2026年高一数学暑假测试卷（人教A版范围：必修第一册全册）（解析版）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（25-26高一上・山西忻州・期末）已知集合力=卜€刁一1三工工9},8=卜|丫=%2/€力},则4八8

中的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解题思路】求出集合力、B即可由交集定义得解.

【解答过程】由题可得集合A={xeZ|-l<x<9}={-1,0,1,234,5,6,7,8,9},

B={y\y=x2,xGA}={0,1,4,9,16,25,36,49,64,81）,

所以4rB={0,1,4,9},

所以力n8中的元素个数为4.

故选：C.

2.（5分）（25-26高一上•福建厦门•期中）已知集合4={x|-1VxW3},={x|—1<x<m+1],若

是成立的充分条件，则实数m的取值范围是（）

A.m>2B.m<2

C.m>2D.-2<m<2

【答案】C

【解题思路】分析可知，AQB,利用集合的包含关系可得出关于实数m的不等式，解之即可.

【解答过程】因为集合力={x|-1<x<3}»B=[x\—1<x<m+1},

若4是4W8成立的充分条件，则AG8,

所以，m4-1>3,解得m>2.

故选：C.

3.（5分）（25-26高一上•贵州黔东南•阶段检测）若关于式的不等式"2+"+c>0的解集是（一1,2）,则

不等式誓>0的解集是（）

A?-J

1/14

A.(_8,_g)u(3,+8)B.(十)

C.（-oo,-3）U（l,+oo）D.（-3,1）

【答案】B

【解题思路】利用一元二次不等式以2+取+00的解集是（一1,2）得。<0,利用韦达定理得

（-14-2=--

1vo一,进而解分式不等式即可求解.

-1x2=-a

【解答过程】由不等式Q/+加+c>0的解集是（一1,2）,所以a<0,

且-1,2是方程Q%2+以+c=0的两个根，

_1+2=_?serifb=-a

所以-1x2=-'所以lc=-2cT

a

所以也所以剪燮>0=«3x+l)(x—3)>0,y.a<0.

彳一。XO

所以(3%+1)(%—3)V0,解得一XV3,

所以不等式若>0的解集为（一/3）,

故选:B.

4.（5分）（25-26高一上•上海松江•期中）已知Q为非零实数，则在同一坐标系内，索函数丫=廿和一次函

【答案】D

【解题思路】根据幕函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.

2/14

【解答过程】对于A：由幕函数的性质可以判断出aVO,而由一次函数经过一、三象限可以判断出a>0.

矛盾.故A错误；

对•于B：由寻函数的性质可以判断出a>0,而由一次函数经过二、四象限可以判断出a<0,矛盾.故B错

误；

对于C：由幕函数的性质可以判断出a<0,而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出a<0,且一:

V0,矛盾.故C错误；

对于D：由暴函数的性质可以判断出Q>0,而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出Q>0,一5V0,

可以同时成立，故D正确.

故选:D.

5.（5分）（25-26高一下•河南洛阳・期末）已知sin（a+夕）=],tana=贝i」sin（a-0）=（）

A.7B.—gC.TD.—7

【答案】B

【解题思路】利用两角和的正弦公式，及同角三角函数的关系可求得sinacos0=、osasin/?=|,进而利用

两角差的正弦公式即可求解.

3Q

【解答过程】由sin（a+/?）=『可得sinacos/?+cosasin/?=『

由tana=可得吃=关器，所以2sinacos/?=cosasin/?,

.12

所以。=

sinacos£=%OcosasinD

所以sin（a—/?）=sinacos/?—cosasin/?=-

故选：B.

6.（5分）（25-26高一上•江苏宿迁•期中）声强/是表示声波强度的物理量，由于声强的变化范围非常大,

数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级乙=101*，其中/o是

常数，声强级L的单位是分贝，若甲地区的声强级比乙地区的声强级大3（）分贝，则甲地区的声强为乙地区

声强的（）倍.

A.10B.100C.1000D.10000

【答案】C

【解题思路】根据声湖级的定义，结合甲、乙两地区声电级的关系建立等式，进而求山甲、乙两地区声丸

3/14

的僧数关系.

