广东潮州市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.若复数z=」一（i为虚数单位），则|z|=（）

1-i

A.—B.vC.1D.2

22

2.在△川?。中，已知4。为4c边上的中线，则布=（）

A.-+-JCB.-ZS--JCC.-~AB--~ACD.-+-JC

44442222

3.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）

A,正面向上的概率为0.48B.反面向上的概率是0.48

C.正面向上的频率为0.48D.反面向上的频率是0.48

4.已知a,是互不重合的直线，a,夕是互不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若allb,bua,则aliaB.若a_La,h,则allb

C.若。〃a,Q//£,则a〃/D.若aC夕=b,aua,alb,则。

5.已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2,则圆锥的体积为（）

A.-B.兀C,D.

33

6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为0.4,乙独立破译密码的概率为0.6,则恰有

一人破译密码的概率为（）

A.0.4B.0.6C.0.52D.0.76

7.已知)=(3,-1),^=(1,2),则向量)在向量B上的投影向量为)

(\2](1(12、2

D.，-

[55)[55)(55)55.

8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585）,塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三

层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、‘鹤、马、羊等各种祥

禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为力在

与点6同一水平而且共线的三点C,D,E处分别测得顶点/的仰角为30。，45°,60°,且

CD=DE=37m,则凤凰塔的高约为（）（参考数据：76«2.449）

A.40mB.45mC.50mD.55m

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.己知向量A=（x,l）,B=（2,X-1）,则下列结论正确的是（）

A.若1J.B，则x=；B.若。而，则x=2

C.若x=l,则5与方夹角为/D.忖+方卜&

6

31

io.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为a，万.记事件/为“两人都击中“，事

件4为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是（）

A.事件/与C是互斥事件B.事件A与。是对立事件

7

C.事件/与8相互独立D.P（A\jB）=q

8

ii.已知正方体44GA的棱长为1,下列说法正确的是（）

A.若点尸为线段G2上的任意一点，则4。，8P

B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为3兀

C.异面直线4。与8a所成角为45°

D.若点。为体对角线上的动点，则的最大值为三

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠

情况，准备从仝校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一

年级应抽取的人数是.

13.在△力8c中，若AB=W5,BC=3,ZC=120°,则4C=.

14.在复平面内，向量方对应的复数4=l+2i,O4绕点。逆时针旋转90°后对应的复数为z2,则z?=

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知复数Z=W?一〃?一2)+阳(〃7+1》,“GR.

(1)若z是纯虚数，求小；

(2)在复平面内，z对应的点位于第三象限，求〃，的取值范围.

16.如图，在△力中，。是3c上的点，48=36，BD=4,C=y,40=5.

(1)求角8的大小；

(2)求△4CO的面积.

17.为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教

育，通过知湫竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对'防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水

自救的方法，提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92,96,99,103,

104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组2()

名同学的成绩，将成绩分成[100,110),[110/20),[120/30),[130,140),[140,150]五组，并画出了其频率分

布直方图.

（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数,并根据频率分布直方图估计乙组20名同

学戌绩的众数；

（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同

一组的概率.

18.如图，在四棱锥P-43CQ中，尸Z）J_平面/BCDAB//DC,

AD1DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,尸分别为棱CD,的中点.

（1）求证：08//平面ZM；

（2）求证：/E_L平面尸8Q；

（3）求点。到平面P8C的距离.

19.设平面内两个非零向量帚，G的夹角为仇定义一种运算"®":在，。二|同同sin®.试求解下列问

题：

⑴若向量5=（、万,1）,W=2,之3=2百，求彳丽的假

（2）设方二（须,必），3=（%2，8），试用向量值，B的坐标表示的值;

⑶设点4（—2,1）,8（—1,2）,C（0,4）,求“BC的面积.

2025-2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.)

1.若复数z=」一(i为虚数单位)，则|z|=()

1-i

A.—B.vC.1D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出|z|.

【详解】依题意，z=/宁=-；+

所以|z|=j(-；)2+(g)2=*.

