北师大版数学 专项训练01 利用勾股定理求三角形与长方形中的折叠问题（巩固培优） 新八年级 同步练习 含答案

专项训练01利用勾股定理求三角形与长方形中的折叠问题【知识点1三角形中折叠问题】1.直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】（1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为；（2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为；（3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。2.直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】（1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合；（2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点.（3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，.3.直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】（1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结.（2）沿直线翻折使得点与边上的点重合；【知识点2长方形中折叠问题】1.长方形中折痕过对角线模型【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’.结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’；结论3：是等腰三角形。2.长方形中折痕过一顶点模型【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕垂直平方’；结论3：是等腰三角形。3.长方形中折痕过任意两点模型【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕垂直平方’；结论3：’是直角三角形。【题型1直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于．2．有一块直角三角形纸片：（1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为；（2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为．【题型2直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】3．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．4．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为．【题型3直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】5．如图，在中，，，已知．（1）的长为．（2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为（注：）6．如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接．将沿折叠，点的对应点为点．若为直角三角形，则的长为．【题型4长方形中折痕过对角线模型】7．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为．8．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为．【题型5长方形中折痕过一顶点模型】9．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则．10．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，若，则．【题型6长方形中折痕过任意两点模型】11．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为．12．如图，有一个长方形纸片，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为．1．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（

）A． B． C． D．2．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．3．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A． B．C．或 D．或5．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为．6．如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为7．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为．8．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为．9．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程．10．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．1．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；2．综合与探究如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．(1)求边的长．(2)如图，若为的中点．求证：．(3)如图，若为的中点．试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．直接写出线段的长．3．在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．(1)如图1，当点E在边上时，求的长度．(2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．(3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长．

专项训练01利用勾股定理求三角形与长方形中的折叠问题【知识点1三角形中折叠问题】1.直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】（1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为；（2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为；（3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。2.直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】（1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合；（2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点.（3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，.3.直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】（1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结.（2）沿直线翻折使得点与边上的点重合；【知识点2长方形中折叠问题】1.长方形中折痕过对角线模型【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’.结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’；结论3：是等腰三角形。2.长方形中折痕过一顶点模型【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕垂直平方’；结论3：是等腰三角形。3.长方形中折痕过任意两点模型【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕垂直平方’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕垂直平方’；结论3：’是直角三角形。【题型1直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于．【答案】3【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．【详解】解∶∵，，，∴，∵折叠，∴，，，∴，，∴，即，解得，故答案为：3．2．有一块直角三角形纸片：（1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为；（2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为．【答案】；或【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度．（1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可；（2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度．【详解】（1）解：在中，，，，由折叠的性质可知：，，，，，设，则，，在中，，，解得：，，故答案为：；（2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，，，设，则，，，由可知，，在中，，，解得：，(不符合题意，舍去)，时，为直角三角形；如下图所示，当平分时，点在的延长线上，则，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，，解得：，当时，为直角三角形；综上所述，若为直角三角形则的长为或.故答案为：或．【题型2直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】3．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

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A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值．【详解】解：设，则，是翻折而成，，在中，，即，解得．故选：C．4．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：由折叠可得：，，设，则，，，在中，，即，解得：，即，，故答案为：．【题型3直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】5．如图，在中，，，已知．（1）的长为．（2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为（注：）【答案】或【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，二次根式的混合运算；（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理，即可求解；（2）分两种情况同理，当，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解．【详解】（1）在中，，则，；故答案为：．（2）如图1，当时，由折叠可知．设，由，得，则，，，．如图2，当，，则，，．故答案为：或．6．如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接．将沿折叠，点的对应点为点．若为直角三角形，则的长为．【答案】或7【分析】分两种情形：和，分别就这两种情形求解即可．【详解】①如图1，当时根据折叠的性质得：，，∵∴，，三点共线∵点是的中点∴∴∴∵，∴解得②如图2，当时，根据折叠的性质得：∴∵∴∴∴③的情形不存在综上所述，的长为或7故答案为或7．【题型4长方形中折痕过对角线模型】7．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论．【详解】解：在长方形中，，，∵由折叠的性质可知：，，∴，，∵在和中，，∴，∴，设，则，∵在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，故答案为：．8．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为．【答案】【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案．【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，．∵长方形，∴，∴，∴，∴．设则在中，∴，∴，∴∴．故答案为：．【题型5长方形中折痕过一顶点模型】9．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则．【答案】/【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，，∵折叠，∴，，在中，，∴，设，则，在中，，∴，解得，，∴，故答案为：．10．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，若，则．【答案】【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，根据证明，，设，利用勾股定理得方程，求出即可解决问题．【详解】解：∵四边形是长方形，由翻折的性质可知，，在和中，∴，∴∵∴设，则∴，，，∴，∴，解得，，∴，故答案为：．【题型6长方形中折痕过任意两点模型】11．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为．【答案】6【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．【详解】解：∵折叠，∴，设，∵在长方形中，，，∴，由勾股定理得，∴，∴，∴．故答案为：6．12．如图，有一个长方形纸片，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为．【答案】/【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，根据折叠的性质，得，在中，由勾股定理，得，∴，在中，，∴，解得．故答案是：1．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度．利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度．【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后．在中，，，，∴．∴．∵，∴．故选：A．2．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可．【详解】解：如图，记点C的对应点为，长方形中，，，，，，由折叠可得，，，，设，则，在中，，，解得，则的长为．故选：C．3．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．先根据折叠得到，，，，然后求出【详解】解：由折叠性质得：，，，，∵，，然后利用勾股定理求解即可．∴∴∴∴∵∴∴∴∴．故选：C．4．如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：四边形是长方形，，，，由折叠的性质得：，，，设，当为直角三角形时，则，，、、三点共线，分两种情况：①点在线段上时，如图1所示：则，，，在中，，，由勾股定理得：，解得：，；②点在线段的延长线上时，如图2所示：则，，在中，，，由勾股定理得：，解得：，；综上所述，当为直角三角形时，的长为或；故选：D．5．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为．【答案】【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接，根据题意得，，∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：．∴．故答案为：．6．如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为【答案】【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质可知：，在长方形中，，∴，∴，设，则有，∴在中，由勾股定理可得：，解得：，∴；故答案为．7．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点，∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，根据平行线间的距离相等得，∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得：，故答案为：．8．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为．【答案】或5【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可．【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，，∴或，由题意，得，如图1，当时，在中，由勾股定理，得：，，，；②如图2，当时，在中，由勾股定理，得：，，，．综上所述，线段的长为或5．故答案为：或5．9．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，，∴，由折叠的性质可得，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．10．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．【答案】【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，连接交于点．将沿折叠得到，，，垂直平分．为的中点，，．，，，．在中，由勾股定理，得，，．在中，由勾股定理，得．1．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；【答案】(1)(2)6(3)或3或【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可；（2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可；（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．，∵四边形是长方形，．，，；设，则，在中，，根据勾股定理得，，，，，；（2）解：由（1）得，∴，根据翻折的性质得，，∴的面积为，故答案为：6；（3）解：①若，，；②若，作于点，，，，，，；③若，则，，，，，，；综上所述，或3或．2．综合与探究如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．(1)求边的长．(2)如图，若为的中点．求证：．(3)如图，若为的中点．试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．直接写出线段的长．【答案】