【解答过程】设甲地区的声强为/],声强级为打；乙地区的声强为，2,声强级为42，

••"1=10点乙2=10吟

•••甲地区的声强级比乙地区的声强级大30分贝，

：•h—L2=30,即101g£-10唬=30=喷一唬=3,

LL..

二嗡—3=%=3,•••广=1。3=1000.

'o

故选:C.

7.(5分)(25-26高一上•内蒙古巴彦淖尔•阶段检测)函数/'(与)=Asin(Mt+>。⑷>0,0<0</)

的部分图象如图所示，则下列叙运正确的是()

A.函数f(x)图象可由y=Ainex的图象向左平移泠单位得到

B.函数/(曾在区间[一,4]上单调递增

C.函数/(%)图象关于直线x=々对称

D.函数/(x)图象的对称中心为(与+’0)(k£Z)

【答案】B

【解题思路】根据给定的函数图象，结合"五点法''作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性,

结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答.

【解答过程】由图象可知，4=2,/(0)=l=>sin(/)=因为0<8<],所以@=/

所以/(%)=2sin(3%+2),而/'e)=0,则cox某+5=E,kEZ=a)=零一"WZ,

由图可知#=?>瑞一OnOV3所以3=2,所以f(x)=2sin(2x+/,

A,y=/Isintox=2sin2%图象向左平移看个单位得到y=2sin2(x+^)=2sin(2x+g)图象，不正确：

4/14

B,由一W2x+'W3+2kiT,k€Z,可得一？+kn4x45€Z,

T4+2/HT04OO

则/(%)单调递增区间为［冶+仙吟+司，*0,则/(x)在［一或为上单调递增，即在［一，息上单调递增，

正确;

C,由于府)=2sin停+'=1=±2,则直线t=杯是函数/⑺图象的对称轴，不正确；

D,山2%+'=Mr,/ceZ,可得％=需+筝AWZ,则函数f(%)图象关于点(一会+与,0),々cZ对称，不正确.

故选：B.

8.(5分)(25-26高一上•山东临沂・期末)已知定义在R上的函数f(%),满足对任意的实数x,产均有+y)

=fa)+f(y)—i，且当％>。时，/(x)<1,则下列说法错误的是()

A./(0)=1

B./(1)+/(-1)=1

C.函数/(%)为减函数

D.函数y=/(x)的图象关于点(0,1)对称

【答案】B

【解题思路】借助赋值法令x=y=0计算出/(0),可判断A；借助赋值法令％=1,y=-l,并结合八0)的

值，求出/X—l)+f(l),可判断B；结合函数单调性的定义及赋值法令y>0,可判断函数/•(%)的单调性，

从而判断C；结合函数对称性及赋值法令y=-x,可判断D.

【解答过程】对A：令义=y=0,则有/(0)=f(0)+f(0)—1,故/'(0)=1,故A正确：

对B：令x=l,y=-1,则有f(0)=/(1)+/(—1)-1,故/'(1)+/(-1)=2,故B错误：

对C：令y>0,则有/(%+>-/(%)=C(y)-l，其中％+y>T,/(y)-1<0,

令％i=x+y,x2=%,即有对"不、工2WR，当不>无2时，/QD—/。2)〈。恒成立，

即函数/(%)为减函数，故C正确；

对D：令、=—%,则有〃%—%)=/(%)+〃一%)—1,又/'(())=1,

故/㈤+/(_%)=2,故函数y=/(%)的图象关于点(0,1)对称，故D正确.

故选:B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(25-26高一上•黑龙江哈尔滨•阶段检测)下列各式正确的是()

5/14

A.已知lg2=a,lg3=by贝ljlog615=

B.已知3a+b=1,则当f=3

2

C.若loga2=m,loga5=n,贝必加+”=40

ii

D1+■>2

1叫9十I。&S3,4

【答案】ABD

【解题思路】利用换底公式和对数的运算即可判断AD,利用指数的运算即可判断B,利用指数与对数互化

结合指数运算即可判断C.

