初三数学(北京版)测量与计算(4)-1教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级九年级学期上课题测量与计算（4）教科书书名：义务教育教科书出版社：北京出版社出版日期：2019年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师指导教师指导教师教学目标教学目标：能根据题意画出数学问题的示意图.利用相关的解直角三角形的知识来测量与计算高大建筑物的高度。通过审题，借助锐角三角函数等内容建立方程，提高分析和解决问题的能力.提高学生学习数学的兴趣和应用意识.教学过程时间教学环节主要师生活动10分钟温故知新知识回顾解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用，比如在测量、建筑学、物理学中，人们常常遇到计算距离、高度、角度等问题，这些大多归结为直角三角形中的边角关系问题，而这些关系恰好就是锐角三角函数和勾股定理等内容.在这一单元中我们重点学习了测量与计算，今天我们要来学习的是利用相关的解直角三角形的知识来测量与计算高大建筑物的高度。2.例题1回顾（1）我们在例1中学习了利用测角仪求旗杆的高度，下面我们回顾一下，例1是建筑物底部可以到达的测量问题，要求旗杆AC的高，也就是求AC的长，我们分成了两部分，AC=AB+BC.设计意图：从问题解决方法上回顾反思例1.（2）请同学们回顾例1的解题思路和步骤：1.解决这样的实际问题，首先需要我们能够通过分析，将实际问题抽象转化成为数学问题，画出符合题意的示意图，求旗杆的高度AC的长也就转化为AB+BC的长。2.在这个数学问题中，我们分解出了矩形和直角三角形两个图形，一条公共边BD将两个基本的数学图形紧密联系在了一起。借助矩形的性质，我们得到BC=DF=测角仪的高度1.2m，BD=CF=16.5m.3.在直角三角形中知道一边一角，可以解这个直角三角形，求出AB的长。4.通过运算得到数学问题的答案，AC=AB+BC，再由数学问题的答案回归并解决实际问题.通过回顾我们知道例1是底部可以到达的建筑物的测量问题，本节课我们来学习底部不可以到达的高大建筑物的测量问题.请看例4.设计意图：从解题思路和步骤问题回顾反思例1，更好的为解决例题的方法和思路进行迁移.20分钟例题讲解典型例题：下面我们来看例4：在数学活动课上，老师带领学生去测量位于北京大学未名湖东南湖畔的博雅塔的高度.如图，在C处用高1.2m的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30°，向塔的方向前进50m到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为71°.求博雅塔的高AB约为多少米（结果精确到1m）.分析过程：1.首先从所求问题分析，求博雅塔的高就是求AB的长，类比例1，我们将AB的长分成两部分来求，延长EF交AB于点G，AB的长就等于AG加BG.2.引导学生边分析已知条件边标记图形，由题意可得，四边形EFDC是矩形，四边形FGBD也是矩形，所以DF=BG=CE.的长1.2m.根据矩形的性质，EF=CD=50.在C处用测角仪测得塔顶A的仰角为30°，就是对应图中∠AEG=30度，在D处测得塔顶A的仰角为71°，就是对应图中∠AFG=71度.把分析标记到图中.我们把求AB的长分成两部分，等于AG加上BG的长，BG=1.2，现在只需求AG即可！3.如图，问题转化为求AG的长，图中一共有两个直角三角形，即直角三角形AEG和直角三角形AFG，这两个直角三角形，角度都可以求出来，但是因为没有直接给出的已知边长，所以直角三角形AEG和直角三角形AFG，都是不可以直接求解的.我们关注到这两个直角三角形有一条公共边AG，因为知道锐角的角度，所以边之间的比值，能通过三角函数建立关系从而转化.所以可以设AG为xm.那么其它边都可以用含x的代数式表示，再根据EG-FG=EF=50，得到关于x的方程，进而求得x的值，从而解决问题.接下来我们就是要用含x的代数式表示EG和FG.4.如图在直角三角形AEG中，因为角AEG=30度，所以角EAG=60度，设AG=x,用含x的代数式表示EG.这两条边AG和EG的关系，可以用角AEG的正切来表示，即30度角的正切.即tan30°=AG：EG=x：EG，进而推导出EG=x除以tan30度.这两条边AG和EG的关系在直角三角形AEG中，还可以用角EAG的正切来表示，即tan60°=EG：AG=EG：x，进而推导出EG=x乘以tan60度.再来看如图在直角三角形AFG中，AG=x,含x的代数式表示FG，这两条边AG和FG的关系，可以用∠AFG的正切来表示即tan71°，也可以用∠FAG的正切来表示，即tan19°.即tan71°=AG：FG=x：FG，进而推导出FG=x除以tan71度.或tan∠FAG=tan19°=FG：AG=FG：x，化简得FG=x乘以tan19度.