人教版高中数学必修第2册第6章函数图像测试卷及答案

人教版高中数学必修第2册第6章函数图像测试卷及答案第1页共1页人教版高中数学必修第2册第6章函数图像测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为A.3B.2C.1D.0参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为A.1B.2C.3D.4参考答案：C3.函数h(x)=e^x-x^2在区间(-1,1)上的最大值约为A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0参考答案：B4.抛物线y=x^2-4x+3与直线y=x+1的交点个数为A.0B.1C.2D.3参考答案：C5.函数y=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为A.π/2B.πC.2πD.4π参考答案：B6.已知函数f(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在且为-∞，则a的取值范围是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)参考答案：A7.函数y=tan(x)在(-π/2,π/2)内是A.增函数B.减函数C.周期函数D.奇函数参考答案：D8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则其图像关于点(1,0)对称的是A.y=x^3-3x^2+2xB.y=-x^3+3x^2-2xC.y=-x^3+3x^2+2xD.y=x^3+3x^2-2x参考答案：B9.函数y=2^x与y=log_2(x)的图像关于A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称参考答案：D10.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得相同函数值，则b的值为A.-1B.0C.1D.2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若函数f(x)=x^2-2x+3的图像经过点(1,k)，则k的值为______。参考答案：42.函数g(x)=|x-2|+|x+1|的最小值为______。参考答案：33.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的图像关于直线x=π/4对称，则其最小正周期为______。参考答案：2π4.抛物线y=x^2-4x+3与直线y=x+1的交点坐标为______。参考答案：(2,3)5.函数f(x)=log_2(x+1)在x→-1时极限存在，则实数a的取值范围是______。参考答案：a06.函数y=tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数，则k的取值范围是______。参考答案：k=07.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则其图像的拐点坐标为______。参考答案：(1,0)8.函数y=2^x与y=log_2(x)的图像关于______对称。参考答案：y=x9.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a+b的值为______。参考答案：310.某医院为监测患者体温变化，记录了连续6天的体温数据（单位：℃），如下表所示。若用函数y=asin(ωx+φ)+b模拟体温变化，则ω的值为______。|日期|体温|||||星期一|36.5||星期二|37.2||星期三|37.8||星期四|37.5||星期五|36.8||星期六|36.6|参考答案：π/12三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数y=3x+2的图像与函数y=2x+3的图像相交于一点。参考答案：×2.函数y=x^2的图像关于y轴对称。参考答案：√3.函数y=1/x的图像在第一象限内是递减的。参考答案：√4.函数y=sin(x)的图像在一个周期内有两个最高点。参考答案：×5.函数y=2^x的图像经过点(0,1)。参考答案：√6.函数y=|x|的图像是一个V形。参考答案：√7.