2025-2026学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共22页）2025-2026学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．（3分）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程2x2+5x−6＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，6 B．5，2，6 C．2，5，−6 D．5，2，−63．（3分）抛物线y＝（x−2）2+2的顶点坐标为（）A．（−2，2） B．（2，−2） C．（2，2） D．（−2，−2）4．（3分）关于一元二次方程x2+2x−3＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定5．（3分）如图，将△ABC在平面内绕点C旋转到△A'B'C的位置，∠BCB'＝48°，则∠CAA'的度数为（）A．46° B．48° C．66° D．68°6．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交，连接BC、BD．若∠ABD＝40°，则∠DCB的大小为（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．（3分）已知二次函数y＝ax2−4ax+1（a＜0）图象上三点A（−1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y28．（3分）已知m，n是关于x的方程x2−2x−2＝0的两个根，则的值为（）A．2016 B．2048 C．2050 D．20569．（3分）如图，将⊙O的圆周12等分后得到表盘模型，整钟点为An（n为1～12的整数），分别连接A11A8，A11A4和A8A4，得到△A11A8A4，射线A11A3和射线A8A4相交于圆外一点M，若A11M＝2，则A8A4的长为（）A． B． C． D．10．（3分）如图（1），E为矩形ABCD的边AD上一点，点F从点C出发沿折线C−E−A运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，DF的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则a−b的值是（）A．−12 B．−11 C． D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置。11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，−3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）将抛物线y＝−2（x+1）2−2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为．13．（3分）学校的劳动实践基地是一块长30米、宽17米的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到448平方米．若设小道的宽为x米，则根据题意，x满足的方程是．14．（3分）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则⊙O的半径为米．15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝35°，点D是AB的中点，将DB在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到DB′（0°＜α＜180°），当△ACB′恰为等腰三角形时，α的值为．16．（3分）已知二次函数y＝ax2−（3a+1）x+2a+2，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（1，1）和（2，0）两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若a＞0，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么a＝−1；⑤若a＜−1，则关于x的方程|ax2−（3a+1）x+2a+2|＝1的根有4个，其中正确的是.（只需填写序号）三、解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17．（8分）解下列方程：x2+2x−8＝0．18．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点P在其内部，且AP＝3，CP＝5，∠APB＝150°，将△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到△ABD．（1）求证：△ADP为等边三角形；（2）求线段PB的长．19．（8分）如图，直线y1＝x+m和抛物线交于点A（4，2），B（2，0）．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）不等式x2+bx+c＞x+m的解集为．20．（8分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，CF⊥BD于点F，交AB于点H，连接CA．（1）求证：CA＝CH；（2）若，求⊙O的半径．21．（8分）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C均为格点，点P为AB上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题．（1）在图（1）中，作线段AB关于点C中心对称的线段A′B′（点A′与点A对应），并在A′B′上作一点Q，使得直线PQ平分四边形ABA′B′的面积；（2）在图（2）中，作格点M，使得∠BAM＝45°，再在BC上作一点N，使得PN∥AM．22．（10分）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求原水流所在抛物线的解析式；（2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由；（3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围．23．（10分）如图，已知正方形FGCE与正方形ABCD共顶点C（GC＜BC），且CG在正方形ABCD的内部，连接DE、BG，直线BG交DE于点H．（1）如图（1），求证：△BGC≌△DEC；（2）如图（2），连接CH，请用一个等式表示线段DH、BH、CH之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图（2），若，当线段CH的长最大时，直接写出线段DH的长．

24．（12分）抛物线y＝x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如图（1），若点D是x轴下方抛物线上的点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，满足，求点D的横坐标；（3）如图（2），直线y＝mx+n（m，n为常数，m＞0）交抛物线于M、N两点．已知点F（0，−m−5），FM交抛物线于点Q，FN交抛物线于点P，连接PQ．求证：直线PQ过定点，并求出这个定点的坐标．