设计意图：从已知条件和所求问题两个方面引导学生进行分析，这样把实际问题就转化成为数学问题，再把数学问题又转化为解直角三角形的问题.5.用含x的式子表示完EG和FG的长，我们就可以根据等量关系EG-FG=EF=50，建立关于x的方程.分别得到x÷tan30-x÷tan71=50.或者是x乘以tan60-x乘以tan19度=50。这两个方程都是可以解的，都能解决问题，但是对比两个方程，我们发现第一个方程除法运算多比较繁琐，第二个方程相对比较简捷.一般我们在选择运算途径时，尽量回避除法运算，也就是用乘不用除.6.解题过程略.7.小结：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出示意图）（2）数学问题的分析（多个矩形和直角三角形）（3）当直角三角形不可以直接求解时设未知数建立方程（等量关系：EG-FG=EF=50）（4）解决数学问题，进而解决实际问题.关注精确度，检验，答题单位.设计意图：体会实际问题转化为数学问题并解决的过程，关注思考的方法.10分钟练习巩固先来看本章引言中的一个测量实践活动。九年级（1）班的同学们来到天安门广场，测量人民英雄纪念碑的高度.方法如下：如图，CD表示人们英雄纪念碑的高度，首先用1.5m高的测角仪AA’,BB’确定点A和点B的位置，使得A，B，C三点在一条直线上，连接A’B’并延长交DC于点C’，测得∠DA’C’=45°，∠DB’C’=64.7°，然后测量出AB的长为20m.根据这些数据，他们就计算出了CD的长.你知道他们是怎样计算的吗？学生独立分析，小组讨论，展示，师生答疑并总结.1.首先本题已经把实际中的测量问题，转化为了数学问题.我们观察在图形中的数据。∠DA’C’=45°，∠DB’C’=64.7°，AA’=1.5，AB=20.要求人民英雄纪念碑的高度就是求CD的长.2.通过观察思考把图形分解出来。根据题意可得，四边形A’ABB’是矩形，四边形B’BCC’也是矩形，所以CC’=BB’=AA’=测角仪的高1.5m.A’B’=AB=20m.把数量标在图中.要求CD的长.可以分成两部分，CD=CC’+C’D.因为CC’=1.5,所以只需求C’D的长.3.图中分解出一共有两个直角三角形，直角三角形A’DC’和直角三角形B’DC’.如图.我们知道在直角三角形中，至少已知一条边的长度，才能解直角三角形.这两个直角三角形，角度都可以求出来，但是因为没有已知的直接给出的边长，所以直角三角形A’DC’和直角三角形B’DC’，都是不可以直接求解的.我们观察到这两个直角三角形有一条公共边DC’，也正是我们所要求得边.所以，我们可以设DC’的长为xm.因为知道锐角的角度，所以边之间的比值，能通过三角函数建立关系从而转化，用含x的代数式，表示其它边.我们知道A’C’-B’C’=A’B’=AB=20.4.在直角三角形B‘C’D中，用含x的代数式表示B‘C’.因为∠DB’C’=64.7度，所以∠B’DC’=25.3度.类比例题的解法,为了运算简捷，要表示B‘C’，用∠B’DC’的正切.即tan25.3度=B‘C’：DC’=B‘C’：x.化简得B‘C’=x乘以tan25.3度.根据等量关系建立方程：x-xtan25.3°=20.设计意图：培养学生将实际问题转化为数学问题，分析并解决问题的能力.4分钟课堂总结课堂总结：1.回顾本节课的学习过程，经历了把实际问题转化成数学问题的过程，今天主要学习底部不可以到达的高大建筑物的测量问题，主要利用了解直角三角形的知识，当所给直角三角形不可以直接求解时，就需要引进未知量，利用三角函数等知识建立方程,表示数学问题中的数量关系，从而解决实际问题。2.用到的知识：仰角；矩形的性质；解直角三角形；锐角三角函数；方程等。3.注意事项：（1）审题画出示意图，由已知和所求问题去分析问题；（2）弄清相关概念，如方位角，仰角，坡度等的意义；（3）按题目中精确度的要求进行近似计算，运算途径中一般减少除法运算，“用乘不用除”，最后检验后确定答案及注明单位.设计意图：引导学生从知识和方法进行表达，通过课堂小结对本节课内容整体有一个更深的认识和印象.2分钟课后作业结合本节课的学习请独立完成1题和2题.1.如图，河对岸有水塔AB，在C处测得塔顶的仰角为30°，向塔的方向前进14m到达点D，在点D处测得塔顶的仰角为45°，求水塔AB的高度（结果精确到0.1m）.2.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达点B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔CD的高度（结果精确到1m）.参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.以小组为单位完成3题。3.“昊天塔”又称多宝佛塔，是北京地区唯一的楼阁式空心砖塔.某校九年级数学兴趣小组的同