陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B2.设，则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知集合，，则“”是“”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【答案】C4.设为等差数列，为其前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D5.已知函数，则A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数【答案】D6.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C7.函数的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C8.已知数列满足，则下列结论中不正确的有（）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递增数列D.的前项和【答案】C二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知，且，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】ABD10.已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列B.数列是递减数列C.数列是等差数列D.数列中，，，仍成等比数列【答案】ABC11.已知函数，其导函数为，则（）A.直线是曲线的切线B.有三个零点C.D.若在区间上有最大值，则的取值范围为【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量,，且，则实数__________．【答案】913.中，内角的对边分别为，若，，的面积，则______．【答案】14.已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求的单调增区间；（3）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（3）因为，所以，当，即时，函数有最大值为，当，即时，函数有最小值为.16.某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的值：（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率．解：（1）由题0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+20a+0.0025×20=1，解得：．（2）由（1）可知，数学成绩在：频率，频率，频率，频率，频率，频率，样本平均值为：，可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分；（3）由题意可知，分数段的人数为（人），分数段的人数为（人）．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，，设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件，则样本空间共包含10个样本点，所以事件的对立事件为包含4个样本点所以，所以，即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为．17.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（1）证明：，M是AB的中点，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，（2）解：平面ABCD，，是正三角形，、MC、ME两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系则0，，0，，0，，，0，，，0，，设y，是平面BCE的一个法向量，则，令，得，轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量，二面角的余弦值为（3）解：假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为．0，，，设，，则，直线AP与平面ABE所成的角为，，由，解得，在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且18.已知数列中，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列满足：，求的前项和．（1）证明：因为，，可得，可得数列是首项为1，公差为3的等差数列.（2）解：由（1）可得，则.（3）解：由题可知，则前项和，，两式相减可得，化简可得．19.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）试讨论函数的单调性；（3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当时，则，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得，可知的单调递减区间是，单调递增区间是，所以函数的最小值为.（2）由题意可知的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.（3）当时，不等