2026-2027学年初中数学九年级上册（新教材）人教版（新教材）综合与实践 生活中的优化问题课时小考卷

2026-2027学年初中数学九年级上册（新教材）人教版（新教材）综合与实践生活中的优化问题课时小考卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某企业生产一种产品，固定成本为A万元，每生产一件产品，可变成本增加B万元，售价为C万元。为了获得最大利润，该企业应生产产品的件数可能是（）。A.使销售收入等于固定成本的件数B.使销售收入等于可变成本的件数C.使总成本等于销售收入的件数D.使利润最大的件数2.小明家计划用60米长的篱笆围成一个矩形羊圈，为了节省材料，希望羊圈的面积尽可能大。如果矩形的一边利用了现有的墙壁（足够长），那么围成的羊圈的长和宽分别是（）米时，面积最大。A.20和20B.30和30C.15和30D.10和503.某工厂生产一种产品，生产成本y（元/件）与产量x（件）之间存在线性关系。当产量为100件时，生产成本为3000元；当产量为200件时，生产成本为5000元。为了降低成本，工厂决定将生产成本控制在4000元/件以下，那么产量x的取值范围是（）。A.0<x<200B.0<x<150C.0<x<100D.100<x<2004.小王骑自行车从家到学校，去时速度为v₁公里/小时，返回时速度为v₂公里/小时，去时和返回时所经过的路程相同。那么他往返一次的平均速度是（）。A.(v₁+v₂)/2B.√(v₁v₂)C.v₁v₂/(v₁+v₂)D.2v₁v₂/(v₁+v₂)5.某城市为了缓解交通拥堵，对某段道路实行收费。当行驶车辆数不超过a辆时，收费为m元；当行驶车辆数超过a辆时，超过部分每辆额外收费n元。若某天该段道路行驶了b辆车辆（b>a），则当天该道路的收费为（）元。A.mB.m+n(b-a)C.mnD.m(b-a)n二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对但不得分，有选错的得0分）6.在解决优化问题时，以下哪些是通常需要考虑的要素？（）A.问题的目标是什么B.实现目标受到哪些限制条件C.如何建立数学模型来描述问题D.模型的解是否一定能在实际中实现7.某农场计划用100米长的绳子围成一个矩形种植蔬菜，为了提高产量，希望矩形的长和宽尽可能接近。以下哪种设计方案能使矩形的长和宽最接近？（）A.设计成一个正方形B.设计成一个长比宽多1米的矩形C.设计成一个长比宽多2米的矩形D.设计成一个长比宽多5米的矩形8.某手机运营商推出两种手机套餐方案，方案A：每月固定费用为50元，通话费为每分钟0.1元；方案B：每月固定费用为30元，通话费为每分钟0.15元。为了节省费用，小张每月的通话时间应该（）。A.少于100分钟B.等于100分钟C.多于100分钟D.无论多少分钟，方案B总比方案A便宜9.在建立函数模型解决优化问题时，以下哪些情况可能需要考虑函数的定义域？（）A.函数的自变量在实际问题中必须有意义B.求函数的极值时，必须考虑定义域的影响C.函数的图像必须全部位于第一象限D.定义域的确定有助于理解问题的实际背景三、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10.（本小题满分12分）某商品的成本为每件80元，售价为每件x元。市场调查发现，当售价为100元时，每天可销售50件；当售价每降低1元时，每天可多销售2件。为了获得最大利润，该商品应定为多少元？最大利润是多少元？11.（本小题满分12分）某小区计划用长为30米，宽为20米的一块矩形空地建设一个小公园。计划在空地中间用一条笔直的小路将其隔成两个长方形花坛，小路的宽为x米，小路两侧的花坛地面均为草坪。如果希望草坪的面积最大，小路的宽x应设计为多少米？此时草坪的面积是多少平方米？12.（本小题满分13分）某公司生产一种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，可变成本增加50元。市场上对该产品的需求量y（万件）与价格p（元/件）满足关系：y=-0.02p+0.8。该公司希望获得的总利润最大。请问该公司应将产品的定价是多少元？此时可获得的最大总利润是多少元？（利润=总收入-总成本，总收入=价格×需求量，总成本=固定成本+可变成本×需求量）13.（本小题满分13分）为了鼓励市民节约用水，某市对居民用水实行阶梯定价。每月用水量不超过15吨时，每吨水价按a元收费；每月用水量超过15吨但不超过30吨时，超过15吨的部分每吨水价按b元收费；每月用水量超过30吨时，超过30吨的部分每吨水价按c元收费。已知某户居民某月用水量为25吨，共支付水费120元；另一户居民某月用水量为40吨，共支付水费200元。为了计算该市的水价a、b、c，有人建立了以下方程组：①15a+(25-15)a=120②15a+(30-15)a+(40-30)c=200请判断这两个方程是否正确？如果不正确，请写出正确的方程组。如果正确，请解出a、b、c的值。试卷答案一、选择题1.D2.A3.B4.D5.B二、多选题6.ABCD7.AC8.C9.AB三、解答题10.解：设利润为W元，售价为x元。由题意，销售量=50+2(100-x)=250-2x。利润W=(x-80)(250-2x)=-2x²+310x-20000。这是一个开口向下的二次函数，其最大值在对称轴x=-b/(2a)=-310/(2*(-2))=77.5处取得。由于售价x应为整数，需比较x=77和x=78时的利润：当x=77时，W=-2(77)²+310(77)-20000=-11908+23970-20000=1962元。当x=78时，W=-2(78)²+310(78)-20000=-12168+24140-20000=1942元。比较可知，x=77时利润更大。答：售价应定为77元，最大利润为1962元。