陕西咸阳市渭城区2026届高三下学期4月能力测试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西咸阳市渭城区2026届高三下学期4月能力测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A2.若复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B3.已知椭圆的右顶点为，右焦点为，则点到直线的距离之积为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C4.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C5.若，则（）A. B. C. D.【答案】A6.已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.【答案】B7.已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（）A. B.4 C. D.【答案】C8.在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（）A. B. C. D.【答案】ACD10.已知直线与圆和圆都相切，则（）A.的值有4组B.直线与圆相切C.直线与圆和圆都没有公共点D.与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为【答案】AC11.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（）A.老师不排在两端的概率为B.学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为C.学生甲、乙、丙连排在一起的概率为D.老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________．【答案】13.若函数在上单调递增，则的最大值为______．【答案】14.已知双曲线的右顶点为，右焦点为，左焦点为．在的渐近线上取一点，使．设的左顶点为，且满足，则的离心率可能为______．（写出一个即可）【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知四面体中，，，为中点，.作，垂足为．（1）证明：；（2）若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围．（1）证明：因为，为中点，所以，在和中，，，，故（SAS），得，又为中点，所以,且，平面，所以平面，因为平面，所以，又，且，平面，所以平面，因为平面，所以；又，且，平面，故平面，又平面，所以；（2）解：由，，，得为等边三角形，故，，由（1）知平面，所以，所以即为二面角的平面角.设，在中，可得则四面体的体积为，根据题意有，解得，即，.16.已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍．（1）求函数的单调递增区间；（2）若在等比数列中，，数列的前项和为，求满足的的最小值．解：（1），的最小正周期为；函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍，的最小正周期为；，；函数的图象与函数的图象的一个交点为，.，即，解得或；，；.令，得；的单调递增区间为．（2）设等比数列的公比为.，，由，得，解得；．，；；当时，；当时，；当时，；.，，即；；，的最小值为7.17.已知数列前项的积为.（1）判断是否成等差数列，并给出证明；（2）令，求数列的前项和，解：（1）成等差数列.证明：因为数列前项的积，所以当时，，当时，，符合上式，所以，所以因此成等差数列.（2）由（1）可得，所以，所以所以数列的前项和.18.已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方.（1）若，求的方程；（2）若，求过点的圆的标准方程.解：（1）因为的焦点为，所以，解得，故的方程为，设的方程为，将其代入，消去整理得，设，则，因为，所以，由，得，所以的方程为，即.（2）对于，令，得点，则，故得，由（1）知，所以，，因为，所以，从而，则，因为点在轴上方，所以，进而可得，设过三点的圆的方程为，又，则得解得，所以过三点的圆的方程为.19.设函数，，数列的各项都是正数．（1）讨论的单调性；（2）已知是的极小值点．（i）若，且，求数列的通项公式；（ii）若数列是等比数列，求的取值范围．解：（1）的定义域为，，，其中，当时，或时，；时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，所以的单调递增区间为，没有递减区间；当时，或时，；时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）（i）因为，所以，所以由（1）知是的极小值点，所以，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．（ii）当时，，由（1）知是的极小值点，所以，即，由（1）知在上单调递增，没有极值点，与是的极小值点矛盾；当时，，由（1）知在上单调递增，没有