数学花园探秘2020决赛初一年级C卷真题含答案解析初中数学竞赛备考完整版可打印

PAGEPAGEPAGE2020年“数学花园探秘”科普活动初一组决赛试卷C答案解析填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）算式的计算结果是__________．已知是关于的多项式，且次数不超过3，则的所有不同可能值之和为__________．定义新运算，已知，，，那么，__________．如果小于20的四个正整数满足，那么有__________组满足要求的不同整数组．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）多项式的化简结果降幂排列后，排列在最中间的项系数是__________．表示不大于的最大整数，那么，，…，这1010个数的和是__________．已知整数满足，那么的不同可能值的个数为__________．正整数a,b,c满足，那么的最小值是__________．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）已知正整数满足，那么的最小值是__________．如图，一个的正方体的六个面已经被染成了不同的六种颜色，现将其分成个的小长方体，共有__________种不同的分法．一条直线与一个正n边形各边所在直线所成的角都是锐角，都是整数度，且这n个锐角的度数成等差数列，那么n的最大值是__________．第12题作答要求：请在答题卡第12题的万位＋千位，填涂上你认为本试卷中一道最佳试题的题号；答题范围为01～14；请在答题卡第12题的百位，填涂上你认为本试卷整体的难度级别，最简单为“1”，最难为“9”，总计九个级别，答题范围为1～9；请在答题卡第12题的十位＋个位，填涂上你认为本试卷中一道最难试题的题号；答题范围为01～14．（所有答题范围内的作答均可得分，所有的评定都将视为本人对本试卷的有效评定，不作答或者超出作答范围不得分．）（略）解答题（每小题15分，共30分）编号依次为1~2020的2020名同学参加研学营活动．活动规则如下：所有同学中，只有编号是2的倍数的可以参与树叶拼诗活动，只有编号是3的倍数的可以参与读经活动，只有编号是5的倍数的可以参与拓印活动，只有编号是7的倍数的可以参与射箭活动，只有编号是11的倍数的可以参与茶艺活动．证明：任意选取编号连续的14名同学，一定有某名同学不能参与任何上述活动．平面内有若干条直线，使得：（1）恰好共有2020个交点；（2）没有任何三条直线交于一点．请问：至少需要多少条直线才能满足上述要求？参考答案及解析1、〖答案〗14

〖解析〗，

∴原式＝＝＝14．

2、〖答案〗38

〖解析〗

当时，且，的所有不同可能值为；

当时，，的所有不同可能值为；

∴的所有不同可能值为，总和为38．

3、〖答案〗30

〖解析〗，∴，解得，即，∴．

4、〖答案〗1365

〖解析〗

换，即得，只需从1至15中选出四个不同的整数，

计数：．

5、〖答案〗16

〖解析〗化成，

∴化简结果最高次项为，且每个次数不超过12的项系数均大于零，

∴降幂排列后排列在最中间的项次数是6，系数是．

6、〖答案〗2039190

〖解析〗，

∴，

∴，

∴，

即第项，

1，5，9，…，4037这1010个数的和是．

7、〖答案〗6

〖解析〗引理：关于的方程有，若，则．

两个方程是独立的，分别考虑即可：

，可知1或39，

当时，17或19，

若，由引理，，

若，由引理，，

当时，由引理，；

，由引理，；

根据上述结论，87或89或127，，

即或或，，

∴或或；

综上所述，有6个不同的可能值．

8、〖答案〗27

〖解析〗，∴即，

∴，等号成立当且仅当，此时，．

9、〖答案〗105

〖解析〗不妨，

当时，，无正整数解；

当时，，，逐一试验时均不是整数；

当时，；，可知：为定值时，越大，越小；故从大至小枚举，时（舍），时，即，此时；

当时，，∴，，；

∴的最小值是105．

10、〖答案〗45

〖解析〗从正方体的一角开始，角块所属的长方体有三种分法，由对称性，不妨设角块所属的长方体是前后方向的，将之切去，如图：

接下来考虑与角块同一行的其余3个单位立方体，它们已经不可能属于同一个长方体了，∴它们所属的3个不同长方体只可能是前后或者上下方向的，

第一类：如果它们所属的3个长方体都是前后方向的，只有1种可能，将这3个长方体都切去，如下左图，

那么图中再也不会存在上下方向的长方体了，可以将剩下的长方体看作3层长方体分别考虑，每层的长方体只有全部切成前后或者左右方向的4个长方体，

3层，每层2种方案，任意搭配，依据乘法原理，本类计数：；

第二类：如果它们所属的3个长方体至少有一个是上下方向的，有种可能，将其中任意一个上下方向长方体的切去，例如下左图，

那么正面再也不会存在左右方向的长方体了，

∴角块同一列的其余3个单位立方体，它们也已经不可能属于同一个长方体了，

∴它们所属的3个不同长方体只能是前后方向的，将之切去，如上中图，

那么图中再也不会存在左右方向的长方体了，

可以将剩下的部分左右分开，看作3片分别考虑，每片的长方体只有全部切成前后或者上下方向的若干长方体，并且由于之前已经决定了每片正面最上一块的分割方向，所以接下来的分割方法都是唯一选择，

3片，每片都只有1种方案，依据乘法原理，本类计数：；

综上所述，总的不同分割方法数为：（种）．

11、〖答案〗45

〖解析〗由题意，正n边形的每个外角都是整数度，又∵n边形的外角和是360°，

∴n是360的因数……①；

若n为偶数，则正n边形必有两边相互平行，此两边与直线所成的角相等，等差数列中任意两项相等则公差为0，所有项都相等，不合题意，

∴n是奇数……②；

∴n的最大值是360的最大奇因数，为45，

给出构造，正45边形的每个外角都是8°，直线与某条边成1°即可，

此时直线与一个正45边形各边所在直线所成的角顺次为，相对应的锐角分别为,,,，恰是所有45个奇数度的锐角，既不重复也无遗漏．

12、〖答案〗略

〖解析〗采用反证法，反设存在14个编号连续的同学每个人都可以参加某项活动，

即存在14个连续的正整数，每个数都是中某个的倍数．

任意14个连续的正整数，必恰有7个奇数7个偶数，只需讨论其中的7个奇数．

连续的七个奇数中，至多有三个3的倍数，至多有两个5的倍数，必恰有一个7的倍数，至多有一个11的倍数；

∵7＝3＋2＋1＋1，∴这七个连续奇数中，恰有三个3的倍数，恰有两个5的倍数，恰有一个7的倍数，恰有一个11的倍数，且每个奇数只能是上述某一个质数的倍数；

记这七个连续奇数为（为奇数），则有：

三组各自mod3同余，

五组各自mod5同余；

∴是3的倍数，中有5的倍数，矛盾！

∴假设错误，原命题成立．

13、〖答案〗65

〖解析〗64条不够：即使64条直线两两相交，交点至多只有（个）；

65条可以：一组6条直线两两平行，另一组10条直线两两平行，其余49条直线