陕西省榆林市第十四中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市第十四中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D2.已知向量，，且，则（）A.-2 B. C. D.2【答案】D3.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B4.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C5.已知单位向量，满足，则（）A. B.4 C. D.3【答案】D6.若复数满足，则的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A8.安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（）（参考数据：）A.88m B.72m C.60m D.54m【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（）A. B.C. D.【答案】BC10.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则满足这组条件的三角形有两个C.若，则是钝角三角形D.若，则为等腰的三角形【答案】AC11.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（）A.若，则 B.C.若，则 D.【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______.【答案】或13.已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________．【答案】114.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数．（1）求；（2）若，求．解：（1），所以．（2）由，得a32-5即，所以32(a+1)=352(1-a)=b-2，解得，，16.在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．（1）求的值；（2）若是线段的中点，求的值．解：（1）因为，且为锐角，所以，又因，由余弦定理，．（2）因为是线段的中点，所以，则，即，即的值为．17.如图所示，在中，点满足，点满足，线段与线段交于点．（1）用和表示；（2）求的值．解：（1）因为，则．由，得．（2）因为，，三点共线，设，则，所以，由，得，所以，设，由（1）得，所以AO=2t3所以2t3=25m+1所以．18.在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，．（1）求；（2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值．解：（1）由及，得，又，所以，所以，由余弦定理得，因为，所以．（2）设外接圆的半径为，则，且，即．因为，，所以，，所以，因为为锐角三角形，所以解得，所以，令，则，所以当时，取得最大值．19.设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.（1）已知向量，求；（2）设向量，且，证明：；（3）已