光路计算与近轴光学系统

第三节光路计算与近轴光学系统一、基本概念与符号法则二、实际光线的光路计算三、近轴光线的光路计算※O:顶点。※C:球面曲率中心。※OC:球面曲率半径，r。※OE:透镜球面，也是两种介质n与n’的分界面。※h:光线投射高度。※物方截距:顶点O到入射光线与光轴交点，用L表示。※物方倾斜角:入射光线AE与光轴的夹角，也叫物方孔径角，用U表示。※像方截距:顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。※像方倾斜角:折射光线EA’与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U’表示。※入射角I※折射角I’※法线与光轴的夹角φ※子午平面:通过物点和光轴的截面A-LOE-UCrA’U’II’φnn’L’h一、基本概念与符号法则只知道无符号的参数,光线可能有四种情况。要确定光线的位置,仅有参量是不够的,还必须对符号作出规定。

符号规则（一)光路方向从左向右为正向光路,反之为反向光路。

正向光路反向光路（二)线段即线段的原点为起点,向右为正,向左为负。

原点+原点－沿轴线段：从起点（原点)到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负。

（1)曲率半径r，以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。

EAO+rCAEC-rO

（2)物方截距L和像方截距L’也以顶点O为原点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。

AA’-L+L’EOCAEC-L’-LA’O（3)球面间隔d以前一个球面的顶点为原点，向右为正，向左为负。

O1O2O1O2O1O2+d（在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况)AB+yOEC+hA’B’-y’垂轴线段:以光轴为界，上方为正，下方为负。

（三)角度角度的度量一律以锐角来度量,由起始边顺时针转到终止边为正,逆时针为负。

（1)光线与光轴的夹角，如U、U’，以光轴为起始边。

AB-LyOECrL’A’B’h-y’起始边规定如下:-UU’（2)光线与法线的夹角，如I、I’，以光线为起始边。

AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’I-I”I’-I”-I’（3)入射点法线与光轴的夹角φ（球心角)，以光轴为起始边。

AB-LyOE-UCrL’A’U’B’h-y’II’φ练习:试用符号规则标出下列光组及光线的位置（1)r=-30mm、L=-100mm、U=-10°（2)r=30mm、L=-100mm、U=-10°（3)r1=100mm、r2=-200mm、d=5mm、L=-200mm、U=-10°（4)r=-40mm、L’=200mm、U’=-10°（5)r=-40mm、L=-100mm、U=-10°、L’=-200mm符号规则是人为规定的,一经定下,就要严格遵守,只有这样才能导出正确结果当结构参数r,n,n’给定时,只要知道L和U,就可求L’和U’A-LOE-UCrA’U’II’φnn’L’二、实际光线的光路计算A-LOE-UCrA’U’II’φnn’L’△AEC中，－L＋r=AC，并由正弦定理可得：在△EA’C中，CA’

=L’-r，由正弦定理，可得上述四个公式就是子午面内光路计算的实际光路公式,当n、n’、r和L、U已知时,可依次求出U’和L’。

当物点位于光轴上无限远处时,可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光,此时有L=-∞,U=0然后再按其它实际光路公式计算OECrIφnn’h入射角可以按计算例：已知一折射球面其r=36.48mm，n=1，n’=1.5163。轴上点A的截距L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为-1°、-2°、-3°的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’和像方倾斜角U’)AEOCnn’-240mmU=-1°:U’=1.596415°L’=150.7065mmU=-2°:U’=3.291334°L’=147.3711mmU=-3°:U’=5.204484°L’=141.6813mm可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点!EAOCnn’-240mm轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差)。

折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善的,所成的像不是一点,而是个模糊的像斑,在光学上称其为弥散斑。

一个物体是由无数发光点组成的,如果每个点的像都是弥散斑,那么物体的像就是模糊的。

将物方倾斜角U限制在一个很小的范围内,人为选择靠近光轴的光线,只考虑近轴光成像,这是可以认为可以成完善像U,U’,I,I’都很小,我们用弧度值来代替它的正弦值,并用小写字母表示。

同时L,L’也用小写表示。

三、近轴光线的光路计算则实际光路公式可写成:称为近轴公式当无限远物点发出的平行光入射时,有继续用其余三个公式。OECriφnn’h例2:仍用上例的参数r=36.48mm,n=1,n’=1.5163,l=-240mm,sinU=u=-0.017求:l’,u’与大L公式计算的结果比较:L’=150.7065mm.(1°)近轴光学的基本公式的推导对于近轴光而言,AO=-l,OA’=l’,tgu=u,tgu’=u’有:lu=l’u’=hA-lOE-uCrA’u’ii’φnn’l’h如将和中的i,i’