，皿次m、“工A11c/IS值3+恒5Ig3+lg-^1-Ig2+Ig31-a+b,,TM,

【解答过程】对于A,log615=羸=蔽厢二而前二宝衍二七丁，故A正确；

对于B,史子=哼父=34。+»。=33。+6=3,故B正确；

mn

对于C,rhloga2=m<^a=2,loga5=n<=>a=5,

Q2m+n==®m）2.«=2

所以a2m.ana2x5=20,故C错误;

2

对于D,由氤+康=log94+log35=log322+log35

=logs2+log35=log310>log39=2,故D正确;

故选：ABD.

10.（6分）（25-26高一上•江苏常州•阶段检测）已知a力为正实数，a+b=4,则下列结论正确的是

（）

4

A.a的最小值为1

B.为一b的最小值为-4

C.，。2+52的最小值为2企

D.X的最小值为,

【答案】ACD

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式，结合基本不等式“1”的妙用逐项求解.

【解答过程】对于A,由Q>0力>0,a+h=4,得好工（呼）2=4,

当且仅当Q=b=2时取等号，因此白的最小值为1,A正确;

ab

对于B,由a>0力:>0,a+b=4,得a=4—b,0VbV4,则士一匕匕

Q+Z0-0

6/14

=匕+(6—8)—6之21占.(6-与一6=—4,当且仅当£=6—b,

即E=5时取等号，与0<匕<4矛盾，即上述等号不成立，B错误；

对于C,由Q+8=4,得必率京=1+叱8叫22*=2或,

当且仅当Q=b=2时取等号，C正确；

对于D,由a>0力>0,a+b=4,得:+”?中+”W+茎

>1+2=p当且仅当今即b=2a*时取等号，D正确.

故选:ACD.

11.(6分)(25-26而一上・重庆•阶段检测)已知函数/(%)=｛［；：；若关于x的方程fa)=k

(k€R)有4个不等的实数根，分别记为%1，%2，%3，%4，且<X2<X3<%4，则下列结论正确的是()

13

A.0V〃W彳B.e4<Af3<e

C.0<<7D.函数九(%)=几〃>)］一；有8个零点

【答案】ABD

【解题思路】先作出函数f(%)的图象，对于A,观察函数f。)的图象与y=k何时有4个交点即可；对于B,

通过0c1—ln%34［求解即可；对于C,由韦达定理可知Xi。=］-攵，由图象可得ln%3=1一死也必

=1+匕进而得33%4=e2,最后结合攵的范围求解即可；对于D,令/•(%)=%求出/(。一：=0的根，代

入/⑶=t,继续根据图象求根的个数即可.

【解答过程】在平面直角坐标系中，作出函数/(%)的图象.

关于x的方程-为)=k(keR)有4个不等的实数根，等价于函数f(%)的图象与y=k有4个交点.

2

对于A：由图可知，当OvkW*时，函数/(%)的图象与、=〃有4个交点，故A正确;

对于B：由图可知，0</(%3)工：，即0<1—1酸3工；，得:工也33<1，

解得仪工工3<0,故B正确;

7/14

对于C：由图可知，不,乃是d+x+Rk的两个解，因此，由韦达定理可得取2=；—化让(崎.

f(、3)=1—ln%3=/(X4)=lnx4—C=A,得ln%3=1—/c,lnx4=1+fc,

2

因此有ln%3+lnx4=lnx3x4=2,得X3X4=e.

因此％-k)e2e[0,y),故C错误;

对于D：设f(x)=t，则九(x)=f(t)一；=0,即/'(£)=",

当t<0时，f(t)=t2+t+=I，解得ti=-1或立=0；

当t>0时，/(t)=|lnt-l|=p得Int=：或Int=*,解得/=所或Q=E

当/(%)=£1=-1时,由图可知,X无解；

当八盼=七=。时，由图可知,文有2个解;

当/(幻=亡3=国>1>*时，由图可知，X有3个解：

当/(X)=Q=而>1>/时，由图可知，X有3个解.

综上所述，函数何%)=/[/•(%)]-5有8个零点，故D正确.

故选：ABD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(25-26高一上•天津和平•阶段检测)已知sina+cosa=2，月.一TT<a<0,则sina-cosa二

【答案】一日

【解题思路】根据同角三角函数美系即可求解.