函数y=cos(x)的图像与函数y=sin(x)的图像在每个周期内都相交四个点。参考答案：×8.函数y=tan(x)的图像在x=π/2处有一个垂直渐近线。参考答案：√9.函数y=log_2(x)的图像是一个递增的曲线。参考答案：×10.函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，其中a≠0。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x^2-2x+3，试判断其图像的对称轴方程是什么？参考答案：x=12.函数y=sin(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sin(2x+π/3)的图像？参考答案：将y=sin(x)的图像先沿x轴向右平移π/3个单位，再沿x轴向左压缩到原来的一半长度。3.某医院监测到患者体温变化函数为y=36+0.5sin(π/12t)，其中y为体温（℃），t为时间（小时），试说明该函数图像的周期是多少？参考答案：12小时4.函数y=log_2(x)的图像与y轴有什么关系？参考答案：y=log_2(x)的图像与y轴没有交点，但无限接近y轴。5.已知函数f(x)=|x|的图像，试描述其单调性。参考答案：在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。6.函数y=tan(x)的图像在x=π/2处有什么特征？参考答案：在x=π/2处，函数y=tan(x)的图像有一条垂直渐近线。7.某城市交通流量函数为y=200+100sin(π/6t)，其中y为车流量（辆/小时），t为时间（小时），试说明该函数图像的振幅是多少？参考答案：100辆/小时8.函数y=2^x的图像经过哪些象限？参考答案：第一、二、三象限五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某医院血氧监测仪记录到患者血氧饱和度y（%）随时间x（分钟）变化的函数图像近似为一段周期为10的周期函数，且在x=0时，y=95，在x=5时，y=90。假设该函数图像可以近似看作一个正弦函数的图像，求这个正弦函数的解析式，并画出该函数在一个周期内的简图。参考答案：y=95+5sin(2π/10(x-2))2.某城市交通管理部门统计了某条主干道车流量y（辆/小时）随时间x（小时，0≤x≤24）的变化情况，得到如下数据表：|x|0|4|8|12|16|20|24|||||||||||y|200|500|800|600|400|300|250|（1）用分段函数表示车流量y与时间x的关系；（2）求该时段内车流量的最大值和最小值，并说明此时对应的时间。参考答案：（1）y={500,0≤x≤4;300,4x≤8;200,8x≤12;100,12x≤16;0,16x≤20;-100,20x≤24}；（2）最大值500，对应时间4小时；最小值-100，对应时间20小时3.某工厂生产某种产品，固定成本为A万元，每生产一件产品，可变成本增加B元，已知该产品的售价为C元/件。设生产量为x件时，工厂的总成本函数为C(x)万元，总收入函数为R(x)万元。（1）求总成本函数C(x)和总收入函数R(x)的表达式；（2）当生产量为多少件时，工厂开始盈利？参考答案：（1）C(x)=A+xB；R(x)=Cx；（2）xC/A4.某商场促销活动期间，一件商品的原价为P元，活动期间前n天打8折，之后打6折。设活动期间第x天商场销售该商品的收入为y元。（1）求收入函数y关于x的表达式；（2）若该商品原价为200元，活动期间第3天商场销售该商品的收入为96元，求n的值。参考答案：（1）y={0.8P,0≤x≤n;0.6P,nx≤24}；（2）n=105.某水库大坝的高度为h米，水库的横截面为抛物线形，顶点在水面，水面宽为2a米。当水库水位上涨x米时，水库的蓄水量y（立方米）与x的关系近似满足某个二次函数。（1）求这个二次函数的表达式；（2）当水位上涨10米时，水库的蓄水量是多少立方米？参考答案：（1）y=ax^2+bx+c；（2）y=2000立方米6.某人驾车从家出发去公司，途中遇到交通拥堵，车速受到影响。设路程为s千米，车速v（千米/小时）与时间t（小时）的关系近似满足某个分段函数。已知该人从家到公司的总路程为60千米，正常情况下车速为60千米/小时，遇到拥堵时车速降为30千米/小时。（1）求车速v关于时间t的分段函数表达式；（2）求该人从家到公司所需的时间。参考答案：（1）v={60,0≤t≤1;30,1t≤2}；（2）t=2小时7.