代入给出了u

和u’

的关系给出了l

和l’

的关系"阿贝不变量”。当物点位置一定时，物空间和像空间的Q值相等。

由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知,l’与u无关。

由近轴细光束成的完善像称为高斯像光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学。这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束,可以会聚到一点,也就是所成的像是完善的。

第四节球面光学成像系统一、单个折射面成像二、球面反射镜成像三、共轴球面系统（一)垂轴放大率垂直于光轴,大小为y的物体经折射球面后成的像大小为y’,则β称为垂轴放大率或横向放大率A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’一、单个折射面成像△ABC∽△A’B’C有：由阿贝不变量公式可得：代入上式可得：可见β只取决于介质折射率和物体位置。A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性:（1)若β>0，即y与y’同号，表示成正立像。反之成倒立像。

对横向放大率的讨论（2)若β>0，即l与l’同号，表示物象在折射球面同侧，物像虚实相反。反之l与l’异号，物像虚实相同。

可归结为:β>0，成正立像且物像虚实相反。

β<0，成倒立像且物像虚实相同。

l’l（3)若|β|>1，则|y’|>|y|，成放大像，反之|y’|<|y|，成缩小像还可发现,当物体由远而近时,即l变小,则β增大成像的位置、大小、虚实、倒正极为重要!!!轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它定义为物点沿光轴作微小移动dl时,所引起的像点移动量dl’与dl之比,用α表示。

对公式微分，有（二)轴向放大率整理后由于所以（1)折射球面的轴向放大率恒为正，说明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。（2)轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面不可能获得与物体相似的立体像。（3)公式应用条件：dl很小。

讨论:由得到以下结论：在近轴区内,角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u’与u的比值,用γ表示（三)角放大率A-lOE-uCrA’u’nn’l’hy-y’BB’将式lu=l’

u’=h代入上式可得上式两边乘以n’/n,并利用垂轴放大率公式,可得上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力,只与共轭点的位置有关,与光线的孔径角无关将轴向放大率与角放大率公式相乘，有:上式为三种放大率的关系。即:J称为拉赫不变量或传递不变量,可以利用这一性质,在物方参数固定后,通过改变u’来控制y’的大小,也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率。

上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式,它表明实际光学系统在近轴区域成像时,在一对共轭面内,其n,u,y或n’,u’,y’的乘积为一常数J。

AOE-uCA’u’ny-y’BB’n’解:β<0:倒立、实像、两侧|β|<1:缩小例1-3：已知一个光学系统的结构参数，r=36.48mm,n=1,n’=1.5163,l=-240mm,y=20mm

已求出：l’=151.838mm，

现求β,y’（横向放大率与像的大小)上例中,若l1=-100mm,l2=-30mm,求像的位置大小。

当l1=-100mm时: l1’=365.113mm β1=-2.4079 y1’=-48.1584mm放大倒立实像，两侧利用公式当l2=-30mm时:l2’=-79.0548mmβ2=1.7379y2’=34.7578mm放大正立虚像同侧（一)物像关系二、球面反射镜成像将代入A-lOECrA’n-l’y-y’BB’（二)放大率A-lOECrA’n-l’y-y’BB’将代入由两个折射面组成的透镜，均已知。现在已知l1和u1,要求l2’和u2’A1’=A2A1O1O2n1n2’n1’=n2-l1u1u2’u1’=u2l2’d1

l2l1’三、共轴球面系统（1)用近轴公式算出光线经第一个折射面后的像方截距l’1和孔径角u1’问题分两步解决:A1O1n1n1’-l1u1u1’l1’A1’（2)将第一个面的出射光线作为第二个面的入射光线，再利用近轴公式求解最终的l’2和u2’将第一个折射面像空间参数转化为第二个折射面物空间参数,称为转面公式。

注意:O1O2n2’n1’=n2u2’u1’=u2l2’d1l2l1’A1’=A2推而广之，如果有k个折射球面，也必须先给定光学系统的结构参数:（1)每个球面的曲率半径r1，r2……rk（2)每个球面间隔d1，d2……dk（3)每个球面间介质折射率n1，n’1=n2，n’2=n3……n’k-1=nk，最后