初中八年级数学为什么要证明教学设计

初中八年级数学为什么要证明教学设计一、设计理念与教材地位本节课是北师大版八年级上册第七章平行线的证明的起始课。学生在此之前的几何学习以操作、观察、测量、折叠为主要手段，结论多建立在直观感知基础上。本章把学生的几何学习从实验几何阶段推向论证几何阶段，而7.1为什么要证明正是完成这一转折的发端之课。课标对这部分内容的要求清晰而克制：让学生意识到证明的必要性，知道通过观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，需要通过严格的逻辑推理加以确认。本节课不承担证明书写的训练任务，它的使命是在学生心里埋下一颗怀疑的种子，点燃一团求证的火焰。教这一课，最怕讲成证明有什么好处的大道理宣讲，最好的处理是让学生自己摔跤，摔得越疼，印象越深。本节课的核心问题只有三个：凭眼睛看是否可靠，凭动手量是否可靠，凭几个例子归纳是否可靠。三个问题的答案都是不完全可靠，那么出路在哪里，自然引出证明。二、学情分析八年级学生已经在七年级接触过相交线与平行线、三角形全等等内容，会用量角器、刻度尺进行测量，也做过剪纸、折叠等操作活动。他们心中的几何结论是看出来的或者量出来的，这种朴素的实证观念根深蒂固。这个年龄段的学生好奇心强，喜欢挑战和意外，但这课恰恰要制造意外。学生容易出现的误解有三处：一是认为眼见为实，图是什么样结论就是什么样；二是认为多量几次就等于证明了；三是把举例验证当成普遍成立的依据，认为验证了十个八个就是对的。教学设计应当针对这三块糊涂账逐一设局、逐一清算。同时要看到，学生的逻辑表达能力还很稚嫩，本节课不要求他们会写证明，只要求他们在认知上承认：不证不足信。分寸感是本课成败的关键，讲得过头，学生觉得证明高深莫测，对后续学习产生畏惧；讲得不足，则把本课上成一节热闹的活动课，数学味流失。三、教学目标知识与技能目标：经历观察、实验、归纳得到结论又检验结论的过程，体会这些方法得到的结论可能正确也可能错误，知道判断一个数学结论正确与否需要一步步有根有据地进行推理。过程与方法目标：通过视觉错觉辨析、测量验证反例、归纳猜想检验三个活动，感受数学结论的确定性必须依靠严格推理，初步体会有条理的数学表达。情感态度与价值观目标：在对直觉结论的一次次否定中，养成质疑的习惯和严谨的态度，感受数学追求确定性的精神品格。四、教学重点与难点教学重点：认识到观察、实验、归纳得到的结论未必可靠，感受证明的必要性。教学难点：让学生由衷地承认即使是最可靠的直觉和大量的实例验证，也不能代替证明，从而发自内心地产生证明的需求。五、教法与学法教法上以情境冲突法和问题驱动法为主。教师少讲结论，多设陷阱，让学生在冲突中自我否定、自我修正。学法上采用自主探究与合作交流相结合的方式：先独立思考形成个人判断，再小组比对发现分歧，分歧正是最好的教学资源。六、教学过程（一）视觉的陷阱：眼见未必为实上课伊始，教师在大屏幕呈现教材中的一组图形：一组线段并列排放，请学生观察并回答，线段a与线段b哪一条更长。几乎所有的学生不假思索地回答其中一条更长。教师不置可否，请一名学生用刻度尺上台测量，投影显示测量结果：两条线段长度相等。教室里响起一片惊讶声。教师追问：刚才我们每一个人都看得清清楚楚，为什么会集体看走眼。学生议论纷纷，有人说是图形旁边的线条干扰了视线，有人说眼睛会骗人。教师顺势板书：观察可以发现问题，但观察的结论需要检验。接着呈现第二个图形：四边形中看似弯曲的边，请学生判断是直线还是曲线。多数学生认定是曲线，用直尺一比，竟是笔直的线段。两次受骗之后，学生的表情由惊讶转为凝重。教师此时小结一句：眼睛是一台好仪器，但数量有限。我们看到的图形，未必是它本来的样子。这一环节用时约八分钟。设计意图是用最小的时间成本制造最大的认知冲击。两个错觉实验一正一反，第一次学生判断错误，第二次学生依然判断错误，说明错觉具有系统性而非偶然性，这就排除了老师出的题太刁钻的自我安慰，逼出真实的认知裂缝。（二）测量的边界：动手未必可靠假设你是一位挑剔的买家，不会满足于看和比，你说我要亲手量。好，那就量。教师出示第二个活动：在纸上任意画一个三角形，量出三个内角的度数并求和。学生动手操作，小组汇总数据。结果很耐人寻味：有的组得到180度，有的组得到179度，有的组得到181.5度。教师把各组数据板书在黑板上，发问：三角形内角和到底是多少。学生犹豫了。有学生说应该是180度，量出来不一样是因为有误差。教师追问：误差从何而来。学生谈到量角器的精度、读数的偏差、画线有粗细等。教师引导学生认识到：测量永远伴随着误差，量一百次、一千次，得到的都是近似值。n多块手表各有各的时间，谁也不能宣告自己那块是最准的。靠测量，我们无法确定任何一个准确的数值结论，只能说它大概在什么附近。