故选：A

2.在△力3c中，已知4。为3C边上的中线，则而二()

1—1—1一1一

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-7B+-~AC

44442222

【答案】D

【解析】

【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，AB+AC=2AD^

所以瓦■方+1刀.

22

3.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）

A,正面向上的概率为0.48B.反面向上的概率是0.48

C.正面向上的频率为0.48D,反面向上的频率是0.48

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案.

【详解】对于A,正面向上的概率为0.5,是固定不变的，故错误；

对于B,反面向上的概率也是0.5,是固定不变的，故错误；

对于C,抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为

0.48,正确：

对于D,抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可

知，反面向上的频率是0.52,故错误.

故选：C.

4.已知。，b是互不重合的直线，a,〃是互不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若a//b,力ua,则aliaB.若。J_a,J.a,则allb

C.若a〃a,。//夕，则a〃/D.若Qua,alb,则aJ■夕

【答案】B

【解析】

【详解】对于A：由a//b,bua,得a//a或aua,A错误：

对于B：由a_La,bLet,得B正确；

对于C：由。〃a,a//〃，得a"〃或名〃相交，C错误；

对于D：在正四面体48co中，令平面48C、平面/8Q分别为平面见夕，宜线45为直线6,

由线段为3的中点与点。确定的直线为〃，满足an〃=b,aua,alb,而a,〃不垂直，D错误.

5.已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2,则圆锥的体积为（）

A.-B.兀C.立ND.兀

33

【答案】C

【解析】

【详解】底面直径为2,则半径r二1.

故['>]//=y)22—I2=V3・

所以体积P=—hnr~=—-5/3-Ti-12=^-71.

333

6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为0.4,乙独立破译密码的概率为0.6,则恰有

一人破译密码的概率为()

A.0.4B,0.6C.0.52D.0.76

【答案】C

【解析】

【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可.

【详解】设甲独立破译密码为事件力，乙独立破译密码为事件方，

则伶有一人破译密码为4月+13,而力瓦)3互斥，

由互斥事件概率公式得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB),

由题意得4月相互独立，彳,8柞互独立，

由独立事件概率公式得P(/B)=P(A)xP(B)=P(A)x[l-P(B)],

P(AB)=P(A)xP⑻=P(8)x[1—P(4)],

由题意得尸(4)=0.4,P(B)=0.6,则尸(力耳)=0.4x[1-0.6]=0.16,

P(初)=0.6x[1-0.4]=0.36,得到P(AB+AB)=0.52,

则伶有一人破译密码的概率为0.52,故C正确.

故选：C

7.已知。=(3,-1),5二(1,2),则向量3在向量B上的投影向量为()

(\2、(20/12、(2

(55){55)(55)I55)

【答案】A

【解析】

d.b-

【详解】由题意得投影向量公式为MeJb，

其中限E=3xl+(-l)x2=l,52=12+22=5,

ab1ab=(x(l,2)=(\2)

所以讦=《，故b

ff

8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585）,塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三

层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥

禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智款为了测量其高度，设凤凰塔高为14,在

与点8同一水平面且共线的三点C,D,E处分别测得顶点力的仰角为30。，45°,60°,且

CD=DE=37m,则凤凰塔的高约为（）（参考数据：加起2.449）

A.40mB.45mC.5（）mD.55m

【答案】B

【解

【分析】利用邻补角余弦互为相反数，结合余弦定理列等式，消去角度直接解出塔高.

【详解】设塔高力，则BE=®h,BD=h,BC=6h，在ABDESBDC中,

3

cosZ.BDE=-cosZ.BDC,

因为CQ=QE=37m,

所以由余弦定理得

22

A+37-%.2，(rr,V

BD?+DE?-BE?_BD?+DC2-BC?(3J，+37--(。3力),

2BDDE―2BD・DC2〃37-2-A-37

化简得一%2=2x372,

3

解得h二卫区*37x2/49*45.3\m,故塔高约为45/;/.

