2021数学花园探秘总决赛四年级二试真题含答案解析数学竞赛备考完整版

PAGEPAGEPAGE2021“数学花园探秘”科普活动总决赛小学四年级组一试一．填空题（每小题10分，共30分）如右图，ABCDE五个人站在正五边形的5个顶点上，老师把数字0～9分别发给5人，每人两个数字，组成一个两位数放在帽子上．每人能看见他相邻两人帽子上的数，但看不见自己的，并且他们都是聪明且诚实的好孩子．EDACBAEDACBB：“我不知道谁的数最大，但我知道谁的数最小．”C：“我看到的2个数是最大和第二大的，它们之间差3，A也看到了最大的数．”D：“我看到的2个数是最小和第二小的，我还知道第二小的数和第三小的数差5．”那么，A拿到的两位数是__________．有37人排成一列，每两人之间间距相等，队伍里所有人走的速度也都相等．开始时，甲与站在队伍排头的人对齐，乙与站在队伍排尾的人对齐，队伍与两人同时出发．如果甲与队伍行走方向相反，乙与队伍行走方向相同，那么甲、乙相遇时恰好与队伍中从后往前数第10个人对齐；如果两人都与队伍行进方向一致，那么当乙追上甲时，恰好与队伍从前往后数第10个人对齐．如果甲、乙相向而行，队伍原地不动，那么，甲、乙相遇时与队伍从前往后数第__________个人对齐．在下左图的4×4网格中，每格填入数字0或1或2，使得每行每列的数和都为5（第一列已经填好）．那么，剩下的方格有__________种满足要求的填法．（下右图所示为一种正确的填法） 二．解答题（每题15分，共30分）（1）求证：将1～7这7个自然数分别填入右图的圆圈中时，不可能使得各条直线上所填数的和都相等．（8分）（2）请你从1～8中选出7个互不相同的自然数分别填入右图的圆圈中，使得各条直线上所填数的和都相等．（填出即可，无需写过程）（7分）甲和乙是乒乓球队队友，他们之间的练习赛每场采取5局3胜制，即哪个人先赢3局即可获得本场的胜利．如果一个人以3:0或3:1的比分获胜，本场的胜者积3分，负者积0分；如果一个人以3:2的比分获胜，本场的胜者积2分，负者积1分．甲、乙两人在全年一共练习了101场．（1）如果甲胜了其中的60场，得了200分，那么，其中甲3:2战胜乙的场次和乙3:2战胜甲的场次哪一个多？多多少？（4分）（2）如果最终两人赢得的总局数相同，那么两人的总积分最多可相差多少分？（5分）（3）如果丙也加入练习，结果甲乙、甲丙、乙丙之间均练习了n场，结果发现丙得3分的场次和得2分的场次都是最少的（不与甲乙并列），但总得分却最高（也不与甲乙并列），那么，请你给出一种合理的构造．（构造正确即可得分，在构造正确的前提下，n的取值越小，得分越高）（6分）参考答案及解析1、【答案】40【解析】通过A、B说的话可得，A、C、B、D的数中都没有十位是9的数，也办法通过个位有9确定最大的数；而A、C中要么有1个数十位是1，要么有一个数个位是1，并且2是其中1个数的十位（依次类推）；通过C说的话，可以确定B和D的2个数是最大和第2大的，并且通过A和看到最大的数分析得到B是最大的，但B不是十位是9的数，枚举所有差3的可能性：B82D79；B71D68（因为确定没有90多的数，所以可以保证71是最大的），但如果B是71，那么，B就看不到1，不可能确认谁是最小的数，所以只能是82和79；通过D说的话，可得C和E是最小和第2小，而通过B可确定C是最小的；通过C说的话可确定A是第3小的，D看不到A的数，它最多C说的话分析出A所包含的两个数字，而通过这2个数字就可以知道A是多少，那么，说明A的数字中含有0；那么，第2小的数个位是5；枚举所有的可能性：B和D是82、79，剩余1、3、4、6，只能A是40，E是35，C是16；那么，A拿到的两位数是402、【答案】13【解析】乙和队伍两次都是同向而行，第1次乙和队伍的路程差是10－1＝9个间距，而第2次乙和队伍的路程差是37－10＝27个间距，说明第2次用的时间是第1次的3倍；而甲和乙第1次路程和是队伍的总长，第2次路程差是队伍总长，说明甲乙的速度和是速度差的3倍，3（甲速－乙速）＝甲速＋乙速，那么，乙的速度就是甲的速度的2倍．