2025-2026学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCCACBCBAD一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．（3分）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．解：根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．2．（3分）一元二次方程2x2+5x−6＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，6 B．5，2，6 C．2，5，−6 D．5，2，−6解：一元二次方程2x2+5x−6＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，−6，故选：C．3．（3分）抛物线y＝（x−2）2+2的顶点坐标为（）A．（−2，2） B．（2，−2） C．（2，2） D．（−2，−2）解：∵抛物线y＝（x−2）2+2，∴抛物线y＝（x−2）2+2的顶点坐标为：（2，2），故选：C．4．（3分）关于一元二次方程x2+2x−3＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定解：x2+2x−3＝0，a＝1，b＝2，c＝−3，b2−4ac＝22−4×1×（−3）＝4+12＝16＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）如图，将△ABC在平面内绕点C旋转到△A'B'C的位置，∠BCB'＝48°，则∠CAA'的度数为（）A．46° B．48° C．66° D．68°解：由旋转得，AC＝A'C，∠ACA'＝∠BCB'＝48°，∴∠CAA'＝＝66°．故选：C．6．（2026东湖期中）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交，连接BC、BD．若∠ABD＝40°，则∠DCB的大小为（）A．40° B．50° C．60° D．70°解：如图，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝40′，∴∠DCB＝∠ACB−∠ACD＝50°．故选：B．7．（2026东湖期中）已知二次函数y＝ax2−4ax+1（a＜0）图象上三点A（−1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2解：∵y＝ax2−4ax+1（a＜0），∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝−＝2，∴x≥2时，y随x的增大而减小，∵二次函数y＝ax2−4ax+1（a＜0）图象上三点A（−1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3），∴A点关于直线x＝2的对称点是D（5，y1）也在抛物线上，∵2＜4＜5，∴y1＜y3＜y2，故选：C．

8．（2026东湖期中）已知m，n是关于x的方程x2−2x−2＝0的两个根，则的值为（）A．2016 B．2048 C．2050 D．2056解：由条件可知m2−2m−2＝0，mn＝−2，m+m＝2，∴m2＝2m+2，∴4m2+8n+mn+2025＝4（2m+2）+8n+mn+2025＝8m+8+8n+mn+2025＝8（m+n）+mn+2025+8，把m+n＝2，mn＝−2代入，∴8（m+n）+mn+2025+8＝8×2+×（−2）+2025+8＝16−1+2025+8＝2048．故选：B．8．（2026东湖期中改编）已知m，n是关于x的方程x2−2x−2＝0的两个根，则4m2+8n+mn+99= ．解：由条件可知m2−2m−2＝0，mn＝−2，m+m＝2，∴m2＝2m+2，∴4m2+8n+mn+99＝4（2m+2）+8n+mn+99＝8m+8+8n+mn+99＝8（m+n）+mn+99+8，把m+n＝2，mn＝−2代入，∴8（m+n）+mn+99+8＝8×2+×（−2）+99+8＝16−1+99+8＝122．9．（2026东湖期中）如图，将⊙O的圆周12等分后得到表盘模型，整钟点为An（n为1～12的整数），分别连接A11A8，A11A4和A8A4，得到△A11A8A4，射线A11A3和射线A8A4相交于圆外一点M，若A11M＝2，则A8A4的长为（）A． B． C． D．解：如图连接OA，OA8，OA4，过点A11作A11H⊥A8M于点H．由题意∠A8OA4＝120°，∠A11OA8＝90°，∠A11OA4＝150°，∴∠MA8A11＝×150°＝75°，同法可得∠MA11A8＝75°，∴∠MA11A8＝∠MA8A11，∠M＝30°，∴MA11＝MA8＝2，∵A11H⊥MA8，∴A11H＝MA11＝1，MH＝，∴HA8＝MA8−MH＝2−，∴A8A11＝＝＝−，∴OA8＝OA11＝（−）＝−1，∴A8A4＝OA8＝3−．故选：A．10．（2026东湖期中）如图（1），E为矩形ABCD的边AD上一点，点F从点C出发沿折线C−E−A运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，DF的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则a−b的值是（）A．−12 B．−11 C． D．解：由图（2）得：函数图象过（0，8），∴CD＝8，∵函数图象中点F从点C运动到点E时，运动路程为10，∴CE＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴DE＝6，∵点P是函数图象的最低点，∴DF⊥CE，∴DF＝＝，∠DFC＝90°，∴a＝CF＝，∵函数图象中点F运动到点A时，y的值为12，∴AD＝12，∴AE＝AD−DE＝12−6＝6，∴b＝CE+AE＝10+6＝16，∴a−b＝−16＝−，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置。11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，−3）关于原点对称的点的坐标是（−2，3）．解：根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数可得：点P（2，−3）关于原点对称的点的坐标是（−2，3），故答案为：（−2，3）．12．（3分）将抛物线y＝−2（x+1）2−2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为y＝−2（x−2）2−5．解：将抛物线y＝−2（x+1）2−2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为y＝−2（x+1−3）2−2−3，即y＝−2（x−2）2−5．故答案为：y＝−2（x−2）2−5．13．（3分）学校的劳动实践基地是一块长30米、宽17米的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到448平方米．若设小道的宽为x米，则根据题意，x满足的方程是（30−2x）（17−x）＝448．解：设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长为（30−2x）米，宽为（17−x）米的矩形，根据题意得：（30−2x）（17−x）＝448．故答案为：（30−2x）（17−x）＝448．14．（3分）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则⊙O的半径为5米．解：连接OC交AB于点M，连接OA，则MC＝1米，OC⊥AB，所以点M为AB的中点．因为AB＝6米，所以AM＝＝3米，令⊙O的半径为r米，在Rt△AOM中，（r−1）2+32＝r2，解得r＝5，所以⊙O的半径为5米．故答案为：5．15．（2026东湖期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝35°，点D是AB的中点，将DB在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到DB′（0°＜α＜180°），当△ACB′恰为等腰三角形时，α的值为40°或55°或70°．解：连接OD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝35°，∴∠B＝90°−∠BAC＝55°，∵点D是AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴∠DCA＝∠BAC＝35°，∠DCB＝∠B＝55°，∴∠BDC＝∠DCA+∠BAC＝2∠BAC＝70°，∠ADC＝∠DCB+∠B＝2∠B＝110°，∵将DB在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到DB′，∴∠BDB′＝α，B′D＝BD＝AD＝CD，如图1，△ACB′为等腰三角形，且B′C＝AC，易证△B′CD≌△ACD（SSS），∴∠B′DC＝∠ADC＝110°，∴∠BDB′＝α＝∠B′DC−∠BDC＝40°；如图2，△ACB′为等腰三角形，且B′C＝B′A，易证△B′DC≌△B′DA（SSS），∴∠B′DC＝∠B′DA，∵∠B′DC+∠B′DA+∠ADC＝360°，∴2∠B′DC+110°＝360°，∴∠B′DC＝125°，∴∠BDB′＝α＝∠B′DC−∠BDC＝55°；如图3，△ACB′为等腰三角形，且AB′＝AC，易证△ADB′≌△ADC（SSS），∴∠ADB′＝∠ADC＝110°，∴∠B′DC＝360°−∠ADB′−∠ADC＝140°，∴∠BDB′＝α＝∠B′DC−∠BDC＝70°，综上所述，α的值为40°或55°或70°，故答案为：40°或55°或70°．15．（2026汉阳四校期中联考）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为90°或180°或270°．解：由题意可知，P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动．如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．∵P3C＝2AB＝BC，又∵∠B＝60°，∴△P3BC为等边三角形，∴AC⊥AB．在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴CD⊥AC．∴∠ACD＝90°，∴当P在直线AC上时符合题意，∴α1＝90°，α2＝270°．连接P3D，∵AP3∥CD，AP3＝AB＝CD，∴四边形ACDP3为平行四边形．∴∠P3DC＝∠P3AC＝90°，即：P运动到P3时符合题意．∴α3＝180°．记CD中点为G，以G为圆心，GC为半径作⊙G．AG＝＝＝＝＞，∴⊙A与⊙G相离，∴∠DPC＜90°．故答案为：90°、180°、270°．