22

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.已知向量M=B=(2,x-1),则下列结论正确的是()

A.若1_16，则X=；B.若刃区，则x=2

C.若x=l,则1与B夹角为占D.\a+b\>42

6

【答案】AD

【解析】

【分析】A,利用向量垂直时数量积为0的性质求解.B,通过向量平行性质求解C,通过数量枳和模求解

向量夹角.D,用坐标表示出G+5后利用坐标求模的范围.

【详解】选项A,因为G_L5，所以限5=0，2x+x-l=0,解得x=§,A正确.

选项B,因为d//E，所以设x(%—l)=lx2,解得X=2或一1,B错误.

选项Cx=l时,5=(1,1),3=(2,0),同=，-+俨=五,|同=2,

TT

所以cos〈Q力)=府百=合=彳，所以夹角是?，C错误.

选项D,5+Z?=(x+2,x),|万+4=必+21+丁=5/2/+4工+4=02.&+2、+2,

函数y=—+2%+2为开口向上的二次函数，对称轴为工二-1,

所以当工二一1时，(Jf+2x+2)=^(-1)2-2+2=1,

所以归+B卜近,D正确.

31

10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为记事件力为“两人都击中“，事

42

件B为“至少I人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是()

A.事件/与C是互斥事件B.事件8与C是对立事件

C.事件4与“相互独立D.P(AuB)=!

O

【答案】ABD

【解析】

【分析］根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得.

［详解】依题意，p(^)=i-p(^)=i-(i

428428

-311

P(C)=P(5)=(l--)(l--)=-.

对于A,因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件/

与C是互斥事件，即A正确；

对于B,因“至少1人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，

即B正确；

33721

对干C,依题意，因力c8=4,则。(力0>8)=0(4)=；；,而0(4)(8)=X=——工。(,4c8),故

887787764

事件4与〃不相互独立，即C错误：

7

对于D,因=故尸(4u8)=0(8)=三，故D正确.

O

故选：ABD.

H.已知正方体力8。〃一4462的棱长为1,下列说法正确的是()

A.若点尸为线段GA上的任意一点，则4Q_L8P

B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为3兀

C.异面直线4。与8a所成角为45°

2兀

D.若点。为体对角线8。上的动点，则//0C的最大值为？-

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用线面垂直性质定理即可证明4。，B尸，可得A正确；求出正方体外接球半径即可知球体的

表面积为3兀，即B正确；易知异面直线4。与42所成角为即为或其补角，求得其大小为

271

60%即C错误；当4QJL8。时，力。取得最小值，利用余弦定理可求得N4QC的最大值为w，可得

D正确.

【详解】连接8G,80,4。，如下图所示：

对干A,由正方体性质可知GA，平面4。。蜴，又0Cu平面8CG片，所以GA，4C,

又Bq上用。,且BGncQ=G，BG，GAU平面3GA，

所以耳C_L平面8G2，

显然AQ//BC，所以可得4。，平面8GA；

又BPu平面8GA，所以4Q_LBP,

即点尸为线段C。上的任意一点时,4D_LB尸总成立，即A正确:

对FB,易知该正方体的外接球直径即为该正方体的体对角线，

设该球半径为H,则1+1+1=所

所以该球体的表面积为4兀尺2=3加，即B正确；

对干C,连接如下图所示：

易知BD//B、D\,所以异面直线同。与BR所成角为即为“DB或其补角,

在A//。中，A、B=BD=A1D=6,所以/4。8=60’，

即异面直线4。与4A所成角为60°，所以C错误：

对于D,连接4。,反儿如下图所示:

易知力。=。。，当力0,C。最小时，可使NN0C最大;

当时，月Q取得最小值为止g=区,

03

用+图-阿

即可得/4。。=会；

由余弦定理可知cosZAQC=

2x®逅

33

所以//。。的最大值为亍，即D正确.

故选：ABD

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.某高中三个年级共有学生200。人，其中高一800人，高二6()0人，高三600人，该校为了解学生睡眠

情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一

年级应抽取的人数是.

【答案】32

【解^5]

【详解】高一年级应抽取的人数是…学…x80=32.

