2026年中国科学技术大学少年班数学试题解析与答案

2026年中国科学技术大学少年班数学试题解析与答案一、单项选择题（每题6分，共48分）1.已知函数f(x)=lnA.(B.(C.(D.(2.已知数列{an}满足a1=A.(B.(C.(D.(3.已知复数z满足|z|=1，且A.1B.5C.3D.24.将5名志愿者分配到3个不同的社区开展服务，要求每个社区至少有1名志愿者，且志愿者甲和乙必须分配到同一个社区，则不同的分配方案种数为A.24B.36C.48D.605.已知椭圆C:x2a2+y2b2=A.3B.6C.6D.26.已知a=1e，bA.bB.bC.cD.a7.在(x2+A.10B.20C.30D.408.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于A,B两点，过A作准线A.8B.16C.4D.8二、填空题（每题8分，共48分）1.计算：cos2$$\begin{align*}

\text{原式}&=\frac{1+\cos20^\circ}{2}+\frac{1+\cos100^\circ}{2}-\sin40^\circ\sin80^\circ\\

&=1+\frac{\cos20^\circ+\cos100^\circ}{2}-\sin40^\circ\sin80^\circ.

\end{align*}$$由和差化积，cos20由积化和差，sin40代入得：原式2.已知数列{an}满足a1=3.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⟂平面ABC，4.已知圆C:(x−3)2+(y−4)5.甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未分出胜负，则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1P6.若对任意x>0，都有ae三、解答题（共54分）1.（16分）在△ABC中，角A,B（1）求角B的大小；（2）若b=3，求sin展开并整理得：sin即sin(因A+B+C=π，故由B∈(0（2）由余弦定理，b2=a2+9由基本不等式a29当且仅当a=c时等号成立，即三角形面积S=S此时a=c，且B=2.（18分）已知椭圆C:x2a2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A,B两点，若以AB为直径的圆过原点O，试问：原点Oy消去y得(1由韦达定理得：x因以AB为直径的圆过原点，故O又y1(将韦达定理结果代入并化简：(两边同乘1+2整理得3m2=原点到直线的距离d=综上，原点O到直线l的距离为定值633.（20分）已知函数f(x)（1）讨论函数f(（2）若f(x)有两个不同的零点x$$\begin{align*}

g(x)&=\lnx-ax+1-\left[\ln\left(\frac{2}{a}-x\right)-a\left(\frac{2}{a}-x\right)+1\right]\\

&=\lnx-\ln\left(\frac{2}{a}-x\right)-2ax+2.

\end{align*}$$求导得：$$\begin{align*}

g'(x)&=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{2}{a}-x}-2a\\

&=\frac{\frac{2}{a}}{x\left(\frac{2}{a}-x\right)}-2a\\

&=\frac{2}{ax\left(\frac{2}{a}-x\right)}-2a.

\end{align*}$$由基本不等式，x2a−因此2ax2a−所以g(x)在(因此g(x1)=结合f(x)在(1a参考答案与解析一、单项选择题1.答案：D解析：构造函数g(x)=f(x)−1=ln(1+x2−x)+x，定义域为2.答案：B解析：对递推式取倒数，令bn=1an，则bn+1=1+an2an=bn+1bn，且b1=1。由bn+1−b3.答案：A解析：由z5+z=1得z5=1−z，两边取模得|z|5=|1−z|。因|z|=1，故|4.答案：B解析：将甲、乙绑定视为一个整体，问题转化为将4个不同“个体”分配到3个不同社区，每个社区至少1个。先分组：4个个体分成3组，必有一组2个个体，其余两组各1个，分组方法为C42=6种。再分配：将3组分配到3个不同社区，有5.答案：D解析：设|AF1|=|BF1|=m，由∠AF1B=90∘得|AB|=2m。根据椭圆定义，|AF1|+|AF6.答案：A解析：构造函数f(x)=lnxx，定义域为x>0，求导得f′(x)=1−lnxx2。当(2)$，$c=f(\pi)$。比较$f(2)$与$f(\pi)$：由$f(2)=\frac{\ln2}{2}=\frac{2\ln2}{4}=\frac{\ln4}{4}=f(4)$，且$\pi<4$，$f(x)$在$(e,+\infty)$单调递减，故$f(\pi)>f(4)=f(2)$，即$c>b$。综上，$b<c<a$。7.答案：C解析：要得到x5y2项，需从5个因式中选2个取y，剩余3个因式取x或x2，且x的总次数为5。选2个因式取y，有C52=10种方法。设剩余3个因式中有k个取x2，3−k个取x，则总次数为28.答案：B解析：抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线l:x=−1。设A(x1,y1)（不妨设y1>0），则M(−1,y1)。由抛物线定义知|AF|=|A二、填空题1.答案：3解析：利用降幂公式和积化和差公式化简：2.答案：a解析：当n≥2时，an=k=1n−1kak；当n≥33.答案：16解析：由PA⟂平面ABC，AB⟂BC，可知PA,AB,4.答案：4解析：由∠APB=90∘可知，点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为原点O，半径为m，方程为x2+y2=m2。题意等价于圆C与圆O有公共点。两圆圆心距5.答案：8解析：甲在第4局赢得比赛，需同时满足：1.第3、4局甲连胜（否则无法在第4局因连胜获胜）；2.前3局比赛未结束（即前3局无人连胜两局）。若前3局未结束且第3局为甲胜，则第2局必为乙胜（否则第2、3局甲连胜，比赛在第3局结束）；又第1局必为甲胜（否则前两局乙连胜，比赛在第2局结束）。因此前4局的结果只能是“甲、乙、甲、甲”，概率为：6.答案：1解析：首先a>0，否则当x>1时，aeax≤0<lnx，不等式不成立。原不等式两边同乘x（x>0，不等号方向不变），得axeax≥xlnx=elnx⋅lnx。令f(t)=tet，则f′(t)=三、解答题1.答案：（1）π3（2）面积最大值为93解析：（1）由正弦定理，将边化为角：2.答案：（1）x2（2）是定值，定值为63解析：（1）由离心率e=ca=22，得c=22a，故b2=a2−c2=a①当直线l斜率不存在时，设直线方程为x=m，代入椭圆方程得m22+y2=1，即y2=1−m2②当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m3.答案：（1）当a>1时，零点个数为0；当a=1或（2）证明见解析。解析：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=