16．（2026东湖期中）已知二次函数y＝ax2−（3a+1）x+2a+2，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（1，1）和（2，0）两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若a＞0，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么a＝−1；⑤若a＜−1，则关于x的方程|ax2−（3a+1）x+2a+2|＝1的根有4个，其中正确的是①②③④⑤.（只需填写序号）解：∵y＝ax2−（3a+1）x+2a+2＝[ax−（a+1）]（x−2）＝（ax−a−1）（x−2），∴对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（1，1）和（2，0）两点，故①正确；对于任何满足条件的a，该二次函数的图象必经过（2，0），即该函数图象与x轴一定有交点，故②正确；∵二次函数y＝ax2−（3a+1）x+2a+2的对称轴是直线x＝−＝+，∴若a＞0，则+＞，该函数图象开口向上，∴若a＞0，当时，y随x的增大而减小，故③正确；∵y＝ax2−（3a+1）x+2a+2＝[ax−（a+1）]（x−2），∴当y＝0时，x1＝1+，x2＝2，∴若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么a＝−1，故④正确；令y＝ax2−（3a+1）x+2a+2＝1，则ax2−（3a+1）x+2a+1＝0，∴Δ＝（3a+1）2−4a（2a+1）＝a2+2a+1＝（a+1）2，若a＜−1，在Δ＝（a+1）2＞0，∴抛物线与直线y＝1有两个交点，∴函数y＝|ax2−（3a+1）x+2a+2|的图象与直线y＝1有4个交点，∴关于x的方程|ax2−（3a+1）x+2a+2|＝1的根有4个，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．

