解；（3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可．【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线，∴，．∵，∴，，，，，∴．（2）∵直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴．∵由（1）得，即，∴，∴，∴．∴．（3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，∴设，，∵射线旋转一周时，全部停止运动，∴，∴，∴．∵由（1）得，且，∴．∴，∴，，∵、分别为、的角平分线，∴，，∴，．∵，∴，．①如图，，即，，，即，∴∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，；②如图，，即，，，即，∴，∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，（舍）；③如图，，即，，，即，∴，∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，（舍）；④如图，，即，，，即，∴，∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，；综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或．【变式训练9-2】如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．(1)求的度数．(2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．

在旋转过程中，若边，求t的值；如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解；（2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解．【详解】（1）解：如图，，因为，所以，因为平分，所以，因为，所以，所以，所以；（2）解：如图中，，因为，所以，因为，所以，所以，所以；ⅰ.如图，当时，延长交于点I，因为，所以，因为，，所以，所以，所以；ⅱ.如图中，当时，延长交于点J，因为，所以，因为，，所以所以，所以，综上所述，满足条件的t的值为或．1．下列图形中，与是对顶角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．【详解】解：A、选项中与无公共顶点，不是对顶角，不符合题意；B、选项中与是对顶角，符合题意；C、选