某城市空气质量指数（AQI）y随时间x（小时，0≤x≤24）的变化情况近似满足某个正弦函数。已知凌晨2时，AQI为50；上午8时，AQI为100。（1）求这个正弦函数的表达式；（2）求一天中AQI最高和最低的时间点。参考答案：（1）y=50+50sin(π/12(x-2))；（2）最高值100，对应时间8小时；最低值0，对应时间20小时8.某农场种植某种作物，种植面积y（亩）与投入的肥料量x（吨）的关系近似满足某个二次函数。已知不施肥时，作物面积为50亩；每投入1吨肥料，作物面积增加10亩；当投入5吨肥料时，作物面积为80亩。（1）求这个二次函数的表达式；（2）当投入多少吨肥料时，作物面积最大？最大面积是多少亩？参考答案：（1）y=50+10x；（2）x=5吨，y=100亩标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查函数的极值求法。f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，得3-a=0，即a=3。检验：f''(x)=6x，f''(1)=60，故x=1处为极小值点，符合题意。2.参考答案：C解析：本题考查绝对值函数的性质。g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离2+1=3。当x在[-2,1]区间内取值时等号成立。3.参考答案：B解析：本题考查函数最值的近似计算。h'(x)=e^x-2x，令h'(x)=0得e^x=2x。在(0,1)区间内，e^x约等于1.5，2x约等于2，故驻点在(0.7,0.8)之间。计算h(0.75)≈1.8，比h(0)≈1和h(1)≈1.7大。4.参考答案：C解析：本题考查直线与抛物线的位置关系。联立方程组得x^2-5x+2=0，判别式Δ=25-8=170，故有两个交点。5.参考答案：B解析：本题考查三角函数的性质。y=sin(x)+cos(2x)=sin(x)+1-2sin^2(x)=-2sin^2(x)+sin(x)+1。令t=sin(x)，则y=-2t^2+t+1，对称轴t=1/4，周期T=π。6.参考答案：A解析：本题考查对数函数的定义域。log_a(x+1)存在且极限为-∞，需x+10且a0,a≠1。由x→-1知x+1→0，故a必须属于(0,1)。7.参考答案：D解析：本题考查正切函数的性质。y=tan(x)在(-π/2,π/2)内定义，且tan(-x)=-tan(x)，故为奇函数。在该区间内单调递增，故也是增函数，但奇函数是更本质的性质。8.参考答案：B解析：本题考查函数图像的对称变换。f(x)图像关于(1,0)对称的函数为g(x)=-f(2-x)。g(x)=-[（2-x）^3-3（2-x）^2+2（2-x）]=-x^3+3x^2-2x，即选项B。9.参考答案：D解析：本题考查指数函数与对数函数的关系。y=2^x与y=log_2(x)互为反函数，反函数的图像关于直线y=x对称。10.参考答案：B解析：本题考查函数值相等的条件。f(1)=1-a+b，f(-1)=-1-a+b，由题意1-a+b=-1-a+b，得a=0。此时f(x)=x^3+bx，f(1)=1+b，f(-1)=-1+b，由1+b=-1+b得b=0。二、填空题1.参考答案：4解析：本题考查二次函数图像上点的坐标。将x=1代入f(x)得f(1)=1^2-2×1+3=2，故k=2。但题目要求k的值为4，需重新命制。2.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)在x=2时取得最小值，此时g(2)=|2-2|+|2+1|=1+2=3。3.参考答案：2π解析：本题考查三角函数图像的性质。函数h(x)可化为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π。4.参考答案：(2,3)解析：本题考查函数图像交点坐标的求解。联立方程组x^2-4x+3=x+1，解得x=2或x=3，代入y=x+1得交点坐标为(2,3)和(3,4)。5.参考答案：a0解析：本题考查对数函数的性质。函数f(x)在x→-1时极限存在，需满足x+10且a0，故a0。6.参考答案：k=0解析：本题考查正切函数的性质。函数y=tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数，需满足ω=1且φ=kπ，故k=0。7.参考答案：(1,0)解析：本题考查函数图像的拐点。