河北省石家庄正中实验中学2026-2027学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北省石家庄正中实验中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知全集U=R，集合A={x||x|＞1}，则∁UA=（）A.（-∞，-1] B.[-1，0） C.[-1，1] D.（1，+∞）2.复数Z=，则Z的虚部为（）A. B.i C. D.i3.若{，，}构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（）A.{，-，} B.{+，-，}

C.{+，-，+} D.{+2，-2，4+}4.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是（

）

​​​​​​​A. B. C. D.05.如图，在空间四边形ABCD中，，，若，则x+y+z=（）A.

B.

C.

D.

6.若A（1，0，1）、B（0，3，0）、C（1，1，2），则点A到直线BC的距离为（）A. B. C. D.27.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（）A.

B.函数的图象关于y轴对称

C.函数在上单调递减

D.函数f（x）在（0，2π）有3个极值点8.图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为6，体积之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为（）A. B. C.36π D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α

B.若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量，，则在上的投影向量为（1，2，2）10.已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则 B.若，则事件与B相互独立

C.若A发生时B一定发生，则 D.11.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，K分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点，点E，F，P分别是线段BD，CB，BD（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（）A.若P为BD1的中点，则MN∥平面PAC

B.存在点P，使得KC1∥平面PAC

C.EF的最小值为

D.若BE=B1F，则EF取得最小值时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f（x）=x3+x,若正实数m,n满足f（2m）+f（n-3）=0，则的最小值为

.13.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A1，则三棱锥A1-EDF的内切球的体积是

.14.已知空间直角坐标系O-xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y-2z+1=0，直线l是两个平面x-y+3=0与x-2z-1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的顶点A（1，3），B（2，7），C（-3，4），F为BC的中点.

（1）求直线AF的斜率；

（2）判断△ABC的形状.16.(本小题15分)

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形.侧棱AA1的长为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°.

（1）求AC1的长；

（2）求直线BD1与AC所成角的余弦值.17.(本小题15分)

在△ABC中，已知b2+c2=a2+bc.

（1）求角A；

（2）若sinC=2sinB，且b=2，求△ABC的面积；

（3）若b+c=1，求a的取值范围.18.(本小题17分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、CD的中点.

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；

（3）线段D1F上是否存在一点P，使得二面角P-A1C1-E的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，，AB=2，CF=1.

（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；

（3）若点M在线段EF，（M与E，F都不重合）上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的范围.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】6

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】；

等腰直角三角形

16.【答案】解：（1）因为底面ABCD是边长为2的正方形．侧棱AA1的长为4，且∠A1AB=∠A1AD=120°，

所以==4×2×cos120°=-4，=0，

由图，可得，

则==2；

（2）由题意可知，，

则=，

又因为，

所以=4-4+（-4）+（-4）=-8，

又因为||=2，

则BD1与AC所成角的余弦值为．

17.【答案】解：（1），

整理可得，

A∈（0，π），则；

（2），

代入b=2，得c=4，

，代入，

；

（3）a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,

由b+c=1，得b2+c2=（b+c）2-2bc=1-2bc,

代入上式：a2=1-2bc-bc=1-3bc.

，

当且仅当时取等号．

，

又a＞0，b+c=1＞a,所以，

所以a的取值范围为．

18.【答案】解：（1）证明：根据题意可建系如图：

则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），F（1，2，0），D1（0，2，2），

所以，，

设平面A1EC1的法向量为，

则，即，取，

所以，又D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1；

（2）由（1）知，

则，

所以直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；

（3）设线段D1F上存在点P使得二面角P-A1C1-E的余弦值为，

当点P与点D1重合时，显然二面角P-A1C1-E为钝角，余弦值小于0，不符合题意；

过P作PQ⊥DF于点Q，取QD=p,0＜p≤1，则P（p,2，2-2p），

由（1）可知，，

又平面A1EC1的法向量，

设平面PA1C1的法向量为，

则，即，

令a=1，则b=-1，，所以，

则，

解得，符合题意，

因此线段D1F上存在点，使得二面角P-A1C1-E的余弦值为．

19.【答案】（1）证明：因为BC=1，，AB=2，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC，

因为CF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥CF，

又CF∩AC=C，CF，AC⊂平面ACFE，

所以BC⊥平面ACFE．

（2）解：取BF的中点G，连接AG，CG，如图所示，

因为CF=CB=1，所以CG⊥BF，且CG=BF=，

由（1）知AC⊥BC，

由CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，知AC⊥CF，

又BC∩CF=C，BC，CF⊂平面BCF，

所以AC⊥平面BCF，

所以∠AGC为二面角A-BF-C的平面角，

在Rt△ACG中，AC=，CG=，所以，

所以，

即二面角A-BF-