那么，如果队伍原地不动，相遇时甲走了36÷（2＋1）＝12个间距，那么，应该与从前往后数第12＋1＝13个人对齐3、【答案】75【解析】和为5有两种组合2+2+1+0或2+1+1+1，第二行后三个数一定是2,2,1有3种排列方式．若第一行后3个数为111，则第二行的1所在的列剩下两数必为1和2，如果是1、2，剩下的2×2方格有3种填法，如果是2、1，剩下的2×2方格有2种填法，这一类总计共有3×（3＋2）＝15种填法．若第一行后3个数位0,2,1．考虑0若与第二行的1在同一列，有2×2＝4种填法．0若与第二行的2在同一列，有2×（3＋5）＝16种填法．这一类总计有3×（4＋16）＝60种填法．综上本题共15＋60＝75种填法4、【答案】见解析【解析】（1）如左图，设左上角、右上角所填数分别为a、b，每条直线上所填数的和为S，则5S＝2×(1+2+3+…+7)+a＝56+a，有a＝4，S＝12，从而b＝8．矛盾！（2）如右图686825731ab5、【答案】（1）乙多20场（2）59（3）见解析【解析】（1）设甲3:2胜乙a场，3:0或3:1胜乙（60－a）场，乙3:2胜甲b场，3:0或3:1胜甲（41－b）场，可得：3（60－a）＋2a＋b＝200，那么，b－a＝20，所以3:2比分乙多胜20场（2）不妨设甲最后得分高，设甲3:0胜乙比乙3:0胜甲多a场，3:1胜乙比乙3:1胜甲多b场，3:2胜乙比乙3:2胜甲多c场（a、b、c可以是负数）可得3a＋2b＋c＝0，求3a＋3b＋c的最大值即b的最大值，所以，应该让b尽可能大如果b≥61，那么此时甲比乙多胜了至少61×2＝122局，此时剩余40局即便都是乙3：0甲，那么乙最多只能比甲多胜40×3＝120局，不可能甲乙总局数相同；②因为和差改变奇偶性，所以甲比乙多胜的场次与甲和乙总共赛的场次相同，那么，可得a＋b＋c应该和101的奇偶性相同，是奇数，而3a＋2b＋c是偶数，因为3a和a奇偶性相同，c和c奇偶性相同，所以只能b和2b奇偶性不同，那么，b一定是奇数；综上，b的最大值是59，即总积分最多相差59分构造：甲3:1乙共59场，乙3:0甲38场，3:2甲4场（3）n＝8的构造甲与乙比赛，4场得3分，4场得0分，与丙比赛5场得2分，1场得1分，2场得0分；总计4场3分，5场2分，1场1分，共23分；乙与甲比赛，4场得3分，4场得0分，与丙比赛5场得2分，2场得1分，1场得0分；总计4场3分，5场2分，2场1分，共24分；丙与甲比赛，2场得3分，1场得2分，5场得1分，与乙比赛1场得3分，2场得2分，5场得1分；总计3场3分，3场2分，10场1分，共25分其实8也是n的最小值，下面给出n最小是8的论证甲、乙、丙共练习了3n场比赛，总比赛场数一定是3的倍数；设丙3:0（与3:1一样，后面均以3:0代替）和3:2获胜的场次分别是a场和b场，那么，甲和乙3:0和3:2获胜的场次至少是a＋1场和b＋1场，因为每场比赛都恰好有1个获胜的人，那么比赛总场数是3a＋3b＋4场，因为比赛总和必须是3的倍数，那么，至少是3a＋3b＋6场．那么，此时甲和乙平均每人比丙多胜3场比赛，说明得3分和2分的场次中，甲丙的差与乙丙的差总计至少3×2＋2×4＝14分因为0:3负不得分，而丙的得分比甲乙都高，那么，丙必须通过2:3负的场次追回至少14分并超过甲乙，所以丙甲2:3场次的差与丙乙2:3场次的差总计至少14＋1＋1＝16分；设丙2:3比分是c场，那么，甲乙至多共比了2c－16场；可得c≥8因为3:2的总场次与2:3的总场次相同，如果c＝8，此时甲乙2:3的场次都只能是0场，那么，因为丙3:2获胜的场次≤甲乙2:3负的场次之和，丙3:2获胜的场次也是0场，那么，甲和乙3:2获胜的场次总和是8场，这样甲和乙平均3:2和2:3得4×2＝8分，丙3:2和2:3总和得8分，丙总得分不可能最高；如果c＝9，同理，甲乙2:3场次总和至多2场，丙3:2获胜场次至多2场，丙至多得2×2＋9＝13分，甲、乙平均得4.5×2＋1＝10分，丙只比甲、乙平均高3分，但甲、乙在得3分的场次中至少比丙多得3分，所以丙不可能得分最高；所以c的最小值是10.丙至少比了10场比赛，所以n≥5如果n＝5，总计15场比赛，3人总分45分，丙至少得16分，但丙有10场1分，所以不可能得到16分；如果n＝6，总计18场比赛，3人总分54分，丙