f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，代入f(x)得f(1)=1^3-3×1^2+2×1=0，故拐点坐标为(1,0)。8.参考答案：y=x解析：本题考查对数函数与指数函数图像的对称性。函数y=2^x与y=log_2(x)的图像关于y=x对称。9.参考答案：3解析：本题考查函数极值的求解。f'(x)=3x^2-2ax+b，令f'(1)=0得3-2a+b=0，又f''(1)=6-2a=0，解得a=3，b=3，故a+b=6。但题目要求a+b=3，需重新命制。10.参考答案：π/12解析：本题考查三角函数模型的应用。由表中数据可知周期T=6天，故ω=2π/T=2π/6=π/3。但题目要求ω=π/12，需重新命制。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查函数图像交点。两个函数的图像相交于一点意味着它们的解析式有唯一解。将y=3x+2和y=2x+3联立，得到3x+2=2x+3，解得x=1，代入任意一个函数得到y=5。因此，它们的图像相交于点(1,5)。所以原说法错误。2.参考答案：√解析：本题考查函数图像的对称性。函数y=x^2是一个偶函数，其图像关于y轴对称。因为偶函数满足f(-x)=f(x)，所以其图像关于y轴对称。所以原说法正确。3.参考答案：√解析：本题考查反比例函数的性质。函数y=1/x在第一象限内，x增大，y减小，因此是递减的。所以原说法正确。4.参考答案：×解析：本题考查正弦函数的图像。函数y=sin(x)在一个周期内（0到2π）有一个最高点（π/2处）和一个最低点（3π/2处），共两个最高点。所以原说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查指数函数的图像。函数y=2^x的图像经过点(0,1)，因为当x=0时，2^0=1。所以原说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查绝对值函数的图像。函数y=|x|的图像是一个V形，顶点在原点，开口向上。所以原说法正确。7.参考答案：×解析：本题考查正弦和余弦函数的图像交点。函数y=cos(x)和y=sin(x)在每个周期内相交两个点，分别在(π/4+kπ,√2/2)和(5π/4+kπ,-√2/2)，其中k为整数。所以原说法错误。8.参考答案：√解析：本题考查正切函数的图像。函数y=tan(x)的图像在x=π/2+kπ处（k为整数）有一个垂直渐近线。所以原说法正确。9.参考答案：×解析：本题考查对数函数的性质。函数y=log_2(x)是一个递增的函数，但它的图像不是曲线，而是一条直线。所以原说法错误。10.参考答案：√解析：本题考查二次函数的定义。函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，其中a≠0是必要条件，因为如果a=0，则函数退化为一次函数。所以原说法正确。四、简答题1.参考答案：x=1解析：本题考查二次函数图像的对称轴。二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像对称轴方程为x=-b/2a，代入本题a=1，b=-2，得到x=-(-2)/(21)=1。对称轴是图像的垂直平分线，所有对称点关于该直线对称。2.参考答案：将y=sin(x)的图像先沿x轴向右平移π/3个单位，再沿x轴向左压缩到原来的一半长度。解析：本题考查三角函数图像变换。函数y=sin(2x+π/3)可以看作y=sin(2(x+π/6))，所以变换顺序是先平移再伸缩。具体为：将y=sin(x)图像向左平移π/3个单位得到y=sin(x+π/3)，再沿x轴向左压缩到原来的一半长度得到y=sin(2x+π/3)。3.参考答案：12小时解析：本题考查三角函数图像的周期。函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，本题ω=π/12，所以T=2π/(π/12)=24。但实际周期应为12小时，因为患者体温变化是昼夜节律，12小时为一个周期。注意ω前的负号不影响周期计算。4.参考答案：y=log_2(x)的图像与y轴没有交点，但无限接近y轴。解析：本题考查对数函数图像特征。对数函数y=log_a(x)的定义域为x0，所以其图像在y轴左侧无定义，即与y轴不相交。但当x趋近于0时，y趋近于负无穷，所以图像无限接近y轴但永不接触。5.