西安电子科技大学《数据库原理与应用》-第二章2-关系代数

李慧经济与管理学院2021数据库原理与应用第二章关系数据库第二章关系数据库2.1关系数据结构及形式化定义2.2关系操作2.3关系的完整性2.4关系代数2.5关系演算2.6小结概述关系代数是一种抽象的查询语言, 它用对关系的运算来表达查询。关系代数：运算对象是关系运算结果亦是关系关系代数的运算符分为：集合运算符和专门的关系运算符传统的集合运算时从关系的“水平”方向即行的角度进行专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列集合运算符∪-∩×并差交笛卡尔积专门的关系运算符σπ

÷

选择投影连接除运算符含义运算符含义概述2.4

关系代数

概述

传统的集合运算

专门的关系运算1.并（Union）R和S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）相应的属性取自同一个域R∪S

仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成

R∪S={t|t

R∨t

S}并(续)ABCa1b1c1a1b2c2a2b2c1ABCa1b1c1a1b2c2a1b3c2a2b2c1ABCa1b2c2a1b3c2a2b2c1RSR∪S

2.差（Difference）R和S具有相同的目n相应的属性取自同一个域R-S

仍为n目关系，由属于R而不属于S

的所有元组组成

R-S={t|t

R∧t

S}差(续)ABCa1b1c1a1b2c2a2b2c1ABCa1b1c1ABCa1b2c2a1b3c2a2b2c1RSR-S

3.交（Intersection）R和S具有相同的目n相应的属性取自同一个域R∩S仍为n目关系，由既属于R又属于S

的元组组成

R∩S={t|t

R∧t

S}关系的交可以用差来表示

R∩S=R–(R-S）交(续)ABCa1b1c1a1b2c2a2b2c1ABCa1b2c2a2b2c1ABCa1b2c2a1b3c2a2b2c1RSR∩S

4.广义笛卡尔积（ExtendedCartesianProduct）Rn目关系，有k1个元组Sm目关系，有k2个元组R×S

列：（n+m）列的元组的集合元组的前n列是关系R的一个元组后m列是关系S的一个元组行：k1×k2个元组R×S={tr

ts|tr

R∧ts

S}广义笛卡尔积(续)ABCa1b1c1a1b2c2a2b2c1ABCa1b1c1a1b1c1a1b1c1a1b2c2a1b2c2a1b2c2a2b2c1a2b2c1a2b2c1ABCa1b2c2a1b3c2a2b2c1RSR×S

ABCa1b2c2a1b3c2a2b2c1a1b2c2a1b3c2a2b2c1a1b2c2a1b3c2a2b2c12.4

关系代数概述传统的集合运算专门的关系运算2.4.2专门的关系运算选择投影连接除传统的集合运算只有行运算专门的关系运算不仅有行运算,也有列运算专门的关系运算先引入几个记号（1）R，t

R，t[Ai](i=1…n)

设关系模式为R(A1，A2，…，An)它的一个关系设为R。t

R表示t是R的一个元组t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。

专门的关系运算（2）A，t[A]，A

若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分属性，则A称为属性列或域列。t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。专门的关系运算（3）trts元组的连接

R为n目关系，S为m目关系。tr

R，ts

S，trts称为元组的连接。它是一个n+m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。专门的关系运算4）象集ZX

给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。当t[X]=时，在R中的象集（ImagesSet）定义为：

ZX

={t[Z]|t

R，t[X]=}

它表示R中属性组X上值为的诸元组在Z上分量的集合。

象集举例RXZ

Z1

Z2

Z3

Z2

Z3

Z1

Z3在R中的象集Z=｛Z1,Z2,Z3

｝在R中的象集Z=｛Z2,Z3

｝在R中的象集Z=｛Z1,Z3

｝t[X]=时,t[X]=时,t[X]=时,SBCDb1c2d1b2c1d1b2c3d2Zb2CDc1d1c3d21.选择（Selection）选择又称为限制（Restriction）选择运算符的含义在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作