【解答过程】由题意得(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+2sinacosa=",

3

所以sinacosa=-o

因为一n<a<0,所以cosa>0,sinaV0,所以sina-cosaV0,

(sina—cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—2sinacosa=

所以sina—cosa=一竽

8/14

故答案为:一率

13.(5分)(25-26高一上•黑龙江佳木斯•期中)已知x>0,y>0,且：+；=1,若％+2y>m2恒成立，

则实数m的取值范围是.

【答案】(一2企,2&)

【解题思路】由条件，利用基本不等式求％+2y的最小值，再结合关系％+2y>勿通恒成立，求m的取值范

围.

o1

【解答过程】因为义>0,y>0,；+-=1,

所以％+2y=(%+2y)(；+O=2+；+?+2=，+?+4N2E^+4=8,

当且仅当?=?,：+5=1时，等号成立，即当且仅当％=4,y=2时，等号成立，

所以x+2y的最小值为8,

因为x+2y>Hi2恒成立，所以?n?<8,

所以一2企<m<272

所以m的取值范围是(-272,272).

故答案为：(一271,2&).

14.(5分)(25-26高一上•山西吕梁•阶段检测)函数/Xx)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)=八2—x),

若/(I)=4,则/'(1)+/(2)+…+f(50)=

【答案】4

【解题思路】根据条件得/■(%)是周期为4的周期函数，再根据条件，结合函数的周期性，即可求解.

【解答过程】•・•/(%)=/(2—乃,M/(x+2)=/(-%),又/(%)是奇函数,

•••f(x+2)=/(-x)=-/(X),则fQ+4)=-/(x+2)=/(%),

所以/'(%)是周期为4的周期函数，

又/(町是定义在R上的奇函数，所以“0)=0,f(4)=/(0)=0,

又由/(%+2)=—/■(%),得到/•(%+2)+/(%)=0,所以/(2)=-=0)=0,f(3)+f(l)=0,

所以/(I)+/(2)+f(3)+/(4)=0,又〃1)=4,

则/(I)+/(2)+.••+/(50)=0x12+/(49)+/(50)=/(I)+f(2)=4.

故答案为:4.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

9/14

15.(13分)(25-26高一上•福建龙岩•阶段检测)已知函数/'(乃=(。2—3a+3)/是指数函数.

(1)求/(%)的解析式；

(2)解不等式loga(6-X)>loga(x-4).

【答案】(1)/(乃=2、

⑵(4,5)

【解题思路】(1)根据指数函数的定义令。2一3。।3=1(。>0,且a乎1),解出即可求解；

(2)由(1)得log2(6—%)>log2(x—4),利用对数函数的单调性解不等式即可求解.

【解答过程】(1)由题意得：令F-3。+3=1(。>0,且。工1),即a2-3a+2=0，

解得Q=2或1(舍去)，

所以f(x)=2。

(2)由(1)有:log2(6-x)>log2(x-4),

又因为y=log2%在(0,4-8)单调递增，

[6—x>x—4

所以6-x>0,解得4Vx<5,

Ix-4>0

所以原不等式的解集为：(4,5).

16.(15分)(25-26高一上•江苏盐城期中)若%>1,y>1,且满足x+y—+3=0.

(1)求x+y的最小值;

(x-l)Cy-l)

(2)求2x+y-3的最大值.

【答案】(1)6：

(2烁

【解题思路】(1)将给定等式变形为X+y+3=xy,再利用基本不等式求出最小值.

(2)将给定等式变形为。-1)3—1)=4,再利用基本不等式求最大值.

【解答过程】(1)由x+y-xy+3=0,得x+y+3=xyK(?」，

即(x+y)2-4(x+y)-12N0,整理得(x+y+2)(x+y-6)N0,解得x+yN6，

当且仅当％=y时取等号，由｛x+y1)l3=0,得为='=3,

所以当％=y=3时，x+y取得最小值6.

(2)由x+y—孙+3=0,

10/14

得。-1)3-1)=4,

II叶=12=____1_____V4=返

⑷叽2x+y-3~2(x-l)+(y-l)-2j2(x-l)(y-l)-T*

当且仅当晨§J；，二;)"^4，即％=四+1)=2&+1时，取等号，

所以当％=V2+1,7=2立+1时，唱”取得最大值享

17.(15分)(25-26高一下•辽宁•阶段检测)某游乐场内有一直径为24m的摩天轮，已知轴心到地面的高

度为12.8m.开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要

6min.

