初三数学(北京版)圆的对称性(2)-1教案

课程基本信息课例编号学科数学年级初三学期第一学期课题圆的对称性（2）教科书书名：义务教育教科书数学九年级上册出版社：北京出版社出版日期：2015年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师指导教师指导教师教学目标教学目标：1、了解圆是中心对称图形，并能通过观察，实验探索出在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦之间的关系.2、能够应用圆心角，弧，弦之间的关系解决有关证明和计算问题，在运用中感悟转化的数学思想，获得分析和解决问题的方法.3、通过观察，发现，探究数学问题，激发学生对数学的好奇心和求知欲.教学重点：掌握圆心角，弧，弦之间的关系.教学难点：圆心角，弧，弦之间的关系的探索及其应用.教学过程时间教学环节主要师生活动3min8min2min2min2min2min1min1min一、复习回顾二、探究新知三、拓展练习四、归纳总结五、课后作业一、复习回顾.【活动一】如图，等边三角形、平行四边形、正方形、圆是轴对称图形的是（）.【活动二】如图，等边三角形、平行四边形、正方形、圆是中心对称图形的是（）.【活动三】如图，等边三角形、平行四边形、正方形、圆分别绕着点O旋转任意角度后，能与原图形重合的是（）.学生动手操作并思考.小结：是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴.圆的对称是中心对称图形，圆心是对称中心.圆绕着圆心旋转任意角度后，旋转后的图形都能与原来的图形完成重合.设计意图：在动手操作的过程中感受轴对称图形及中心对称图形的特点，并进一步感受圆与其他三种图形的不同点：圆绕着圆心O点旋转任意角度后都可以和原图形重合，突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来的图形重合的局限性，从而得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.同时为后面研究三量关系做准备.二、探究新知.eq\o(AB,\s\up5(⌒))eq\o(AB,\s\up5(⌒))【活动四】问题1：在⊙O上画出两个圆心角∠AOB、∠，使∠AOB=∠,连接AB、.弦AB与有什么关系？eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))与eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2())有什么关系？为什么？分析：在△AOB和△中，∠AOB=∠，半径OA=OB==，通过SAS可判定△AOB≌△，因此得到对应边AB=.在同圆或等圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，因此在⊙O中，∠AOB和∠所对的两条优弧和劣弧分别相等，即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2()).预案：学生尝试分析，证明全等，得出结论.由此我们可以得到以下结论：符号语言：∵在⊙O中，∠AOB=∠.∴AB=，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2()).在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.设计意图：通过学生动手画图，操作，理解在同圆或等圆中，两个相等的圆心角可以转化为对应的两条相等的弧或弦.初步感受圆心角与弧，弦之间的关系.思考：那么类似的，如果已知弧相等，或弦相等，能不能得到对应的圆心角相等呢？问题2：已知:点A、B、、在⊙O上，且eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2())，求证：∠AOB=∠，AB=.我们先来看已知弧相等，在⊙O中，已知eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2())，在同圆或等圆中，两弧所对的圆心角相等，即∠AOB=∠，利用SAS判定△AOB≌△，对应边相等，即弦AB=.因此我们可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.符号语言：∵在⊙O中，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2()).∴AB=∠AOB=∠.同理，在⊙O中，已知弦AB=,如何证明∠AOB=∠呢？问题3：已知:点A、B、、在⊙O上，且AB=，求证：∠AOB=∠，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2()).当然也可以通过SSS证明△AOB≌△，来得到圆心角相等.有了圆心角相等，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2())也就有了.所以：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也分别相等.符号语言：∵在⊙O中，AB=.∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2())∠AOB=∠.教师追问：如果不在同圆或等圆中，这三个量的关系还成立吗？预案：学生讨论，举出反例说明前提条件的必要性.综合上诉结论，我们可以得到：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.设计意图：明确三量关系中，知一可得二.也进一步明确三量关系中的前提“同圆或等圆中”不可丢，体会前提条件的必要性.【活动五】例1：已知：如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))的中点.试判断四边形AOBC的形状，并说明理由.分析：将两条弧相等转化为两个圆心角相等.连接OC，从而得到两个等边三角形，△AOC和△BOC，由四条边相等的四边形是菱形判定出四边形AOBC的形状.设计意图：感受弧与圆心角之间的转化，使学生对文字语言，图形语言，符号语言三种语言间的转换加以训练.【活动六】例2：已知，如图，B，C是以AD为直径的⊙O上的两点，且OC∥BD.求证：AC=CB.分析：将两个圆心角相等转化为两条弦相等.连接OB，△OBD是等腰三角形，由等边对等角得∠OBD=∠ODB，由平行得同位角∠ODB=∠1，内错角∠OBD=∠2，最终推导出∠1=∠2.设计意图：活动五的变式练习，将已知中弧的中点改为一组平行，使学生感受圆心角与弦之间的转化，尝试应用圆心角，弧，弦之间的关系解决实际问题，并体会添加辅助线在问题解决中的作用.三、拓展练习.【活动七】1.如图，在⊙O中，AB是直径，点C和点D是⊙O上两点，且弦BC=CD=DA，则∠BCD=（）.分析：连接OC，OD，通过将弦相等转化为同心角相等，得到3个60°的圆心角，从而得到△BOC，△COD，△AOD三个等边三角形，而∠BCD=∠BCO+∠DCO=120°.设计意图：在解决问题的过程中，感受弦与同心角的转化，进一步熟练应用三量关系定理解决问题，提高学生分析问题，解决问题的能力。【活动八】2.如图，在⊙O中，如果eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=2eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))，那么BC2AC.(填“>”、“<”或“=”)分析：将两条弧相等转化为两条弦相等，取eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))中点D，得到相等的三条弧，对应的三条相等的弦，再利用三角形的三边关系，得到BC<CD+BD，即BC<2AC.设计意图：通过分析问题，解决问题，感受弧与弦之间的转化.进一步理解三量关系定理.四、归纳总结.1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心.圆具有旋转不变性.2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的各组量都分别相等.3、已学过的证明弧相等的方法：根据定义，证明两条弧重合；利用垂径定理；利用圆心角，弧，弦的三量关系定理.设计意图：对本节课所学的知识点进行总结，对已学过的证明弧相等的方法进行归纳，培养学生归纳总结的意识.五、课后作业.A组：1.圆既是图形，又是图形.2.已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么；（2）如果eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD)),那么；（3）如果∠AOB=∠COD,那么.B组：1.如图，以平行