重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高一下学期期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若∥，则（）A.2 B. C. D.3【答案】C2.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B3.已知复数，则的虚部是（）A.5 B. C. D.【答案】B4.已知向量满足，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B5.在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（）A.三边不全相等的锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形【答案】D6.已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【答案】C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为B.用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台D.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为：【答案】AD10.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A.在复平面内对应的点可能是B.C.的实部与虚部之积小于等于3D.复数，则的最大值为【答案】ACD11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数范围内方程的根为________．【答案】13.若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________.【答案】14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．（1）求复数；（2）求复数；（3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．解：（1），所以复数的共轭复数为．（2）因为，所以所以.（3）若是关于的方程的一个根，则，即，所以解得：，，则，即，所以方程另一根为．16.如图长方体，底面是边长为3的正方形，高为4，E为的中点．（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积；（2）求三棱锥和长方体的体积之比．解：（1）由题可得该长方体的表面积为，该长方体的外接球的半径为，则外接球的表面积为；（3）长方体的体积为，，则三棱锥和长方体的体积之比为.17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.解：（1）因为，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；（2）根据数量积的定义，由，得，又，在中由余弦定理得：，∵，∴，所以.18.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若点M在线段上，，，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，则，整理得，而，则，两边平方得，又，所以，，于是，解得，所以．（2）由（1）知，由，则，由，，则，则，即，因此，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．19.如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记．（1）当时，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的取值范围．解：（1）由题意，，所以.（2），若，则，，因为