8贝塞尔曲线教学讲义

8.贝塞尔曲线和曲面•贝塞尔曲线引论•贝塞尔曲线的性质•贝塞尔曲线的算法•贝塞尔曲面8.1贝塞尔曲线引论法国工程师PierreBézier在1862年提出了便于设计师应

用的一类参数曲线为雷诺公式设计汽车,称为Bézier曲

线,受到工业界和学术界的重视

。1872年英国的福里斯特发现Bézier曲线可以方便地用控制顶点的Bernstein基函数来表示,成为被广泛采用的Bézier曲

线的定义。

在二维或三维空间给定n+1个点P0、P1、P2、…、Pn。参数t的n次的Bézier曲线是其中P0、P1、…、Pn都是二维或三维空间的点,称为控制点,称Bk,n(t)是n次Bernstein基函数.,Bernstein基函数的性质1、非负性:Bk.n(t)0，

而且

，Bk.n(0)=k,0,Bk.n(1)=k,n■2、权性:■3、对称性:■4、导数:当k=1,2,…,n-1时

在t=k/n时取得最大值。5、最大值:■

事实上,当k=1,2,…,n-1时6、递推公式:■

第三式可以由前两式推出。7、升阶:当k=0,1,…,n时■

证明:8.2贝塞尔曲线的性质1、端点的位置:Bézier曲线通过第一个控制点P0和最

后一个控

制点Pn。这是因为2、端点的切线:Bézier曲线的切矢量是7、变差缩小性若Bezier曲线的特征多边形P0P1...Pn是一个平面图形,则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其

特征多边形的交点个数,这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小,也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺

。特

别地,凸的控制多边形,生成凸的Bezier曲线。

8.3贝塞尔曲线的算法设P0、P、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点

。过P0和P2点的两切线交于P1点,在P点的切线交P0P1和P2P1于Q和R,则抛物线的三切线定理

是当P0和P2固定,引入参数t,令上述比值为t:(1-t),Q=(1-t)P0+tP1,R=(1-t)P1+tP2,P=(1-t)Q+tR,当t从0变到1,第一、二式就分别表示控制二边形

的第一、二条边,它们是两条一次Bezier曲线。

RP2Q

P0P1P将一、二式代入第三式得:P=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2当t从0变到1时

，

它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线

。并且表明:这二次Bezier曲线P0,2可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合

。依次类推

，

由四个控制点定义的三次Bezier曲线P0,3可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合

，

由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义

的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0,n-1与P1,n-1的线性组

合。

8.4Bezier曲面利用Bezier曲线的性质,张量积形式的Bezier曲面的定义可以如下定义

。两组正交的Bezier曲线的控制顶点可作为矩形网格

。设Pij(i=0,…,n;j=0,…,m)为空间

点列,这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格,其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的mn次张量积形式的Bezier曲线为其中,是k次Bernstein基函数

。在一般实际应用中,n,m不大于4。Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面

。但是,其它许

多性质可推广到Bezier曲面。

其矩阵形式是根据上述定义，1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点

，

而与坐标系无关（几何不变性)；2.Bezier曲面有关于参数的对称性；3.Bezier曲面有凸包性。P13