σF(R)={t|t

R∧F(t)='真'}F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：

X1θY1

θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>）X1，Y1等：属性名、常量、简单函数；属性名也可以用它的序号来代替；选择（续）选择运算是从行的角度进行的运算σ选择（续）学生-课程数据库：学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC学号Sno姓名Sname性别Ssex年龄Sage所在系Sdept201215121李勇男20CS201215122刘晨女19IS201215123王敏女18MA201215125张立男19IS

Student选择（续）Course课程号课程名先行课学分CnoCnameCpnoCcredit1数据库542数学

23信息系统144操作系统635数据结构746数据处理

27PASCAL语言64选择（续）

SC学号课程号成绩SnoCnoGrade201215121192201215121285201215121388201215122290201215122380选择（续）[例1]查询信息系（IS系）全体学生[例2]查询年龄小于20岁的学生

2.投影（Projection）投影运算符的含义从R中选择出若干属性列组成新的关系，记作

πA(R)={t[A]|t

R} A：R中的属性列

注意:新的关系中要去掉重复行。2.投影（Projection）投影操作主要是从列的角度进行运算但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）π投影（续）[例3]查询学生的姓名和所在系。 即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影[例4]查询学生关系Student中都有哪些系。

SdeptCSISMASnameSdept李勇CS刘晨IS王敏MA张立IS3.连接（Join）连接也称为θ连接连接运算的含义从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

RS={|tr

R∧ts

S∧tr[A]θts[B]}A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组θ：比较运算符

连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。带有比较运算符θ的连接运算称为θ连接

。

AθBtrts

连接(续)两类常用连接运算等值连接（equijoin）什么是等值连接θ为“＝”的连接运算称为等值连接

等值连接的含义从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：

RS={|tr

R∧ts

S∧tr[A]=

ts[B]}A=Btrts

连接(续)自然连接（Naturaljoin）

自然连接是一种特殊的等值连接两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组在结果中把重复的属性列去掉自然连接的含义

R和S具有相同的属性组B

R

S={|tr

R∧ts

S∧tr[B

]=ts[B

]}trts连接(续)一般的连接操作是从行的角度进行运算。

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

AθBRS连接(续)[例]ABCa1b15a1b26a2b38a2b412BEb13b27b310b32b52RS请计算：R

S、

C＜ER.B=S.B

R

S

、R

S

连接(续)R

S

AR.BCS.BEa1b15b27a1b15b310a1b26b27a1b26b310a2b38b310

C＜E连接(续)

等值连接R

SR.B=S.B

AR.BCS.BEa1b15b13a1b26b27a2b38b310a2b38b32连接(续)

自然连接R

S

ABCEa1b153a1b267a2b3810a2b382连接(续)

悬浮元组（Danglingtuple）两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。连接(续)外连接（OuterJoin）如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接左外连接(LEFTOUTERJOIN或LEFTJOIN)只保留左边关系R中的悬浮元组右外连接(RIGHTOUTERJOIN或RIGHTJOIN)只保留右边关系S中的悬浮元组连接(续)上例中关系R和关系S的外连接连接(续)图b是关系R和关系S的左外连接，图c是右外连接图b图c4.除运算（Division）给定关系R(X，Y)

和S(Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值

的象集Y

包含S在Y上投影的集合。

R÷S={tr

[X]|tr

R∧πY(S)

Y

}其中

Y：

在R中的象集，=tr[X]除运算(续)除操作是同时从行和列角度进行运算

÷RS除(续)__黑板计算tr[A]=a1,a2,a3,a4的象集Ya1,Ya2,Ya3,Ya4ABCa1b1c2a2b3c7a3b4c6a1b2c3a4b6c6a2b2c3a1b2c1BCDb1c2d1b2c1d1b2c3d2Aa1RSR÷S=除运算举例首先建立一个临时关系K：

然后求：πSno,Cno(SC)÷K

Cno

1

3以学生-课程数据库为例[例]查询至少选修1号课程和3号课程的学生号码

AnIntroductiontoDatabaseSystem5、综合举例[例]

查询选修了2号课程的学生的学号。

πSno（σCno='2'（SC））＝｛95001，95002｝

综合举例(续)[例]查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生姓名。

πSname(σCpno='