2026-2027学年上海市复旦大学附属复兴中学高二（上）质量检测数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市复旦大学附属复兴中学高二（上）质量检测数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共3小题，共14分。1.下列命题为真命题的是（）A.若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直

B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行

C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直

D.若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行2.三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SC⊥AB，则S在底面ABC的投影一定在三角形ABC的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心3.在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=，BD=，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A-BCD的体积为2．则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）A.12π B.π C.13π D.π二、多项选择题：本大题共1小题，共4分。4.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A. B.

C. D.三、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知球的体积为36π，球的表面积是

．6.过平面外一点与这个平面平行的直线有

条．7.将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3cm、4cm、5cm，则原铁丝的两个端点之间的距离为

cm．8.设A={x|x为长方体}，B={x|x为直平行六面体}，C={x|x为正四棱柱}，D={x|x为正六面体}，则集合A，B，C，D之间的包含关系为

．9.若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为

．10.若正四面体ABCD的棱长为，则异面直线AB与CD之间的距离为

.11.如图，，AD=1，BC=2，AB=3，那么直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体的体积为

.

12.如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且=，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于______．

​​​​​​​

13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是

.

14.两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是

.15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1则下列四个命题：

①点P在直线BC1上运动，三棱锥A-D1PC的体积不变；

②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；

③点P在直线BC1上运动，二面角P-AD1-C的大小不变；

④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线.

其中的真命题是

.（请在横线上填上正确命题的序号）16.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

.四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB∥CD，DC=CB=AB=2，PA=2．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；18.(本小题14分)

如图，点P在圆柱OO1的底面圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为，OA=2，∠AOP=120°．

（1）求三棱锥A1-APB的表面积；

（2）求二面角A-PO-A1的大小．19.(本小题14分)

如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD与平面CBD所成二面角为直角，AE⊥平面ABD，且．

（1）求证：直线EC与平面ABD平行；

（2）求点C到平面BED的距离．20.(本小题18分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，PA=AD=2，AB=BC=1．

（1）证明：AB⊥PD；

（2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；

（3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．21.(本小题18分)

如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，∠DCB=60°．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．

（1）求证：BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH；

（2）设二面角A-BC-D的平面角为θ，求θ在区间[0，]变化的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；

（3）设λ=（λ∈（0，1）），且平面ABC⊥平面BCD，则当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为？

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】AD

5.【答案】36π

6.【答案】无数

7.【答案】

8.【答案】D⊆C⊆A⊆B

9.【答案】20π

10.【答案】1

11.【答案】7π

12.【答案】​​​​​​​

13.【答案】

14.【答案】[4，8]

15.【答案】①③④

16.【答案】36

17.【答案】（1）证明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD=D，

∴PA⊥平面ABCD，

（2）∵AB∥CD，

∴∠PCD为异面直线AB与PD所成的角或其补角，

∵PA⊥平面ABCD，

∴在Rt△PAD中，，，

∴，

∴，

∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为：．

18.【答案】解：（1）由题意知：OA=2，圆柱的侧面积为：S侧=2，

∴AA1=2，∠AOP=120°，OA=OP，

∴∠PAB=∠APO=30°，

又AB为圆O直径，△PAB为直角三角形，

∴∠PBA=60°，AB=4，

∴BP=2，AP=2，

又：BP⊥AP，AA1与圆O所在的平面垂直，AA1⊥平面PAB，

∴AA1⊥BP，

又AP∩AA1=A，∴BP⊥平面AA1P，

∴BP⊥A1P，

又：AA1⊥AP，∴=2，

∴S=S+S+S+S△PAB

=•BP

=

=6+6+2．．

（2）如图所示：

延长PO交圆O于点D，过A作AC⊥PD于点C，

由（1）可知：AA1与圆O所在的平面垂直，PD在圆O所在的平面内，∴AA1⊥PD，

∴AA1∩AC=A，∴PD⊥平面A1AC，∴A1C⊥PD，

又PD为平面APO与平面A1PO的交线，

∴∠ACA1为二面角A-PO-A1的平面角，

AA1⊥AC，△A1AC为直角三角形，AC=APsin∠APO=2，

∴tan，

∴∠ACA1=arctan2，

即：二面角A-PO-A1的大小为：arctan2．

19.【答案】解：（1）证明：取BD的中点F，连接CF、AF，如图，

又在△BCD中，BC=CD，BC⊥CD，则CF⊥BD，

又平面ABD与平面CBD所成二面角为直角，

∴平面ABD⊥平面CBD，又平面ABD∩平面CBD=BD，CF⊂平面CBD，

∴CF⊥平面ABD，又，AE⊥平面ABD，且，

∴AE∥CF，又AE=CF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

∴EC∥AF，又AF⊂平面ABD，EC⊄平面ABD，

∴EC∥平面ABD；

（2）由（1）可得AF⊥平面CBD，EC∥AF，EC=AF=，

∴EC⊥平面CBD，又，

∴等腰△BED底边BD上的高，

∴，

又S△BCD=2，设点C到平面BED的距离为d,

∵VC-BED=VE-BCD，

∴，

∴，∴d=1，

∴点C到平面BED的距离为1．

20.【答案】解：（1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，

∵PA⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，，

又AD⊂面ADP，AP⊂面ADP，

∴AB⊥面ADP，又PD⊂面ADP，

∴AB⊥PD；

（2）由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，

在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=1，

建系如图所示，根据题意可得：

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），

∴，，，

设M（x1，y1，z1），∴，

又点M在线段CP上，∴，

∴，

∴M（t,t,-2t+2），，

若AM⊥面PCD，

则，

解得，

∴，

∴；

（3）由题意及（1）（2）可得：，，，

设，

∴，

∴，

设1+2λ=μ，则，

又λ∈[0，1]，∴μ∈[1，3]，

∴cos2==，

∴当时，，此时取得最大为，

又y=cosx在上单调递减，

∴当最大时，直线CQ与DP所成的角取得最小，

又，∴，

故所求线段BQ长为．

21.【答案】解：（1）∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥GH．而GH⊂面BCD，EF⊄面BCD，

∴EF∥面BCD．而EF⊂面ABC，面ABC∩面BCD=BC，

∴EF∥BC．而EF⊂面EFGH，BC⊄面EFGH，

∴BC∥平面EFGH．同理，AD∥平面EFGH：

（2）∵AB=AC，

∴A在平面BCD上的投影满足AB=AC，即A′在线段BC的中垂线上．

如图所示，将Rt△BCD补成边长为2的正△BCM，

当二面角A-BC-D为0°角时，即点A在平面BCD上，

此时A’为M，

当二面角