(1)一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,求转动一周过程中，“关于t的函数解

析式；

(2)当亡=1时,，求此游客距离地面的高度；

(3)在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于18.8m的时间有多长？

【答案】(l)H(t)=-12co*t+12.8,tG[0,6]

(2)6.8m

(3)2min

【解题思路】(1)利用正弦型函数的一般式＞=加皿(3£+9)+8结合题意，求出43必&

(2)根据(1)求出的表达式,计算”(1)即可;

(3)根据题意列出不等式H(t)N18.8,求解即可.

【解答过程】(1)设H(t)=Asin(3t+@)+8,

由题意知：A=12,B=12.8,T=—=6=0)=?,

故H(£)=12singt+/+12.8,

vH(0)=0.8,:*sin(p=—1,可取@=一?

:.//(t)=12sin(^t-0+12.8=-12cos^t4-12.8,

11/14

故解析式为H(t)=-12cosrt+12.8,tG[0,6].

(2)H(l)=-12cos^+12.8=—6+12.8=6.8,

所以当t=1时，求此游客距离地面的高度为6.8m.

(3)由题得，H(t)=-12cos^t4-12.8>18.8,即cos+W—

解得:然飞？=2WCW4,

所以此游客距离地面高度不少于18.8m的时间有2min.

18.(17分)(25-26高一上•福建三明•阶段检测)已知函数八%)对任意实数为y恒有"％+、)=/•(%)+/

(y),当x>0时，f(x)<0,且/'(1)=-2.

(1)判断〃乃的奇偶性并证明;

(2)求/(%)在区间[-4,4]上的最大值：

(3)若/(%)<7*-2QTN+2对所有的不QE[—1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)8

(3)771>2或771<—2

【解题思路】(I)赋值得出/'(0)=0,再取y=—%得出判断；

(2)用函数的定义先判断其在R二单调递减，然后赋值结合函数奇偶性得到最大值是/4)；

(3)先求不等式左边的最大值，然后变换主元，把不等式看成关于。的一次函数，结合一次逑数性质处理.

【解答过程】⑴取x=y=0,则f(0)=2f(0),则/(0)=0；

取丁=-x,则/(0)=0=f(x)+/(_%),

又/(%)定义域为R，则/(%)是奇函数.

(2)任取％1>%2，则％1—x2>0,

f(xi)—r(%2)=f(xz+%1一力)一r(%2)=r(%2)+f(%i—&)-f(%2)=f(xi—力)，

由%>0时，f(x)<0可知/(%1-x2)<0,

即/(右)一f(%2)V。即/(打)Vf(%2)，

故/(外在R上单调递减.

取X=y=1,则/(2)=2/(1)=-4,

取x=y=2,则/(4)=2/(2)=-8,

又/(%)是奇函数,则/'(一4)1"(4)=0,解得/(—4)=8,

12/14

结合/'(X)单调性可知，/-(X)在区间［—4,4］上的最大值是8

(3)由题知，若/(%)<而一2加1+2对所有的％5-1刀，QE［—L1］恒成立,

只需/(x)max<m2-2am+2,

结合函数的单调性,时,/(x)max=/(-l)=-/(l)=2,

则2Vm2—+2,即2?八。一小？vo,

将不等式左边视作关于Q的一次函数g(a)=2ma-m2,

而ae［-1,1］时g(a)<0恒成立，

附口需(9(1)<0即(2m-m2<0

改八呵g(-1)<0'R(-2m-7n2vo，

解得m>2或m<-2,

故实数m的取值范围为m>2或m<-2.

19.(17分)(25-26高一上•山东•阶段检测)已知集合4GN*,BGN*,其中4B中至少有两个元素，若

集合4,8满足：①对于任意两个不同元素x,yW4,都有%②对于任意两个不同元素％y£8且％Vy,

都有如4则称集合8是4的“友好集”.

(1)已知&={1,2,3},&={2,3,6}与&={1,2,4},&={2,4,8},分别判断々是否为&的“友好集”