800+600+600

13.在△48c中，若AB=9,BC=3,NC=120。，则/C=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用余弦定理列方程，亿简求得ZC.

【详解】依题意c2=a~+b2-labcosC，

13=9+〃+2x3xbx-n8=1,负根舍去.

2

所以NC=1.

故答案为：1

14.在复平面内，向量力对应的复数4=l+2i,方绕点。逆时针旋转90°后对应的复数为Z2,则Z2:

【答案】-2+i

【解析】

【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可.

【详解】由题意可设Z2=a+bi（〃<0/>0）*2对应的向量为对应的向量为（1,2）,

由旋转性质得z?和马模相等，且它们对应的向量垂直,

则"〜,a=-2.

解得《=-2+i.

a+2b=0,b=l.

故答案为：—2+i.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知复数z=(〃/一〃?-2)+阳(〃?+l)i,〃?GR

（1）若z是纯虚数，求〃?：

（2）在复平面内，z对应的点位于第三象限，求，〃的取值范围.

【答案】（1）w=2；

（2）（-1,0）.

【解析】

【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出〃?=2；

（2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

[vn~—〃7—2=0

因为z是纯虚数，所以1/八八，

[加（加+1）工0

由〃/一"7—2=0，解得〃?=2或一1,

由加（"7+1）工0得，且〃7工一1,故“7=2.

【小问2详解】

nr-m-2<0

因为z对应的点位于第三象限，所以〈,八

/«（/«+1）<0

-\<m<2

所以解得利的取值范围足(-1,0).

<m<0

16.如图，在△力8。中，。是8。上的点，AB=3也，BO=4,C=y,AD=>/1.

(1)求角8的大小;

(2)求△/CD的面积.

【答案】(1)-；(2)迈.

62

【解析】

【分析】

(1)在△/BO中，利用余弦定理即可求解.

(2)由(1)可得N£4C=C,从而可得4C=3,BC=6,即。C=2,再利用三角形的面积公式即

2

可求解.

又Bw(O,;r),所以B=j

6

(2)由(1)知8=三，C=~,所以/8/。二工

632

又AB=3下,所以4C=3,BC=6,

由BO=4,知QC=2,

所以S^/CD=Jx/ICxZ)CxsinC=gx3x2VJ_3百

x------

22

17.为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教

育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己时‘防溺水''知识认知的不足之处，还教会门司学们溺水

自救的方法，提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92,96,99,103,

104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组20

名同学的成绩.将成绩分成［100,110)110,120)020,130)口30140)口40,150］方组.并画出了其频率分

布直方图.

（i）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数.并根据频率分布直方图估计乙组20名同

学戌绩的众数；

（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同

一组的概率.

【答案】（1）第80百分位数为133,众数135

⑵3

5

【解析】

【分析】（1）根据百分位数、众数的定义计算即可：

（2）根据古典概型公式计算即可.

【小问1详解】

,/20x80%=16,

・•・甲组20名同学成绩的第80百分位数为“2：134=133,众数为"0+140=135;

22

【小问2详解】

甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，

乙组20名同学的成绩不低于140分的有0.015><1（）>2（）=3个，

记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，

任意选出2个成绩的所有样本点共C：=10个，

其中两个成绩不是同一组的样本点共C；•《=6个，

・・・P（/）」=3.

v7105

18.如图，在四棱锥P—48CQ中，尸。平面力BCDAB//DC,

AD1DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,歹分别为棱CD,PZ）的中点.

(1)求证：P8//平面4EF；

(2)求证：力E_L平面尸8。：

(3)求点。到平面PBC的距离.

【答案】(1)证明如下：

如图，连接4E,设AE=O,连接。尸，

因N6//OC,DE=-DC=AB=2,可得力8EO是平行四边形，则。。=。3,

2

又DF=PF,则得。///P8,

因。尸＜=平面力E/7,PBu平面4EF,故PB//平面力EF.

(2)证明如下：

由(I)已得口4BED,因d=48=2,故四边形力8石。为菱形，则ZEJ.8。，

因PO_L平面4