三、解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17．（8分）解下列方程：x2+2x−8＝0．解：x2+2x−8＝0，（x−2）（x+4）＝0，则x−2＝0或x+4＝0，所以x1＝2，x2＝−4．18．（2026东湖期中）如图，在等边三角形ABC中，点P在其内部，且AP＝3，CP＝5，∠APB＝150°，将△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到△ABD．（1）求证：△ADP为等边三角形；（2）求线段PB的长．（1）证明：∵△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到△ABD，∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAC，∴∠DAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP，即∠DAP＝∠BAC．∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAP＝60°，∴△ADP为等边三角形．（2）解：∵△ACP在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到△ABD，∴BD＝CP＝5．∵△ADP为等边三角形，∴∠APD＝60°，PD＝PA＝3．∵∠APB＝150°，∴∠DPB＝∠APB−∠APD＝150°−60°＝90°，∴PB＝＝＝4．19．（2026东湖期中）如图，直线y1＝x+m和抛物线交于点A（4，2），B（2，0）．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜2或x＞4．解：（1）将B（2，0）代入y1＝x+m得2+m＝0解得m＝−2，∴直线的解析式为y1＝x−2，将Λ（4，2），B（2，0）代入得，解得，∴抛物线的解析式为y2＝x2−5x+6；（2）当x＜2或x＞4时，y2＞y1，∴不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜2或x＞4．故答案为：x＜2或x＞4．

20．（2026东湖期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，CF⊥BD于点F，交AB于点H，连接CA．（1）求证：CA＝CH；（2）若，求⊙O的半径．（1）证明：连接CO，如图，∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∵CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵∠CHE+∠DCH＝90°，∠D+∠DCF＝90°，∴∠CHE＝∠D，∵∠D＝∠A，∴∠A＝∠CHE，∴CA＝CH；（2）解：设OE＝x，则EH＝1+x，∵AB⊥CD，CA＝CH，∴AE＝EH＝1+x，∴OC＝OA＝2x+1，在Rt△CEH中，∵CE2+OE2＝OC2，∴x2+（）2＝（2x+1）2，解得（舍），∴OC＝2×2+1＝5，即⊙O的半径为5．

21．（2026东湖期中）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C均为格点，点P为AB上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题．（1）在图1中，作线段AB关于点C中心对称的线段A′B′（点A′与点A对应），并在A′B′上作一点Q，使得直线PQ平分四边形ABA′B′的面积；（2）在图2中，作格点M，使得∠BAM＝45°，再在BC上作一点N，使得PN∥AM．解：（1）如图1中，线段A′B′，直线PQ即为所求；（2）如图2中，线段PN，点M即为所求．

22．（2026东湖期中）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求原水流所在抛物线的解析式；（2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由；（3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x−4）2+k，由题意得抛物线经过点C（12，0），A（0，12），，解得：，∴水流所在抛物线的解析式为：；（2）∵若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，∴平移后抛物线的解析式为：，∴当x＝0时，y＝15，即水流过点（0，15），∴15＜12+4＝16，答：水流不经过着火点B，比着火点B低1米；（3）∵将水流所在的抛物线向左平移m米，∴平移后抛物线的解析式为：，∴当x＝0时，，∵水流的到达点不低于A正上方3米，∴，解得：2≤m≤6．∴m的取值范围为2≤m≤6．

23．（2026东湖期中）如图，已知正方形FGCE与正方形ABCD共顶点C（GC＜BC），且CG在正方形ABCD的内部，连接DE、BG，直线BG交DE于点H．（1）如图1，求证：△BGC≌△DEC；（2）如图2，连接CH，请用一个等式表示线段DH、BH、CH之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若，当线段CH的长最大时，直接写出线段DH的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝90°，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE，∵∠BCG＝∠BCD−∠GCD，∠DCE＝∠GCE−∠GCD，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，∴△BCG≌△DCE（SAS）；（2）解：，理由如下：在BG上截取GM＝EH，∵△BCG≌△DCE，∴∠BGC＝∠DEC，在△GMC和△EHC中，，∴△GMC≌△EHC（SAS），∴CM＝CH，∠MCG＝∠HCE，∴∠MCH＝∠GCE＝90°，∴，∵△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∴BM＝DH，∴．（3）解：．由题意知点C、E、H、G在以EG为直径的圆上，当点F与点H重合时，CH为直径时最大，连接BD，设DH＝x，∵，∴，∵EF＝2，∴，∵，∴BH−DH＝4，∴BH＝x+4，∵∠BHD＝90°，∴，∴2x2+8x−4＝0，解得，∴．

24．（2026东湖期中）抛物线y＝x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如图1，若点D是x轴下方抛物线上的点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，满足，求点D的横坐标；（3）如图2，直线y＝mx+n（m，n为常数，m＞0）交抛物线于M、N两点．已知点F（0，−m−5），FM交抛物线于点Q，FN交抛物线于点P，连接PQ．求证：直线PQ过定点，并求出这个定点的坐标．（1）解：∵当x＝0时，y＝−3，当y＝0时，x2−2x−3＝0，解得x1＝−1，x2＝3∴A（−1，0）、B（3，0）、C（0，−3）．（2）解：设D点坐