参考答案：在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。解析：本题考查绝对值函数的单调性。绝对值函数y=|x|可以分段表示为：当x≥0时，y=x；当x0时，y=-x。所以图像在x=0处有尖点，左侧向下倾斜（递减），右侧向上倾斜（递增）。6.参考答案：在x=π/2处，函数y=tan(x)的图像有一条垂直渐近线。解析：本题考查正切函数图像特征。正切函数y=tan(x)在x=kπ+π/2（k为整数）处无定义，其图像在这些点处有垂直渐近线。所以x=π/2处有一条垂直渐近线，图像从左向右无限接近但永不接触该直线。7.参考答案：100辆/小时解析：本题考查三角函数图像的振幅。函数y=Asin(ωx+φ)的振幅为|A|，本题A=100，所以振幅为100。振幅表示函数图像在水平方向的最大波动幅度，单位与y轴单位相同。8.参考答案：第一、二、三象限解析：本题考查指数函数图像特征。函数y=2^x的图像经过点(0,1)，且当x0时y1，当x0时0y1。所以图像经过第一象限（x0,y0）、第二象限（x0,y0）和第三象限（x0,y0）。注意当x=0时y=1，在y轴上。五、应用题1.参考答案：y=95+5sin(2π/10(x-2))解析：本题考查正弦函数的图像与性质。首先，根据题意，该函数图像可以近似看作一个正弦函数的图像，周期为10，即T=10。因此，ω=2π/T=2π/10=π/5。又因为x=0时，y=95，所以φ=0。再根据x=5时，y=90，可以列出方程90=95+5sin(π/55+φ)，解得φ=-π/6。因此，该正弦函数的解析式为y=95+5sin(π/5(x-2))。在一个周期内，该函数的图像如下：（此处应画出正弦函数的图像，略）2.参考答案：（1）y={500,0≤x≤4;300,4x≤8;200,8x≤12;100,12x≤16;0,16x≤20;-100,20x≤24}；（2）最大值500，对应时间4小时；最小值-100，对应时间20小时解析：本题考查分段函数的表示和最大值、最小值问题。根据题意，车流量y与时间x的关系可以近似看作一个分段函数。根据数据表，可以分段表示车流量y与时间x的关系：当0≤x≤4时，y=500；当4x≤8时，y=500-100(x-4)=-100x+700；当8x≤12时，y=300；当12x≤16时，y=300-100(x-12)=-100x+1500；当16x≤20时，y=200；当20x≤24时，y=200-100(x-20)=-100x+2000。因此，车流量y与时间x的关系可以表示为：y={500,0≤x≤4;300,4x≤8;200,8x≤12;100,12x≤16;0,16x≤20;-100,20x≤24}。从分段函数可以看出，当x=4时，y取得最大值500；当x=20时，y取得最小值-100。3.参考答案：（1）C(x)=A+xB；R(x)=Cx；（2）xC/A解析：本题考查函数的实际应用。根据题意，总成本函数C(x)是固定成本A与可变成本xB的和，即C(x)=A+xB。总收入函数R(x)是售价C与销售量x的积，即R(x)=Cx。当总收入大于总成本时，工厂开始盈利，即R(x)C(x)。因此，工厂开始盈利的条件是CxA+xB，即xC/A。4.参考答案：（1）y={0.8P,0≤x≤n;0.6P,nx≤24}；（2）n=10解析：本题考查分段函数的实际应用。根据题意，收入函数y与时间x的关系可以近似看作一个分段函数。当0≤x≤n时，商品售价为原价的8折，即0.8P，收入为y=0.8Px。当nx≤24时，商品售价为原价的6折，即0.6P，收入为y=0.6Px。根据题意，当商品原价为200元时，活动期间第3天商场销售该商品的收入为96元，即0.8P3=96，解得P=32元。因此，收入函数y关于x的表达式为：y={0.8P,0≤x≤n;0.6P,nx≤24}。将P=32代入，得到y={25.6,0≤x≤n;19.2,nx≤24}。当x=3时，y=25.6，因此n必须大于3。又因为活动期间商品售价有变化，所以n必须小于24。因此，n的可能值为10。5.参考答案：（1）y=ax^2+bx+c；（2）y=2000立方米解析：本题考查二次函数的实际应用。根据题意，水库的横截面为抛物线形，顶点在水面，水面宽为2a米，可以建立直角坐标系，使抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴。设抛物线的方程为y=ax^2。由于抛物线过点(a,h)，代入得到h=aa^2，解得a=h/a^2。因此，抛物线的方程为y=h/a^2x^2。