教师接着指出：七年级我们通过撕拼、折叠的办法把三个角拼成一个平角，多么漂亮的实验，让我们确信三角形内角和接近180度。但拼的时候有没有缝隙，我们画出的平角是不是严格的一条直线，这些细节实验无法回答。实验可以给我们强烈的暗示，却给不出铁定的断言。这一环节约十分钟，设计意图是打掉学生的第二道心理防线：动手验证。视觉不可靠早有人告诉他们，但测量也不可靠对他们来说是新鲜事。数据的轻微分歧恰好成为最有说服力的证据，让学生体会到实验方法的天然局限。（三）归纳的假象：再多例子也未必保险有学生可能仍不服气：看不行，量不够，那我多算几个例子总可以吧。教师出示教材中经典的活动材料：当n等于0，1，2，3，4，5时，代数式n的平方减n加11的值。学生计算并填表：11，11，13，17，23，31。教师请学生观察这些值的共同特征。有学生发现它们都是质数，于是大胆猜想：对任意自然数n，这个代数式的值都是质数。班里一片认同之声，毕竟已经验证了六个数值，似乎铁证如山。教师微微一笑：那就请大显身手，试试看n等于11的时候怎么样。学生动笔计算：121减11再加11得121。而121等于11乘11，不是质数。教室安静了几秒钟，随即有人感叹：原来前面那么多的例子，都只是巧合。教师板书：仅凭有限个实例归纳出的结论，可能正确，也可能错误。接着补充一个意味深长的提醒：这个式子在n取0到10时值全部是质数，如果你只验到10就收工，你会带着一个错误的结论走进考场。检验的次数再多，只要不是覆盖所有可能，就始终存在漏网之鱼的故乡。这个环节约十分钟，是整节课思想含量最高的部分。归纳是数学发现的重要武器，本课绝非否定归纳，而是为归纳进行准确定位：归纳负责提出猜想，证明负责确认猜想。两者唇齿相依，却不能互相顶替。（四）出路的确立：证明是唯一的定盘星三个活动落幕，三条路都被堵死：看不可靠，量不可靠，举例不可靠。教师发问：那么，怎样才能确信一个数学结论是正确的呢。学生沉默片刻，有人试探着说出：讲道理。教师肯定这个朴素的说法：对，讲道理，数学上叫做推理或者说证明。证明就是从公认的、已经确认为真的事实出发，按逻辑规则一步步推出结论。只要前提真实、每一步推理都遵守规则，得到的结论就无可置疑，跟图形的画法无关，跟测量的精度无关，跟举例的多少也无关。教师举一个小例子让学生初尝推理的味道：任意一个三角形，不论形状如何，我们过它的一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质就能把三个内角搬迁成同一个顶点处的三个角，恰好拼成一个平角。这个过程不画具体的三角形，不量任何一个角，却对世上所有的三角形同时成立。这正是一般性与严格性带给人的力量。教师顺势揭示全章图景：从下一节开始，我们就要学习定义与命题，学习平行线的性质与判定如何环环相扣，学习三角形内角和定理的完整证明。今天这节课，就是为那场远征立下的军令状：从此之后，几何中的每一个结论，都要问一句凭什么。（五）巩固与辨析教师出示一组辨析题，请学生判断下列得出结论的方式是否可靠，并说明理由。情境一：小明观察到班里有八名同学发烧那天都是周一之前喝过凉水，于是他说喝凉水会导致感冒。情境二：小红量了五十个等腰三角形，发现它们的两个底角都相等，于是宣布等腰三角形两底角相等。情境三：小华用圆规画圆时觉得圆的直径把圆分成面积相等的两部分，于是他认定这条结论无需任何说明。学生分组讨论后作答。教师点评时强调分寸：实验和观察没有错，它们是发现问题的眼睛；错在把它们的产物未经推理检验就直接当成真理。随后请学生完成教材随堂练习中关于图形观察与代数式取值的题目，当堂反馈。（六）课堂小结教师请学生用一句话回答今天的课题：为什么要证明。学生的答案往往朴素而到位：因为眼睛会骗人，测量有误差，举例有例外，只有把道理讲清楚，结论才站得住。教师总结三句话：观察、实验、归纳是猜想的源泉；有限的检验无论多少次都不是确证的依据；严格的逻辑推理才是确认数学结论的唯一途径。并留有余味地补一句：从今天起，让我们带着怀疑上路，揣着证据说话。（七）作业设计基础作业：完成教材本节习题，注明每一道题中结论的获得方式属于观察、实验、归纳还是推理。拓展作业：收集一个生活中仅凭经验得出错误结论的例子，写一段话说明它错在哪里，怎样检验才算可靠。探究作业：计算当n取1至10时n的平方加n加41的值，观察规律并提出猜想，想一想这个猜想在你学过的知识范围内是否可能验证或推翻。七、板书设计主板书分三栏呈现。左栏：观察——眼见未必为实（线段错觉图示意）。中栏：实验与归纳——测量有误差，特例有例外（n²－n＋11的取值表及n＝11的反例）。右栏：证明——从源头到结论的逻辑之路。底部一行大字：凭什么，是数学永恒的发问。八、教学反思预设本课的成败系于学生是否真实经历了三次失手。若课堂时间紧张，宁可压缩辨析环节，也不能删减三个核心活动