（或：将x=77.5代入W，得W=-2(77.5)²+310(77.5)-20000=-11906.25+23987.5-20000=1961.25元。由于售价需为整数，取最接近的77，此时W=1962元，为最大利润。）11.解：矩形空地长30米，宽20米，小路宽x米。花坛1的面积=(30-2x)(20-x)=600-50x-60x+2x²=2x²-110x+600。花坛2的面积=(30-x)(20-x)=600-30x-20x+x²=x²-50x+600。草坪总面积S=2(花坛1面积)+2(花坛2面积)=4x²-220x+1200+2x²-110x+600=6x²-330x+1800。这是一个开口向上的二次函数，其最小值在对称轴x=-b/(2a)=-(-330)/(2*6)=330/12=27.5处取得。由于小路宽x必须大于0且小于10（因为30-2x>0且20-x>0），27.5不在可行域内。需比较x=0（左端点），x=10（右端点）时的S值：当x=0时，S=1800平方米。当x=10时，S=6(10)²-330(10)+1800=600-3300+1800=-900平方米（舍去，宽度不能为负）。比较可行值，当x=0时草坪面积最大。答：小路的宽应设计为0米（即不设小路，但这与题意“用一条笔直的小路将其隔成两个长方形花坛”似乎矛盾，若按数学模型求解，最小值点不在可行域，端点x=0时面积最大，但实际情境下x=0无意义。若题目意图是求花坛面积和最大的情况，则需重新审视题意。假设题目允许x=0，则最大面积为1800平方米。）（修正思路：题目要求“希望草坪的面积最大”，通常指花坛面积之和最小。设花坛1面积为S1，花坛2面积为S2，则草坪面积=(空地面积)-(S1+S2)=600-(S1+S2)。S1+S2=(30-2x)(20-x)+(30-x)(20-x)=600-50x-60x+2x²+600-30x-20x+x²=1200-140x+3x²。草坪面积=600-(1200-140x+3x²)=-3x²+140x-600。此函数开口向下，最大值在对称轴x=-b/(2a)=-140/(2*(-3))=70/3≈23.33。检查端点x=0,x=10：x=0,草坪面积=-600；x=10,草坪面积=-900。检查x=23.33：草坪面积=-3(23.33)²+140(23.33)-600≈-1600+3266.2-600=106.2。最大值在x=23.33处。但x=23.33远超宽度限制。重新审题，题目问“希望草坪的面积最大”，通常指花坛总面积最小。草坪面积=600-[(30-2x)(20-x)+(30-x)(20-x)]=600-[600-50x-60x+2x²+600-30x-20x+x²]=600-[1200-140x+3x²]=-3x²+140x-600。求最大值，对称轴x=70/3。但此值无效。题目可能存在歧义。若理解为“希望两个花坛的面积之差最小”，则需求|S1-S2|最小。S1=(30-2x)(20-x)=600-110x+2x²，S2=(30-x)(20-x)=600-50x+x²。|S1-S2|=|600-110x+2x²-(600-50x+x²)|=|x²-60x|=|x(x-60)|。此值在x=0或x=60时为0。x=60超出宽度限制。x=0时差值为0。按此理解，草坪面积=600-(S1+S2)=600-(1200-140x+3x²)=-3x²+140x-600。在x=0处取得最小值600，即花坛面积和最大。但此时无小路。若题目意图是求花坛面积和最小，则需x=23.33。考虑题目可能存在不严谨之处。假设题目允许x=0，则草坪面积最大为1800。）（最终决定按数学模型求最小值，但点无效，检查题目描述，小路“两侧”花坛，可能指总面积。总面积=空地-小路面积。空地600，小路长20*2=40，宽2x，面积80x。草坪面积=600-80x。求最大值，即求80x最小，x最小为0。但此时无小路。可能题目意图是求花坛面积和最小，即求S1+S2最小。S1+S2=-3x²+140x-600。对称轴x=70/3。无效。考虑端点。x=0,S1+S2=1200。x=10,S1+S2=300。最小值在x=10处，S1+S2=300。此时草坪面积=600-300=300。）答：小路的宽应设计为10米，此时草坪的面积为300平方米。12.解：设总利润为P万元。总收入=价格×需求量=p*(-0.02p+0.8)=-0.02p²+0.8p万元。总成本=固定成本+可变成本×需求量=2+50*(-0.02p+0.8)=2-p+40=42-p万元。总利润P=总收入-总成本=(-0.02p²+0.8p)-(42-p)=-0.02p²+0.8p-42+p=-0.02p²+1.8p-42万元。这是一个开口向下的二次函数，其最大值在对称轴p=-b/(2a)=-1.8/(2*(-0.02))=-1.8/(-0.04)=45元处取得。答：该公司应将产品的定价定为45元，此时可获得的最大总利润为P(45)=-0.02(45)²+1.8(45)-42=-0.02(2025)+81-42=-40.5+81-42=-1.5万元。（修正计算：P(45)=-0.02(45)²+1.8(45)-42=-0.02(2025)+81-42=-40.5+81-42=-1.5。利润为负，说明定价45元不可行。最大利润点在对称轴左侧。检查端点。需求量y=-0.02p+0.8，令y=0，得p=40。此时需求量为0。P(40)=-0.02(40)²+1.8(40)-42=-0.02(1600)+72-42=-32+72-42=-2万元。需求量不为0的最小价格是40元。检查p=0，P(0)=-42万元。最大利润出现在需求量最大时，即p=40时，P(40)=-2万元。对称轴p=45不合理。）（重新分析：利润P=(-0.02p²+0.8p)-(42-p)=-0.02p²+1.8p-42。对称轴p=45