上海市杨浦区2026-2027学年九年级上学期数学质量调研（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市杨浦区2026-2027学年九年级上学期数学质量调研（一）一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（

）A. B. C. D.2.抛物线的最大值为__________，此时a__________0．（

）A.0，小于 B.1，大于 C.2，大于等于 D.0，大于3.下列说法正确的是（）A.概率为0的事件可能发生 B.相等的圆心角对应的弧不一定相等

C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.要满足分式的值为0，分子为0即可4.如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（

）

A. B.

C. D.5.有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点O是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，x轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为米，此时最多可悬挂的灯笼数为（

）

A.10 B.11 C.12 D.136.有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（

）

A. B. C. D.二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。7.若，则

．8.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，b=3，那么c=

.9.计算：

．10.在中，，，，则

．11.将抛物线向左平移3个单位后的解析式为

．12.已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长是

．13.甲事件：太阳西升东落，乙事件：一只猴子打字打出《哈姆雷特》，概率为0的事件有

．14.已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是

．15.在平行四边形中，，，，则的长度为

．16.定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为

．

17.如图，等腰直角三角形中，斜边的长为，点为的中点，为边上的动点，交于，点为中点，当点从点运动到点时，点经过的路径长为

．

三、解答题：本题共7小题，共99分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题12分)

在中，角所对应的边分别是，已知，，．(1)求的值；(2)求和的面积．19.(本小题12分)已知矩形的最短边；

(1)求矩形对角线长度的取值范围；(2)记其长、宽、对角线长、面积这四个量为一组数据，从中随机选取三个互不相同的量，按照从小到大依次记为a、b、c；且满足，求矩形的面积（写出所有可能的值）．20.(本小题15分)如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和，与、分别交于P、M，已知，，求的长．

21.(本小题15分)已知下图都是的正方形格点图，的三个顶点都在格点上．以下三题请你只能使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）：

(1)在边上找一点F，使得；(2)作出的重心G；(3)找出所有格点H，使得．22.(本小题15分)已知四边形为平行四边形，，点E为延长线上一点．

(1)若，求证：四边形为菱形；(2)在（1）的条件下，作，交直线于点F，G为中点，若，，求证：四边形为正方形．23.(本小题15分)已知在平面直角坐标系中有函数；点D、C为抛物线与x轴的交点（D在C左侧），B为抛物线的顶点，A在抛物线上，且在对称轴左侧x轴上方一动点．

(1)若与x轴交于F，设，求的值．(2)若，请问A、B、C、D任意两点形成的所有直线交点个数n是否为定值？若是，请求出n；若不是，请求出可能的值，并写出对应n时A点的坐标．（多条直线相交算一个交点）24.(本小题15分)如图，在中，为一条直径，，垂足为．

(1)若，求的值；(2)联结，取中点，联结并延长，交于，联结、．①求证：平分；②延长交直线于点，若，求的值．

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

/

13.【答案】甲事件

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】9或

17.【答案】

18.【答案】【小题1】解：如图，过点作，交的延长线于点，∵，∴，在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，即；【小题2】解：在中，，∴，∵，，，∴．

19.【答案】【小题1】解：∵矩形的最短边，∴，∴对角线长度；【小题2】解：设矩形长为，由最短边为2得，四个量分别为：短边，长边，对角线​，面积．∴对角线​，面积，∴面积对角线，∵，∴，∴，∴面积对角线，∴面积对角线，∴面积对角线．若选取长、宽、对角线长，从小到大依次为宽、长、对角线长，则、、，∵，∴，即，设，则，解得：（舍去），∴，即，∴面积；若选取长、宽、面积，从小到大依次为宽、长、面积，则、、，∵，∴，解得：（舍去），∴面积；若选取长、对角线长、面积，从小到大依次为长、对角线长、面积，则、、，∵，∴，解得：（舍去），∴面积；若选取宽、对角线长、面积，从小到大依次为宽、对角线长、面积，则、、，∵，∴，解得：，∴面积．

20.【答案】解：在等腰直角三角形和中，∴，,，∴，,，∴，，∴,，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．

21.【答案】【小题1】解：如图：即为所求．【小题2】解：如图：为的重心．【小题3】解：如图：即为所求．

22.【答案】【小题1】证明：四边形是平行四边形，，即∴四边形为菱形；【小题2】证明：连接，如图

​​​​​​​为中点，为中点，是的中位线，，，，，，为等腰直角三角形，且，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，且，∵四边形为菱形，∴，∴，四边形为正方形．

23.【答案】【小题1】解：令，得，其中，解得，在的左侧，，抛物线对称轴为直线，将代入解析式，得，顶点，∵A在抛物线上，且在对称轴左侧x轴上方一动点，∴，如图

​​​​​​​对角线与x轴交于点，与同高（点到轴距离），与同高（点到轴距离），设，，，，，，，，，；【小题2】解：，，，，在抛物线上，抛物线解析式，，，两边同除以，，整理，得，解得或（舍去），点坐标为，∵直线与抛物线联立得到一元二次方程，一元二次方程最多有两个实数根，一条直线最多与抛物线有两个交点，抛物线上任意三个互不相同的点不可能在同一直线上，∵A，B，C，D四点都在抛物线上，且四点互不重合，∴A，B，C，D中不存在三点共线，如图

​​​​​​​四点，任意三点都不共线，∴交点有A，B，C，D，以及与交点、与交点、与交点，共7个交点，，是定值．

24.【答案】【小题1】解：∵是的直径，于点，∴由垂径定理，点是的中点，即．连接，．设的半径为，则，．∵，∴．在中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴．【小题2】①证明：∵是的直径，于点，∴